Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 7

Однако такое изложение вс все еще соответствует уровню содержательной аксиоматики, в ам рамках которои основные отношения теории рассматриваются как н нечто обяаруживаемое в опыте или в наглядных пред- ') Ом. «Осзозавмя да — пРим. перев.). мя геометрии» Глльбсрта, с. 83 (с. (48 русского перевп- ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ з[ [гл, 1 зо ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ ставлениях (и тем самым содержательно определенное) и являющееся объектом утверждении, делаемых в теорем тео емах нашей теории. В формальной аксиоматике, напротив, основные отношения не считаются чем-то заранее содержательно определенным. олее того, именно в аксиомах теории они и находя т свое н е я в н о е определение, так что во всех рассуждениях, про д во имых в какоилибо аксиоматическои теории, мы можем испол ьзовать лишь те сведения, касающиеся основных отношений теории, р , кото ые недвусмысленно сформулированы в ее аксиомах. И если в рамках аксиоматическои геометрии для ля обозначения ее основных отношении мы пользуемся нменал ами, соответствующими геометрии наглядной,— такими, как «леж «ежать на» и «меж»,— то это является всего лишь уступкой привычк е и делается ду», — т нами для того, чтобы облегчить привязку аксиом " в атической теовин к фактам восприятия.

На самом же деле основные отношения в формальной аксиоматике играют роль переменных предикатов. Прн этом здесь и в дальненшем термин и р е д и к а т мы всегда б дем понимать в расширенном смысле, допуская к рассмотрению предикаты с двумя или несколькими субъекта. от числа субъектов мы будем говорить об о д к о м е с т н ы х, двуместных,... и т.д. предикатах. В ассмотренном нами фрагменте аксиоматической геометрии речь идет о двух переменных трехместных пред Р икатах Л (х, у, г) и Я (х, у, г).

Система аксиом накладывает на эти два предиката условие, выражаемое логической формулой Я (Л, Я), которая получается яз Й ([хг, Хчг) путем замены Ог (х, у, г) посредством Л (х, у, г) и Хчс (х, у, г) посредством Я (х, у, г). В этой формуле наряду с переменными предикатами встречаетс р я также соде жательно понимаемое нами отношение равенства = у. х = . То, что мы согла- шаемся с его содержательной определенностью, не является прегрешепн нем против точки зрения нашего подхода.

Ведь содерегося отно- жательное определение равенства, вовсе и не являющег шепнем в собственном смысле этого слова, не заимствовано нами иэ специфического круга представлений, касающихся той области акакия, которая подлежит аксноматическому исследованию. Оно относится исключительно к возможности различения индивидов, которая должна всегда предполагаться имеющейся уже в самый момент введения индивидной области, Таким образом, всякому предложению, имеющему внд (С, 7, ) соответствует логическая по своему содержанию констатация того факта, что произвольные преднкаты Л (х, у, г) Я (,, г), овлетворяющие условию Я (Л, Я), находятся ""жэ и э отношении [д (Л, я) и что, следователь о, д юб н, ля л бых двух предикатов Л (х, у, г) и Я (х, у, г) формула у[(Л, Я)- [~(Л, Я) представляет собой истинное высказывание. Так, предложение геометрии трансформировалось в предложение чистой логики предикатов. С этой точки зрения вопрос о непротиворечивости рассматриваемой системы аксиом также можно совершенно аналогичным образом представить в виде некоторой проблемы чистой логики предикатов.

Именно, речь идет о том, могут ли два трехместных предиката Л (х, у, г) и Я (х, у, г) удовлетворять условиям, налагаемым на них формулой Я (Л, Я) '), нли же, напротив, предположение о том, что формула Я (Л, Я) выполняется для пары каких-либо конкретных преднкатов Л и Я, ведет к противоречию, так что для всякой такой пары предикатов формула 1 Я (Л, Я) будет представлять собой истинное высказывание.

з 2. Проблема разрешимости Рл. Общезначимость н выполнимость. Вопросы, подобные только что рассмотренному, относятся к кругу вопросов так называемой проблемы равреилимости. Под этим в современной логике понимается проблема нахождения общих методов распознавания о б щ е з н а ч и м о с т и или же в ы по л н и м о с т и логических формул э). При этом рассматриваемые формулы образуются с помощью логических знаков из предикатных переменных и равенств. Переменные, стоящие на местах субъектов, трактуются нами как ннднвндные переменные.

Каждая из них должна быть связана квантором всеобщности или существования. Формула такого рода называется общезначнмой, если она представляет собой истинное высказывание при любом замещении переменных предикатов. Она называется выполнимой, если она оказывается нстш[ным высказыванием при пвдходяи[ем замещении переменных предикатов. Формулы »дахр ( ) Яс »ух~(х)»ух (Р (х) дс С (х)) [УхР(х, х) — ~ чхЗур(х, у), [эх)зу»)г(Р(х, у)Яру=э-р-Р(х, г)) р р р рэ»*рр р э) )р*" рр)р "Р шэы будет уточнен.

