Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 9

Х вЂ” +(У вЂ” »Х), 2. (Х вЂ” »(У вЂ” »Я)) — »((Х вЂ” »У1 — »(Х Е)), 3. (Х вЂ” » (У вЂ” »2)) — » (У вЂ” » (Х вЂ” >26, 4 (Х-»У) — »(У вЂ” > Х), 5. Х вЂ” »Х, б. Х вЂ” »Х. Эту систему аксиол< Фреге можно заменить, как показал Лукашевич, следующей более простой систе- мой, состоящей только нз трех аксиом; !. Х вЂ” >(У вЂ” »Х), 2.

(Х вЂ” »(У вЂ” »Я)) ((Х вЂ” >!')-. (Х 2)), 3. (Х вЂ” » У) —, (У вЂ” > Х). Можно даже положить в основу системы только ' вегпвув, Р с лхсптаснпьв ып<сгспспппг о»» дп»епвппьа1- Ка1в Вст Рмпс р|а Мп<П п»а<<со. Мащ. Е, Га Ю (199!О. ' ягсве, с., Всвнивкь»1<1, е<пе асг п»1<ьтс<свспеп ппс!свсыюс<с Гогте1зогпсьс асв гс1псп пспьспе, нане, 1з79. в* 59 Исчисление еышозыеонсд Приме!гы вывозе формул ш овгиом одну единственную исходную формулу, образованную с помощью имплнкацин и отрицания'.

Никд первый установил систему аксиом исчисления высказываний, в которой нсгюльзуется только штрих Шеффера Х/У, упоминзвшийся нами ранее'. Эта система употребляет в качестве единственной исходной формулы: (Х / (У / Е) ) / ((И / (() / П)) / Д У / У) / ((Х / 11) / (Х / (г )) ) ) . Вместо нашей схемы заключения р) здесь используется правила: нз двух форвгул >)( и 91/(5/й) получается яовая формула 6. При случае также заслуживает предпочтения такая система акснши исчислении высказываний, в котпрой с самого начала вводятся одновременно все основные связи; именно, в том случае, когда требуется по возможности болен ясно выразить роль, которая выпадает на каждую нз этих основных связей в логическом заключении.

Система аксиом, установленная с такой точки зрения, дана Гильбертом н Бериайсозгц Впрочем, и н наших правилах а)) — а4), Ь1) — ЬЗ) ($ 3 и $4) также содержится аксиоматика исчисления высказываний. Здесь речь идет о системе с единственной исходной формулой Х >у Х и б правилами вывода новых формул, Наконец, мы упомянем еще заннмагощее особое место енсчислеяие натуралы!ого закл!очения», «Ка1йй) без па1ш!кйеп Зсй))бепв»', установленное Генценом и * Ьиаонгжсз, ).

и. А. Тогзы: Опсегвисьипаеп оЬег беп Апывзепьашш, (с. ц. зос. зс!., фагвоо!с, вб. зз, к!аые п1, Юагы!гап, !919). * и!сол,,д О. Рз А гебисеюп !и ше пип>ьег ы 1ьс рг>т>- 1>ое >горозИ!Ьпв ос1орс. Ргос. Снипа. РЫ1. Зос Вб. 19 !19>т). К1 озе того, ср. така!с Ш. Ш ц и ! не: А пасе оп М!ссб>в !оци!азе, и им 4 !. ' Ппое Г, тд и Р. Лггпеус. Огипб1адгп бег а!в1ьвта1!К1, зба. ' Пеогзгн, О.: гзп1ерпсЬипз и оЬег бав 1оа)!»сье ЗсЬцеасп 1 и и. ма!ь аь нб. с9 !1954!. поаобгые же идеи независнио развнвыг яшиовсииг.

