Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 5

11 разбора методов анализа. Обе первы главы по существу служат лишь для того, чтобы ввести читател г) Необходимость в более четкой редакции этого правила особени отчетливо выяснилась а реаультате той критики, которой это правило по иерглось со стороны Г. Шольца а его «Логистпке» (лекции 1932 — 1933 гг. Эта критика основывается на неиоторой, отклоняющеися от пераоиачально смысла атого правила интерпретации, обусловленной неточностью прежн его формулировки. ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ в план дальнеиш ейшей работы; в то время как систематическое изложеиие в собственном смысле слова начинается только с третьеи главы. П, для чтения гл.

У11 — У111 желательно известное зкаыравда, для комство с элементами теории чисел. Прп написании гл. 1У вЂ” У11 большое содействие своими замечаниями и советами оказали господин Арнольд Шмидт и господин ° Я1 . Я выражаю им за это мою сердечную благодарность.

ен Господину рн А ольду Шмидту я в высшей степени признател бза большую помощь при чтении корректур, а также за разноораэкые пр предложения, которые он внес при этом. ГЛАВА 1 ПРОБЛЕМА НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТИ В АКСИОМАТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ КАК ЛОГИЧЕСКАЯ ПРОБЛЕМА РАЗРЕШИМОСТИ б $. Формальная аксиоматика 1. Отношение формальной аксиоматики к содержательной; вопрос о непротиворечивости; арифметизация. Уровень научных исследований в области оснований математики, из которого исходит наше изложение, характеризуется реаультатами, полученными в ходе работы, проводившейся по следующим трем направлениям: 1) совершенствование аксиоматического метода — прежде всего, на баае оснований геометрии; 2) построение анализа по принятой ныне строгой методике, путем сведения теории величин к теории, объектом рассмотрения которой являются числа и числовые множества; 3) исследования, направленные на обоснование понятий числа и множества.

Точка зрения, сформировавшаяся в результате этих исследований, в сочетании с повышенными требованиями методического характера ведет к определенной программе дальнейшей работы— программе, в рамках которой речь идет о новой трактовке проблемы бесконечного. Знакомство с этой программой мы хотели бы начать с рассмотрения аксиоматического метода. Термин «аксиоматический» употребляется иногда в более широком, а иногда и в более узком смысле слова.

При самом широком понимании этого термина построение какой-либо теории мы называем аксиоматическим, если основные понятия и основные гипотевы этой теории ставятся как таковые во главу угла, а дальнейшее ее подери<ание логически выводится из них с помощью определений и доказательств. Аксиоматически именно в этом смысле слова были построены геометрия Евклида, механика Ньютона, термодинамика Клаузиуса. Усиление, которое аксиоматическая точка арения получила в «Основаниях геометрии» Гильберта *), заключается в том, что нз всего материала реальных представлений, испольвуемого для Формирования основных понятий данной теории при аксиома") На книги: Гиде ) 1а Русском языке имеется перевод с 7-го немецкого иадання атой 949 б е р т Д.

Основания геометрии.— М .; Л .: Госте хи»дат ПРим. п-рев. [гл. < 25 пРОБлемА непРОтиВОРечиВОсти г. <ЬОРМАЛЬНАЯ АКСИОМАТИКА тнческом ее построении мы принимаем в расчет лишь то, что в вийе некоторого экстракта формулируется в ее аксиомах, а от всего остального содержания абстрагируемся.

Когда аксиоматика начинает пониматься в таком наиболее узком смысле этого слова, в качестве очередного обстоятельства добавляется еще экзиетенциальноеть ее вида. Этим аксиоматический способ построения какой-либо теории и отличается от конструктивного, нлн генетического способа '). В то время как при конструктивном способе построения объекты рассматриваемой теории вводятся только как вещи определенного вида '), в аксиоматической теории нам приходится иметь дело с некоторой фиксированной системой вещей (или даже с несколькими такими системами), вводимой в качестве области субъектов для всех тех предикатов, из которых строятся высказывания этой теории.

