Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 5

Прежде всего из (24) видим, чп> можно обойтись без знака, так как связь Х У может быть выражена знаками — » и й. Затем, из (20) и (27) следует, что знаки — » и '/ также заменимы и что таким образом можно обойтись знаками й н —. Точно так же из (21) и (28) следует, что л«ажно ограничиться знаками >/ и —. Равным образом оказывается достаточно знаков — и —, ибо, согласно (28), можно выразить сначала знак в через ь> и †, а затем, со~ласно (22), знак >/ с поиоцгью — и —. Знаки — ь и брел в качестве основных (т. е.

при употреблении и дру>их символов) Фреге; знаки г/ и брал Рэссел. Естественнее всего исходить нз Исаа«асееве аасааэыатжи представления через а и , как это имеет место в ученин о суягэтении у Брентано. Особо целесообразным является употребление трех знаков: а, «у, , так как в силу эквивалентностей (2) — (б) при этом иолу. чается особенно простая вычислительная трактовка логических выражений. С помощью знаков и не могут быть выражены все связи. Так, уже Хну не а«ожет быть выражено с помощью этих знаков.

Для доказательства допустим сначала, что как основные используются только высказывания Х и У. Рассмотрим зачем восемь выска. зываний: Х;У;Х;У;Х Х;Х Х„Х~У;Х У. Если отрипать одно из этих высказываний или соединить два нз пих знаком, то получим снова высказывание, которое эквивалентно одному из этих восьми. Например: (Х У) .У зкв Х; (Х ° У) (Х У) акв Х=Х и т. д.

Так как основные высказывания Х н У имеются сами среди этих восьми высказываний, то каждое высказываете, которое образуется из Х и У путем применения только знаков н, эквивалентно одному из этих восьми высказынаний. Но ХФУ пе является эквивалентным ни одному нз них, — Если бы существовало эквивалентное Ха У и образуемое лишь при помощи знаков, сложное высказывание, содернсащее еще основные высказывания 3, Сг, ..., Т, то эквивалентность должна была бы сохраниться и при замене всех букв Я, (), ..., Т на Х.

Но таким образом мы возвращаеькя к прежнему случаю. При представлении сложных высказываний без отрицания нельзя обойтись. Например, невозможно выразить Х без применения отрицания. Действительно, все выражения, содержащие яеопределенный знак Х и образованные путем применения аь «у, -э,, представляют только такие высказывания, которые истин. пы, когда Х истинно, между тем как значение истинности Х противоположно значению Х. Нара«ааааа фара« а.эа .ыеачесаад юаажтий 2О Следует отметить, что связь 'эу может быть выражена при помощи только знака — », без применения отрицания. В саном деле, существует эквивалентность: Х'ч'У экв (Х вЂ” »У) Для Ха у подобное представление невозможно.

В качестве курьеза следует упомянуть, что можно обойтись также одним единственным логическим знаком, как это показал Шеффер. Он использовал в качестве единственной связи Х/У, словами: «Х н У несовместны». Х/Хтогда равнозначно с Х. Х/Х / У/У эквивалентно Х /У, т. е. Х '„' У. Л раз знаки и могут быть выражены'нри помощи штриха Шеффера, то другие основные связи также можно выразить с его помощью. Упомянем еще следующие эквивалентности, важные для представления отношения равнозначности: Х -У экв ХУУйУээХ, (29) Х У экв (ХВ«У)'чэ(ХВеу). (30) (29) следует из эквивалентности (24), в которой, согласно (21), знак — » заменяем знаками ~,' и . (30) получаеч непосредственно из определения й 3. Иармааьнал Форма дая дога«ведах выражений До снх пор мы видели, как можно из определенных основных высказываний, которые мы обозначаем буквами Х, У, 7, ..., образовать новые высказывания прн помощи однбкратного илн многократного применения основныхсвязейй, У,,, Эквивалентности, усэаповленные в предыдущем параграфе, учат нас, что для содержательно равнозначных связей основныхвысказываннй существует известная множественность выражений, причем от одного из зтнх выражений можно переходить к любаву другому.

Существенно опчетнэь, что каждое слоне»гав высвазыванпе путем зквоваавнтного преобразования можно лргыести х лзвестнай нор- Исымлсьие яыскожвоиий Зо Норматьиоя фолио для лосочЕская выражсмий 3> мильной форме; зта нормзльная форма состоит из некоторой конъюнкции дизъюнкций, в которых каждый дизъюнктивный члея является либо основным высказыванием, либо его отрицанием. На основании установленных эквивалентностей вводим следующие правила преобразования выражений: а!) Со знаками й и ту .можно оперировать как в алгебре, пользуясь ассоииативным, коммутативным и дистрибутивным законами: а2) Х можно заменить на Х.