см. 3. >ааааа вин Оо 1ье ги>ев о1 вир>оыцопв гп 1ог,па>!ох!с. Скоб>а >оров Мг. 1 !1Ш4!. возникшее из стремления уподобить больше, чем до снх пор, формальный вывод формул содержательному способу доказщельства, обычному, например, в лгатематике. Это исчисление не содержит никаких ло~ических аксиом, но только фигуры заключений, которые указывают, какие следствия могут быть негюерсдствепна получены нз данных посылок, или доставляютформулы, в которых устранена зависимость от посылок. б 11. примеры вывода формул из виснон Теперь мы возвратимся к нашей системе аксиом, состоящей из основных фора>ул а) — Й) и правил вывода п) и р). Дадим ряд примеров строго формального вывода формул на аксиом.

На этом мы задержимся несколько дольию, так как опыт показывает, что начинающему обычно особенно трудно сохранить чисто формальную точку зрения. При выводе формул целесообразно некоторые особен. но часто встречающиеся операции сфор»!улировать в виде производных привил. Такие правила раз навсегда предвосхищают конечный резулыат соответствующего формального перехода, доказательс>во же правила состоит в том, что дается общий метод, позволяющий осуществить этот переход в каждом отдельном случае, пользуясь основными правил>ми.

Правило 1: Если >Д ',' 9( — доказуемая формула, то доказуема также формула >Д. Доказа~ельство получается непосредственно из аксиомы а). В резульгатс подстановки в а) получаеи: Так как а >/ >д доказуема, то схема заключения дает наи далее бюрмулу >)1, Правило П. Если 91 — доказуемая формула, а Ю вЂ” любая другая, то формула й 11 6 является также доказуемой. Исчжжкие сыска>ывсноа Это правило получас>ся из аксиомы Ь) таким нее ог>разом, как правила 1 из а).

Точно так >ке аксиомам с), й) соответствуют пра- вила П) и )Ч, как и вообще каждой формуле, кото- рая выражает отношение следования, принадлежит и соответствующее правило. П р а ни л о П1: Если И Ч Ъ вЂ” доказуемая форму- ла, то доказуема также формула И Ч И, Правил о !Ч: Если И вЂ” э — доказуемая фврмула и К вЂ” какая-нибудь другая формула, то формула 6>й — э КИ явлзется также доказуемой.

Формула (7): (Х У) [(Š— Х)- (Е-~ )). Доказательство> Формулу (Х вЂ” )е)-э(ЕХ вЂ” «ЯУ) получаем из аксиомы д), заменяя в ней Е на Е. Но эта формула будет совпадать с формулой (1), если мы заменим в ней сокращение- его значением. Правило Ч: Если формулы И вЂ” «И и З вЂ” «6 доказуемы, то формула И вЂ” э 6 также доказуема. Это правило соответствует формуле (1), Оно дока- зывается следующим образом: в (1) подставляем вместо Х, )с, Я, соответственно, И, 6, И и дважды применяем схему заключения. Формула (2)> Х Ч Х.

Доказатсльсслвос Х вЂ” «Х ',' Х [через подстановку Х на место У н Ь)[ Х ЧХ вЂ” «Х [по а)[, Х Х [по правилу Н). Последняя формула представлнет сооой сокращенну>о зааись формулы Х Ч Х. Формула (3): Х >„' Х. Эту формулу получаем из (2), применяя правило П1. Формула (В): Х вЂ” «Х. Доказаи>ельство: (4) есть сокращение для фор- мулы ХХ, которую получаем нз (3), если подставим Х на место Х, Примеры о«>сове формул оз оксо м Формула (д)с Х- Х.

Доказаслельслсво: Х вЂ” «Х [через подстановку в (4)), ХХ вЂ” «ХХ [по правилу !Ч[, ХХ [в силу (3) и правила р)), ХХ [по правилу 1П[. Это и есть формула (5). Формула (б): (Х-эУ) — э()с — э Х). Доказательство: !' — э)с [форс>ула (4)), Ху- Х)т [правило !Ч[, Ху —, 1'Х [подстановка в с)[, ХУ вЂ” «УХ [правило Ч[. Это и есть искомая формула. П р а в и л о Ч! с Если выражение И входит состав- ной частью в сложное высказывииие, которое, с целью выризить зто обстоятельство, мы обозначим Ф(И), и если формулы И вЂ”.

