Гильберт, Бернайс - Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 3

Легко убедиться, что М является своим элементом тогда и только тогда, когда М не является своим элементом. Конечно, мо»кно пытаться выйти из создавшегося противоречия, сделав заключение, что такого множества М не бывает. Однако, если пе может существовать множество, состоящее в точности нз всех элементов, удовлетворяющих такому четко определенному условию, которое мы имеем в приведенном выше определении множества М, то где гарантия того, что в нашей повседневной работе мы не столкнемся с множествами, которые также не могут существовать? И каким вообще условиям должно удовлетворять определение мноя ества для того, чтобы оно существовало7 Ясно было одно. Нужно перестраивать канторовскую теорию множеств.

Брауэр (1908) выступил против применения правил классической логики к бесконечным множествам. В выдвинутой пм интуицинистской программе предлагалось отказаться от рассмотрения актуальной бесконечности, т. е. бесконечных множеств как завершенных совокупностей. Допуская существование сколь угодно болыпих натуральных чисел, интуиционисты выступают против рассмотрения натурального ряда как завершенного множества. Они считают, что в математике всякое доказательство существования того или иного объекта должно быть конструктивным, т.

е. должно сопровождаться построением этого объекта. Особой критике со стороны ннтуционистов подвергся закон исключенного третьего, применение которого к бесконечным множествам они считают неправомерным. Интуиционисты построили свою математику„имеющую интересные своеобразные особенности. Но она оказалась более сложной и громоздкой, чем классическая математика. Положительный вклад интуционистов в исследование вопросов оснований математики выразился в том, что они еще раз решительным образом подчеркнули различие между конструктивным н неконструктивным в математике, провели ельный анализ многи Руд х т ностеи, с с которыми столкнулась тщате тии и тем самым спосо ст вовали преодо- мате. матика в своем развит леяию этих труд~о т и его требований перестройки всей Против нападок Брау Р Г б .

Он наметил другой ма тематики Решитель . ьно выст пил иль ерт. я т дностей, возникших в о снованиях матемаованный ва применю«ии века. Этот путь, основа мет формальных молелен о метода, рассмотрении аксиоматического мет нии вопросов непротивоматематики и исследовании содержательнои м инитными средствами, таких моделей надежными речизости так фи нтизма Гильберта. получил в матем атике название ин кой интуиции, ГильПрианавая ненадеж жность геометричес пересмотр евклие п инимает тщательныи берт прежде всего пр д р к интуиции.

Резульосвобождая ее от ооращения дозой геометрии, ос «Основания геометрии», пе е аботки явились его « татом такои перер «Надо согласи ться, что состояние, в ко и па адоксов, па про должительное время — «обр невыносимо. Подумайте: в математи ности и истинности— д еняет, приводят к неле- как их всякии изучает, р д т п еподает и прнменяе, ь, если даже само ь на ежность и истинность, постям. Где же искат д Н существует вполне математическое мышление д ает осечку о бежать пара- по которому можно из е удовлетворнтельныи путь, на ке»,— писал Гильберт доксов, не изменяя при этом нашей науке»,— п в 1925 году.

азличных теорий по существу Вопросы непротиворечивости различных " тв вили оной геометрии Л ба евского (1871) проективная модель неевклидово е м ос о непротиворечивости геометрии о ачев сводит вопрос о геометрии. Непротиворечн- к е непротиворечивости евклидовои гео и о можно свести к непро- вость евклидовой геометрии аналогичн ии ействительных чисел. тиворечивости анализа т е теор д " б ло, какими средствами можно строить модели Однако не видно ыло, а тва их неп отиворечивости. анализа и арифметики для доказательства их непрот ор Заслуга Гильберта состоит в том, что о у р н казал п ямой путь для исследования этого вопроса. Непротиворе чивость аяной теории д означает, что в ней не может быть получен р о п отнво ечие, т.

е. не может быть доказано некоторое утверждение и его отрицание ~ Я. Гильберт предложил представить рассматриваемую теорию в виде формальной аксиоматической системы, в котоРой будут выводимы все те и только те утверждения, кот Р , кото ые являются теоремами нашей теории.

