Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 6

1 как это имеет место в случае геометрии, либо, как в случае физики,— в сне~ему Услов~й, совместная выполнимость которых может быть установлена на основе тех или иных теорем существования из области анализа. При этом способе решения рассматриваемой пРоблемы мы Должны предполагать, что анализ, т. е. теоРиа действительных ь«исел, является в определенном смысле пригодным и, таким образом, мы упираемся в вопрос о том, каков характер атой пригодц Де чеМ заняться этим вопросом, давайте посмотрим, не существует ли какого-нибудь прямого способа атаковать проблему непротиворе«нвости. Кроме того, нам вообще хотелось бы поотчетливее Рассмотреть структуру атой проблемы. Заодно, пользуясь представивгпейся возможностью, мы немного иозпакомимся с логической символикой, которая оказывается весьма попевкой для наших целей и которую в дальнейшем наы еще пРидетсЯ РассмотРеть более подробно. Ри»'ер: аксиом«а геометрии.

В качестве примера аксиома- тики мы возьмем ввогсвтрию плоскости. Простоты ради мы рассмотРим лишь аксиомы геометрии положения (которые в гильбертовых «Основаниях геог«етрии» приводятся под названием а к с и о м с о е д и н е н и я и а К с и о м п о р я д к а) и аксиому о паралПри этом де«я наших целей будет удобно несколько отступить от гильбертозской системы аксиом: мы будем исходить не из точек и пРЯмых как ооъектов, образующих две рааличные системы, а вовъмвм в качестве индивидов одни только точки.

Вместо отношения «точки х и у определяют прямую а» у нас появится трехместное отношение «точки х, у, г лежат па одной прямой», которого мы буцем применять обозначение Ог (х, у, г). Нарнду с этим отношецием в качестве второго основного отноше"ия мь' ~о~э~ем отношение порядка: «х лежит между у и г», котоРое мы бУдем обозначать посредством Еж (х, у, г) '). Далее, в наших аксиомах в каЧестве относящегося к логике понятия будет встРечатьсЯ отношение равенства х и у.

Для обозначения этого отношениЯ мы будем Употреблять обычный знак равенства:х = у. Дла символической записи аксиом нам потребуются такя«е логические знаки и, прежде всего, знаки для выражения всеобщности и существовани»г если Р (х) есть предикат, относящийся к индивиду х, то вх )О (х) будет означать «все х обладают свойством Р (х)», а Лх Р (а) — «существует х, обладающее свойством Р (х)». Знак вх называется «квантором всеобщности», а Зх— «квантором существования».

Кваиторы всеобщности и существо- ь) Способ в»ложсвпя гсоывтрвп, при котором в качестве индивидов псполь»уются одни только точка, принят»а основу в акспоыатлке Освальда Вобл«на (сы. 'в' е Ы е и (). А вув«еш о( ах1ошв (ог ееошв«гу.— Углов. Ашег. Ма«й. Вес., ИО«, 5, Рр 242 — 3З4), Пра этом Веблен эсе гвоыетрвческпе отношения определяет чврвэ отношение «меп«дую вания равным образом могут относиться как к переменной х, так и к каким-нибудь другим переменным у, г, и. Принадлежащая такому квантору переменная «связывается» этим квантором— подобно тому, как переменная интегрирования свявывается знаком интеграла,— так что все высказывание в целом уже не зависит от какого-либо значения атой переменной.

В качестве очередных логических знаков мы добавим знак для отрицания и знаки для комбинирования выскааываний. Для отрицания какого-либо высказывания мы будем использовать знак ), стоящий перед этим высказыванием. Вместо ) (х = у) мы для краткости будем писать х ~ у. Знак дс («и»), стоящий между двумя высказываниями, будет оаначать, что истинны оба эти выскааывания ( к о н ъ ю н к ц и я).

Знак )(' («или» в значении «Ре)» а)), стоящий между двумя высказываниями, будет оаначать, что истинно по меньшей мере одно из этих высказываний ( д и з ъ ю н к ц и я). Знак'-+-, стоящий между двумя высказываниями, будет означать, что истинность первого из них влечет за собой истинность второго, или, другими словами, что первое из этих высказываний не может быть истинным без того, чтобы не было истинным и второе (и м п л и к а ц и я).

Согласно сказанному, импликация Я -ь- й) двух высказываний Я и )О является ложной лишь тогда, когда Я истинно, а й) ложно; в остальных случаях она является истинной. Знак импликации в сочетании с квантором всеобщности изображает общеутвердительные гипотетические предложения. Так, например, формула 'ФМР (Я (х, у) — ь й) (х, у)), где, 'Я (х, и) и )В (х, (у) — некоторые отношения между х и у, изображает следующее предложение: «для всякой пары индивидов х и у такой, что истинно Я (х, у), истинно также и й) (х, у)» г). При построении формул из их составных частей мы будем пользоваться обычным приемом расстановки скобок. В целях их экономии мы условимся, что знак — ь разделяет сильнее, чем знаки бс и )/, что А разделяет сильнее, чем )/, и что знаки — +-, Ч разделяют сильнее, чем кванторы всеобщности и существования.