В предполон<ении, что зта «ннднвндная область» представляет собой некую единую совокупность, заключается — если отвлечься от рассмотрения тех тривиальных случаев, когда теория имеет дело лишь с конечной, четко выделенной совокупностью вещей.— определенная идеализация. Эта идеализация присоединяется к допущениям данной теории, которые формулируются в ее аксиомах. Аксноматику в такой усиленной форме, возникающую в результате отвлечения от конкретного предметного содержаяия и сформулированную в эканстенциальном виде, мы кратко будем называть формальной аксиоматикой. Характерной особенностью формальной аксноматнки — в отличие от содержательной — является необходимость установления ее непротиворечивости.

Между тем содержательная аксиоматика вводит свои основные понятия со ссылкой на имеющийся у нас опыт, а свои основные положения либо считает очевидными фактами, в которых можно непосредственно убедиться, либо формулирует нх как итог определенного опыта и тем самым выражает нашу уверенность в том, что пам удалось напасть на след законов природы, а заодно и наше намерение подкрепить зту уверенность успехом развиваемой теории. Формальная аксиоматика, разумеется, такн<е нуждается в прианании очевидности аа вещами определенного рода — это необходимо как для осуществления дедукции, так и для установления непротиворечивости самой аксиоматнки — однако с тем существенным различием, что этот род очевидности не основывается на каком-либо особом гносеологическом отношении к рассматриваемой конкретной области науки, а остается одним н тем же ') В связи с этим нротнзопоставзеняем см.

добавление у1 «О сонатин числа» к «Основаниям геометрия» Гильберта (1900). ») Брауэр и его школа используют з этом значении слово «эре<Мы. в случае любой аксиоматики: мы имеем здесь в виду столь элементарный способ познания, что он вообще является предварительным условием любого точного теоретического исследования. Этот род очевидности мы еще должны будем подвергнуть более пристальному рассмотрению.

Чтобы правильно оценить соотношение между познавательным значением содержательной и формальной аксиоматик, необходимо в первую очередь принять во вин»<ание следующие соображения. Формальная аксиоматика по необходимости нуждается в содержательной как з своем дополнении, поскольку именно эта последняя поначалу руководит нами в процессе выбора соответствующих формализмов, а затем, когда формальная теория уже имеется в нашем распоряжении, она подсказывает нам, как эта теория должна быть применена к рассматриваемой области действительности.

С другой стороны, мы не можем ограничиться содерн<ательной аксноматикой по той простой причине, что в науке — если не всегда„то все же по преимуществу — мы имеем дело с такими теориями, которые отнюдь не полностью воспроизводят действительное полажение вещей, а являются лшпь упрощающей идеализацией этого положения, в чем и состоит их значение. Такого рода теория, конечно, не может быть обоснована путем ссылка на очевидность ее аксиом или на опыт. Более того, ее обоснование и может быть осуществлено только в том смысле, что будет установлена непротиворечивость произведенной в ней идеализация, т. е.

той экстраполяции, в результате которой введенные в этой теории понятия и ее основные положения переступают границы наглядно очевидного или данных опыта. Придти к выводу о непротиворечивости атой теории нам не поможет и ссылка на приблизительную значимость ее основных положений. В самом деле, противоречие может наступать как раз в результате того, что мы считаем вполне определенным какое-нибудь отношение, которое имеет место только в некотором ограниченном смысле. Таким образом, мы окааываемся вынужденными исследовать непротиворечивость теоретических систем в отрыве от рассмотрения фактических обстоятельств и уже тем самым мы становимся па точку зрения формальной аксиоматики.

Рассмотрение этой проблемы как в рамках геометрии, так н в рамках различных фиаических дисциплин до снх пор производилось с помощью метода арифметизации. Этот метод заключается в том, что основные объекты теории мы изображаем посредством чисел и числовых систем, а основные отношения между ними — посредством равенств и неравенств, причем таким образом, что в силу рассматриваемого перевода аксиомы теории пеРеходят ли .' д либо в числовые тождества и доказуемые предложения, 27 ФОРЬГАЛЪНАЯ АКСИОМАТИКА змА непРОтивОРечивости (гл.