9 и И вЂ” «И доказуемы, то формулы Ф(И) — э Ф(6) и Ф(И) — «Ф(И) также доков Ви ючем, формулой И и всем выражением Ф в целом еще не определено однозначно, чт до озяачать Ф (И). Так, выражение ХэХ)с можно обо- значить через Ф(Х) в трех смыслах, так как за Ф(И) можно принять каждое нз трех выражений: ": И-эХУ, Х вЂ” сд); И-э>ду.

Правило Ч! пригодно для каждого из таких возможных определений Ф(И). Это п авила может быть выражено также следующим б и: доа выражения, находящиеся в отношсни р и о разом: взаимного следования, могут быть рюдставл сны одяо вместо другого в доказуемую формулу. Доказательство: Достаточно доказать правило для'того случая, когда И встречается в Ф(И) только Исчислеиие висвазювонча один рзз и Ф(6) имеет одну из форм 6,66,6б. Общее правило получаем путем мнос ократного применения этого простого правила, свроя Ф, начиная изнутри. Именно, для каждого частичного выражения Ф' из Ф получаем последовательное Ф'(В) †« Ф'(6) и Ф'(М1) — + Ф'(В).

Допустим, следовательно, что 6 †« В и  †« 6 уже доказаны. Тогда мы докажем: а) 6-«В и  — «6. Мы получаем обе зти формулы, доказывая сначала путем подстановки в формулу (б): (6 †. В) †«(В -+Й) и (В -+ о() -«(6 — «В) а затем используя то, что 6 — «В и  — «6 ужо доказаны. б) $6 — «бВ1 В — 66. Обе формулы получаем из 6 — «В, соответственно,  — 6, применяя правило 1Ч.

Т) 6б — Вб; Вб-«бб. Этот случгй можно свестн к р), применяя несколько раз аксиому с) и правило Ч. В качестве применения правила Ч1 и аксиомы с) получаем комяеутатаоееость дизьюнкбеза. Действительно, так как путем подстановки в с) получаем: 6ЧВ-«ВЧ6 и ВЧ6-э6ЧВ, то в каждом сложном высказывании дизъюнкцию 6ЧВ.всегда можно заменить дизъюнкцией ВЧ6, и наоборот. Из формул (4) и (5) и правила Ч( получаем аналогично, что 6 можно заменить на 6, и наоборот. Примирю вмвюо формул из аксиом Формула (7): Хггв'-«ХяуУ. Доказательство: Хбс)е является сокращенной записью для Х'г".

Формулу Хà — эХУ получаем путем подстановки из Х- Х, Точно так же из Х вЂ” >Х получаем формулу: Формула (8)с ХХЧГ-«Хскз'. Формула (р): Х~)К-«ХсдГ. Формула (10): Хб)т- ХЧу. Доказительство: Формулы (9) и (1О) без сокращения записываются так: 'ХЧУ вЂ” «ХтуТ и ХЯУЧ вЂ” ХУМ Они возникают из ХЧ)е-«Хяу)с путем замены, согласно правилу Ч1, в правой частй, соотв.

в левой части, Х на Х и )' на У. Формулы (7), (8) н (9), (1О) дают нам, в связи с правнлом Ч), прежнее правило аЗ) (стр. 30). Дальнейшим применением пропила Ч( является следующсес так как согласно акснояяе а] имеет место ХЧХ . Х и так как из аксиомы Ъ) в результате подстановки получаем формулу Х-+ХЧХ„то вырви<ение вида 666 нсегда можно заменять на 6, и наоборот.

Формула(11)с Хйу уаХ. Доказательство: Х У вЂ” «)е Х получаем из Х У— — «х)т, используя правило о коммутзтивностн дизьюнктивной связи. Формула (12): Хбс)с-«Х. Исчисление оисеоеиооиид зо Примера вимедо йормул ио оисиом Доказательство: Х вЂ” ХУ (по аксиоме Ь)], Х У вЂ” и Х [по формуле (б) ], Хйу-иХ. Хйум Х. Формула (73): Хйу — +У.