смысле этого ) Сказанное, правда, относится только п проблеме разрешимости э узком слю эппэм этого слова. Вам пэт необходимости Заляпаться э этой связи растр пп м более широкого понимания этой проблемы. пРОБлвмА РАЗРВшимости пРОБлвмА нвпРОТБВОРБчиВОсти 32 Формулы Зхр (х) 8 Зх ) Р (х), 'эх»1у(Р(х, у)Я<Р(у, х)<-х=у) ЧхЗ уР (х, у) <л Зу»<х ) Р (х, у) являются примерами выполнимых формул. Эти последние, например, превратятся в истинные высказывания в индивиднои области, состоящей иа чисел 1 и 2, если в первую из них вместо Р (х) подставить предикат «х есть четное число», во вторую — вместо Р (х, у) предикат х в у, а в третью — вместо Р (х, у) предикат х '.. уд<у ~ 1. Следует обратить внимание на то, что при определении предикатов должна быть также указана индивидная область, к которой относятся переменные х, у, ...

В рассматриваемой логической формуле эта область в известном смысле фигурирует в качестве скрытой переменной. Разумеется, выполнимость какой-либо логической формулы представляет собой свойство, инвариантное относительно взаимно однозначных отображений одной индивидной области на другую, так как индивиды фигурируют в формулах лишь в качестве переменных субъектов. Поэтому единственной существенной характеристикой индивидной области являетсн число составляющих »ту область индивидов. Итак, в отношении общезначимости и выполнимости мы должны различать следующие вопросы: 1. Вопрос об общезначимости в любой инднвидной области, соответственно о выполнимости в какой-либо индивидной области. 2.

Вопрос об общеаначимости, соответственно о выполнимости при заданном числе индивидов. 3. Вопрос о том, при каком числе индивидов имеет место общезначимость, соответственно выполнимость. 2. Распознавание в случае конечных индивндных областей. Заметим, что случай, когда число индивидов равно нулю, разумно вообще исключить из расс»«отрения, так как такие индивидные области, состоящие из нуля элементов, с формальной точки зрения занимают особое положение, между тем рассмотрение их нвляется тривиальным и для припоя;ений никакого значения не имеет '). <) Установку ка то, что всякая пади»капая область должна содержать по меньшей мере один»лембит и что, следовательно, всякое пстпппое обще- утвердительное суждение должно быть справедлпвып хотя бы дхя одного объекта, пе следует смешивать с господствующим в аристотелевской логике соглашением о том, что суждевяе вида <все Я суть Р» вообще сватается пстпппим лишь прп условии, что объекты со свойством Я» наличии имеются.

В современной логике это соглашевпе Бе прям«ивет<я. Такого рода сужавнпе символически представляется э эидв '(( в (Я (л) -ь Р (л)) и считается пстип- Затем мы замечаем, что при определении предиката во внимание принимается лишь его «пробег значений» (%ег«чег1ап1) *), Г т.

е. лишь то, для каких значений переменных стоящих на места су>ъектов, предикат выполняется (является и с т и н н ы м), а для каких — нет (является л о ж н ы м). Следствием этого обстоятельства является тот факт, что в слчае заданно»о конечного числа индивидов общезнач»в<«ость, а также выполнимость всякой конкретной логической Аор " Аормулы представляет собой чисто комбинаторний факт, который может быть проверен элементарным перебором всех возможных случаев, В самом деле, если и — число индивидов, а и — число субъектов («мест») какого-либо предиката, то число различных наборов значений переменных равно п»; и так как для каждого и э з тих ор рассматриваемыи предикат является истинным или ложным, то для пробега значений Й-местного предиката имеется и" в точности 2 различных воаможных значений.

Так что если Л< суть различные входящие в рассматриваемую нами формулу предикатные переменные, а числа ~Ъ...,й< указывают количество аргументов у этих переменных, то число возможных пробегов значений, или, как мы будем для краткости говорить, число различных возможных систем предикатов, равно 2л»<+... +в~< В соответствии с этим общезначимость нашей формулы означает, что для всех 2<Ах»... --ЬА< упомянутых выше и с стем предикатов эта формула представляет истинное высказь «ванне, а ее выполнимость оаначает, что высказывание, и е став р д ляемое этои формулой, оказывается истинным по меньшей ме е л р для однои из зти систем; при этом для фиксиро ваннои системы и е и вопрос Об истинности высказывания и редставленного рассматриваемой фоРИУлой опять-таки может быт ь решен за конечное число шагов, поскольку пып, «сап всякий объект л, обла кт л обладающий свойством я (х), обладает также го, имеются лк вообще в налпчпп ~~~~ш л, независимо от тог, ( ).