лЗ) Х йУ можно заменить вырпжеиием Х 7 У, а Х 7 У вЂ” выражением Х й У. а4) Х вЂ” У можно за.иенить выражением Х т/ У, а Х У вЂ” выражением ХУй УХ '. Здесь всегда штеттся в виду обратимость замены. Преобразование происходит следующим образои: сначала заме>ием, пользуясь правилом а4), каждое выражение эквивалентным ему, нс содержащим больше знаков . и .

Выражение, возникшее таким образом, строится путем применения трех знаков й, Затем, с потяощыо последовлтельного применения правила аЗ> всегда ко>кем достичь того, что черточки отрицаний сдвину~си дальше вниз и, наконец, окажутся только над основными высказываниями, Например, из (Хуйу) 7 (Зйу) сначала получаем (ХУй У] й(йй У), затем, при вторичном применении аЗ): ху-; уйг>у7 и, наконец, (Х й У)7 й 2 7. ' Здесь м часто дальше мы орииспясн дяя удобствп упомянутыа выше способ оапнсн, при котором онвк у нс пишется. Возникшее выражение образовано нз отрицаемых и неотрицаемых основных высказываний, связанных знаками й и т/, Теперь применяем закон дистрибутив- ности.

Таким образом, в нашем примере получаем: Х7й7УйЛ'. Наконец, если мы заменим по а2) Х на Х, Х на Х и т, д., то выражение будет приведено к нормальной форме. В качестве второго примера рассмотрим выражение (х У) (7 — х). Если здесь, согласно а4), устраним сначала знак †., то получим: ХУ УХ. У заменяем буквой Ут ХУ ч-УХ. После вторичного применения а4) получаем: (ХУ) УХ й (УХ) ХУ, (Хйу) УХй(УЙХ) ХУ (по аЗ)).

Х заменяем буквой Х: (Х й У) УХ й (У й Х) ХУ Затем, применяя закон дистрибутивности, получаем: ХУХйу ХйЁХУйХХУ. Это и есть нормальное выражение для (Х вЂ” >У) (7 — о Х). Следует отметить, что нормальное'выражение, соответствующее некоторому сложному высказыванию, опредеш>ется не однозначным образом. Например, с одной стороны, согласно (29) высказыванию Х У соответствует нормальное выражение Хуй7Х. С другой Иснзслеиие вшкззнввниа Всездвч>станине слвжкиг вислазизаснл зз стороны, применяя к правой части [30) закон дистрибутнвности, получаем: ХХ й ХУ й УХ В УУ. й 4.

Хсрвхтернстнна нсегдв-истинных схемных выснвзывенна Истинность или ложность сложного высказывания, построенного определенным образом из основных высказываний Х„ Л'„ ..., Х„ с применением логических знаков В, >у, — , -, †, зависит от того, как распределены истинность и ложность среди основных высказываний. Истинность нли ложность сложного высказывания не изменится, если некоторое выражение, представляющее собой часть данного высказывания, заменяется равнозначным ему вырюкснием.

Отсюда следует, между прочим, что в нашем исчислении знак играет роль, подобную роли знака = в алгебре. Первой задачей логики является: найти такиг связи выскизывакий, которые всегда-истинны, т. г. истинны независимо вт того, ирсдстивляют ли осиввиыс высказывания истинные или лажные утверждения. Так как мы можем каждому логическому выражению привести в соответствие э>снпвалентное ему выражение в нормальной форме, то для ответа на этот вопрос нужно решить [слгыдс1дел), квгда выражение в нормальной форме представляет собвй жсгда-истинное высказывание.

Это выяснение происходит с помощью следующих ле~ко оправдываемых правял: н1) ХХ всегда истинно. в2) Если Х истинно, а У означает произвольное высказывание, то ХУ также является истинным. вЗ) Если Х и У истинны, то Хб У также нстинао. Этн правила следует понимать в том смысле, что на место Х и У можно подставлять любые высказывания или кол>бинации высказываний. В соответствии с правилами в1), в2), вЗ) и а1) всегда- истинными оказываются все выражения, которые анормальнойй форме характеризуются тгм, что в каждой дизь>алании ла мсньшси мгрс вд>за основное высказывание встречается одновременно сего атрибаииаи.