Мы условимся также опускать скобки всюду, где ие будет выаывать недоразумений. Так, например, вместо выражения )ух(луЛ(х, у)), Ф ера«делит«льнов «яла» (лаю.).— Прим. иерее. цповяо ) Об отношения»веденных здесь дп»ъюякцпп и пмпликацив к тралиаяо поапыаеыым дп»ъюнктвэпыы я гипотетическим сочетаниям выска»ыэаппй речь пойдет далее в гл. )П. (гл. г ФОРМАЛЬНАЯ АКСИОМАТИКА 29 28 пРОБлемА непротиворечивости г О где Л (х, у) обозначает каное-либо отношение между х и у, мы будем писать просто тех ЗуЛ (х, у), так как это выражение может быть прочитано лишь единственным обравом: «для каждого х существует у, для которого справедливо отношение Л (х, у)».

Теперь мы уже в состоянии записать рассматриваемую систему аксиом с помощью формул. Для простоты чтения мы на первых порах будем сопровождать аксиомы их вариантами, записанными с помощью естественного языка. Разбиение приводимых ниже аксиом на группы не вполне соответствует разбиению, принятому в гильбертовых «Основаниях геометриим Поэтому каждую группу аксиом мы снабдим комментарием об отношении аксиом, выраженных здесь с помощью формул„к аксиомам, приводимым Гильбертом '). 1. Аксиомы соединения (принадлежности): 1) '((х Чу Сг (х, х, у) (х, х, у всегда лежат на одной прямой).

2) вх 1«у зег (6г (х, у, г) -э 6г (у, х, г) еес 6г (х, г, у)) (если точки х, у, г лежат на одной прямой, то точки у, х, г и точки х, г, у также лежат на одной прямой). 3) зх зу зг»еи (Сг (х, у, г) бс 6г (х, у, и) ей х ~ у -+. (6г (х, г, и)) (если х и у — различные точки и если точки х, у, г и точки х, у, и лежат на одной прямой, то х, г, и также лежат на одной прямой).

4) ЛхЗуЗг 7 Сг(х, у, г) (существуют точки х, у, г, не лежащие на одной прямой). Аксиомы 1) и 2) заменяют — с учетом ликвидации понятия прямой — аксиому 1 1); аксиома 3) соответствует аксиоме 1 2). а 4) — второй части аксиомы 1 3). 11. Аксиомы порядка 1) зхМу»«г(Хче(х, у, г)-~-6г(х, у, г)). 2) 1«х'(еу ( Хм(х, у, у). 3) «х1«у((г(Хче(х, у, г)-«-Хм(х, г, у)бе (Хы(у, х, г)).

4) )«ха(хчьу-»ЗгХч (х, у, г)) (если х и у — различные точки, то всегда существует точка г такая, что х лежит между у и г). 5) Чх»еу'«г»еиМР( (6г(х, у, г)беХч (и, х, у)ем 7 Сг (и, х, у) ел 7 6г (г, и, О) -+- лие (6г (и, и, ер) е«е (Хх«(ие, х, г) \/ Хч (ие, у, г)))). ') Эти комментарии вредназзачены специально для читателей, знакомых с гзльбертозымл «Освозазиями геометрии», я отзосятся к вх 7-му заданию (см. прим. перев. ва с.

23), Аксиомы 1) и 2), рассматриваемые совместно, составляют первую часть гильбертовской аксиомы П 1); 3) представляет собой объединение последней части гильбертовской аксиомы Г( 1) с аксиомой 11 3); 4) представляет собой аксиому 11 2), а 5) — аксиому плоского порядка 11 4). 111. Аксиома о параллельных. Так как аксиомы конгруэнтности в нашем списке аксиом не фигурируют, то аксиому о параллельных мы должны будем здесь привести в следующей расширенной формулировке: для всякой прямой и точки, лежащей вне ее, существует одна и только одна прямая, проходящая через эту точку и не пересекающая исходную прямую ').

В целях упрощения символической формулировки этой аксиомы мы введем сокращение: символ Раг (х, у; и, Р) будет обозначать выражение 1 Зер (6г (хв У, ю) бс 6г (и, Р, ие)) (не существует точки и, которая лежала бы на одной прямой с точками х и у, а также с точками и и Р). Тогда наша аксиома аапишется в виде '((х 7у Уг ((Сг(х, у, г)-~-3и(Раг(х, у; г, и) А 1(Р (Раг (х, у; г, Р) — и Сг (г, и, и)))). Если мы теперь вообразим, что все перечисленные выше аксиомы выписаны в ряд и соединены друг с другом знаком А, то у нас получится одна-единственная логическая формула, которая представляет собой некоторое высказывание о предикатах Ог и Ххс.

А(ы обозначим эту формулу посредством "л (6г, Хы). Аналогичным же образом мы можем представить в виде подходящей формулы ю (Сг, Хтс) всякое другое предложение плоской геометрии, допускающее формулировку в терминах одних только отношеяий положения и порядка. 3. Чисто сто логическии подход к аксиоматике.