Тогда для доказательства р ва неп отивоРечивости нужно установить невыводимость в рассматр а смат иваемой теории каких-то утверждений. Таким образом, математ т магическая теория, непротиворечивость которои мы хотим доказать, а ать стано- 14 ИРедислоВие РедАктОРА РусскОГО пеРВВодА А «5 ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДА ктоРА РУОСКОго ПЕРЕВОД вится предметом научения некоторой математической науки, которую Гильберт назвал метаматематикой или теорией доказательств. Гильберт считал, что парадоксы теории множеств вызваны не законом исключенного третьего. Он писал: «Эти парадоксы происходят скорее потому, что пользуются недопустимыми и бессмысленными образованиями понятий, которые в моей теории докааательств исключаются сами собой». Он предлагает различать «действительные» и «идеальные» предложения классической математики.

Первые имеют содержательный смысл, а вторые не обязаны иметь содержательный смысл. Предложения, соответствующие употреблению актуальной бесконечности, идеальны. Мы присоединяем идеальные предложения к действительным, чтобы простые правила логики были применимы и к рассуждениям о бесконечных множествах. Это существенно упрощает структуру всей теории, подобно тому, как при рассмотрении проективной геометрии на плоскости добавляется бесконечно удаленная прямая, пересекающая любые две параллельные прямые в некоторой точке. Выдвинутая Гильбертом программа обоснования математики и его энтузиазм вдохновили современников к интенсивной разработке аксиоматического метода.

Именно с разработкой теории доказательств на базе развитого в работах Фреге — Пеано— Рассела логического языка, предпринятой в начале ХХ веъа Гнльбертом и его последователями, следует связывать становление математической логики как самостоятельной математической дисциплины. В 1930 году Курт Гедель доказал теорему о полноте исчисления предикатов, согласно которой множество всех чисто логических утверждений математики совпадает с множеством всех выводимых в исчислении предикатов формул, т.

е. исчисление предикатов является той логической системой, на баае которой можно формализовать математику. Теорема Гбделя о неполноте арифметики (1931) поколебала оптимистические надежды Гильберта на полное решение вопросов оснований математики на указанном им пути. Согласно этой теореме, если формальная система, содержащая арифметику, непротиворечива, то утверждение о ее непротиворечивости выразимо в этой системе, но не может быть доказано средствами, формализуемыми в ней. Это означает, что дело обстоит не так просто, как хотелось или казалось Гильберту. Но уже Гедель заметил, что непротиворечивость арифметики можно докааывать, пользуясь достаточно надежными конструктивными средствами, хотя и выходящими за рамки средств, формалиауемых в арифметике. Аналогичные доказательства непротиворечивости арифметики были получены Г.

Генцепом и П. С. Новиковым. ее замечательных достиже1 ений математичеОд «им из наиболее а „„ „ б „ерекурсивнои скои логики явилась Разр " . (1938), утверждаю- функции (1934) и фоРИУл „- ф ции является уточнением что понятие Рекурсивно У " еству вся математика тия алто итма. о существу тивного поня .. н.-,"..'.- "- "-- инт и или иными алгоритмами. о т ° .

ть связана с тем возможность обнаружит пия поняти р я алго итма появилась тмических проблем в мат- тесушествовани р ие не азрешимых алгоритмиче с ие проблемы были обнару- М атике. Неразр ш е имые алгоритмические р х азделах математики, пр причем оказалось, что жены во многих р страненными и фундаменони могут быть с вязаны с очень распро т . Т ри постановке новых тальными понятия» ми математики. еперь п п еж е всего о существовамических проблем речь идет прежде э ективности и развивать н уточнить понятие э воплотившее в себе структивное напр авление в математике, в в ения,но существенно некоторые черты интуиционистского направления, отличающееся от по д осле него.

последователями Предложенныи» р Гильбе том и раавитыи его полезным не только метод формализаци а ии математики оказался по б нований математики. в исследовании логическ ских п о лем осно а й метод оказал большое влияние на развитие О б Вачительпым было премногих раздело в математики. Осо енно аначит .