Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 2

Извести<,й специалист по математической логяке К. Гедель недаром вынужден признать, что трудности, связанные с философскими прабэемани математики в трактовке нх Рэггглом, обусловлены субтмкгнвнзмом последвего. Чтобы избежать трудностей этого ролл, неабхадниа признать, утверждает 1'адель, по множества вс<цсй и определяющие нх свойства и отпав ения существукт реально, независимо от наших субъективных конструкций. еДапущенпе таких объектов,— рассуждает он,— сталь и с аа канн а, как в допущение фиан чгскнх тел...

Онв в том же смысле необходимее для иолу <ения удончегворнтельпой сястещя матеиатики, как фнзическьш тела... д»н удовлетворительной теориа наших а<иушешщ, и эааоих случаях невозмая<но интер. претнроиать предложения об этих сущностях, как предложения о идаиныхь. Чтобы судить о подл<тном сьшсле этих утверждений, нужна было бь< знать, правда, кзк понимает Ггдгль процесс образования абстракций, но но всяком случае достаточно показательно уят и то, как воспринимает установку Геделя реценанруюший ега работу Бернайс.

«Характеризуя в целом устандвку Ггдемг па филисофскому попросу логического обоснованвя иатемапи<и, †пиш Бернайс, †основн пункт следует видеть в ега 1й Лредислотпе л ругслолу перелазу Предпсаомы л ргсшоиу жргаоду отказе от того вида феноленалгтэма, который стремится «отмзхнутьсяь от содержания математики, и в привлечении им внимания к тому, по обще матеиатике н теоретической физике в смысле необходимости предполагать объекты и отпо~пепигг сущестпующпмн иеэавиеимо ог наших весприятий и уметеенных цострпсний». Л нарилу с этим мы иожеч встретпть утвержде1ше, припадлегкащсе гоже довольно крупному специалисту Карри, гго «реалистическая точка зрения, очевидна, не должна прини.

маться всерьез в настоящее время. Конечно, опа является первоначальным взглядом †математи первобытных народов существенна эмпирнчна, н она приемлема дэя простых арифметическвх предложений, таких как 2 ф 2- 4. На то обстоягеяьства, что ннфиннтистские концепции сонрецснной матеьыгикн не ижют прообраза во анешиеч окружении, есть пункт, не требующшз разработкне. Коне шо, †добав к этому мы, †Кар пе имеет представления о диалектическом материализме и прибегает к излюбленному противниками материализма приему еео вульгаризации. Наоборот, идейная — с позиций иарксиэча-ленинизиа — борьба с идеалистическими нзвращс. лиями прспполагает такое влапевне техникой дела, которое по.

зволяет повернуть против врага его же собственное оружие. Предлагаемый вниманию читателя перевод руководства цо элементам математической логики Д. Гильбершп и В. Ллкерлана содержит систематическое построение аппарата. Кинга вы1юсла иэ курса лекций известного математика конца Х!Х и пер. вых трилцати лет ХХ ве. Д. Гнльбершо и написана его учеником Аккерманом. '1'иласофские проблемы, связаны е с мэтсматиче. ской латиной и се приложениями к основаниям математики, в точ числе и опровергнутые дальней~пил разаитиеч науки фарчалистические установки самого Гильберюа, в ней вообще ие обсултдмотся. Книга была намечена перваначааьио ка1с вводе.

ние в появившуюся пешке двухтомную монографию Д. Гилю держа иП. Бернайса, посвященную «Основаниям математики» и содержащую подробный разбор основных результатов в этой области, доведенный до 1040 г. Поэтому в ней нс зшрагиваются, илн йони ис затрагиваются, вопросы так называемой мета- логики, относя~цветя к общей тсорьщ построения логических еформализаовк обсуждению методов ц воэчожносшй дока *ательства их непротиворечивости и полноты; нс доказывается п введенная в этой связи, по выросшая затеи в общую теорию алгоритмических методов математики теорияь ржурсивлих бтунхдий, а таклге использующая последнюю еарифметизация металогик1ц, принзд.чежащая Гегелю.

Нс доказывается, хотя и выясняется необходимость такого доказательства, совместность так называемого «узкого исчисления предикатов, про законы которого можно сказать, что они экстраполированы из изучения конечных областей предметов, с предпозожениеы о бесконечности обяасти, т. е.

наше право рассуждать в известных сяучаях о бесконечных областях предметон так, как если бы они были конечными. Совсем пе рас. сматризаютс» отличные от классической логики логические «формализмы», вроде пе пользующегося законом исключенного третьего исчисления пгоблемь Кол,иогораап лли различных миогозначных елогик» н т.

и. Авторы строго ограничивают себя самые необходимым материалом, но затО дают псе летали доказательств. Читатель, внимательно проработавший кингу, булет действительно владеть техникой леда. Книга написана очсн» сгкато и лакони шо н рзссчитзна на читателя, привыкшего пользпваться матемзтичесной литературо!и Учитывая интересы более широкого круга читателей, мы снабдили ее несколькилв коммептарияии, являющимися ие дополнениями к ней, а, в первуЮ очередь, пояснениями, Пре,кде всего это относится к комментарию 1< первым двум параграфам второй гаазы, интересной лля преподаватели злеиетпарной логики, поскольку она предстаяляег собой известную формализацию логики Лристотеля. Второе издание книги, с которого сделан перевод, значительно отличается от первого.

В нем исправлены некоторые неточиоети первого издания, например нечетКая формулировка правил подстановки дэя узкого исчнслени» преди. катон». Интересны и существенны добавленные к третьей главе докааагельсша пОлноты и независимости для системы аксиОм и пРавил узкого нсчисленняе. содержащие, п частности, известный Реаультат дтегнгелмо, от которого датирую~ начало выяснения границ возможностей для логических еисчислеиийт, Значителы~о улучшено солержашееся в четвертой главе изложение «расширенного ясчпслспняе, нмсющега особое значение Гй Прщщэ ще к ромщлу лерееоду Предпоэоеие к русгле чу трещбу Гй ля решения философских продлен обосновании маэсчгпикц.

Однако в этой связи нужно отметить следующее. С целью сира. виться с так ггйэыаасмылэи семанти ~ скимнэ парэдокг ми Рэ еел ввЕл свою «разветвленную геарнэа типовц которую рзепространич прн этом нз всю математику, создав таким образом для лгатематики ряд новых трудностей. Но если отбросить субьектнннстские установки Рассела, та, поскольку лсемантические пара. даксыэ влад~не ие угрожают математике, в припепении к ной оказывается достаточной лпростая теория тинов».

Из второго яздания своего учебника авторы совсем лсключилн поэтому эразэетв енную тсориюэ н абсужленис связанных с нею трудностей. Для чтения литературы по фигюсофсинм проолечлм математики знзкочство сотой теорлем, однако, необходимо. Кроме того, с числа логической стороны «семантические нарадоксыь пе тальКо представляют салюстоятсльный питерсе, но и широко нсцользуготся в упомянутых выше общих металагнческих после.

дованиях. Нам представлялось поэтому целесоабразныи пе талька привести, как это сделали автОры, самые парадоксы, по рассказать и о воэчюкных способах справиться с ними, предупредив читателя, что сложный логический алдарат еразветвленнай теории типов» несет Смысл лишь в применении к определенным снстечам аксиом, а которых без уточнений, предуслэатрнваемык этой теорией, нельзя Рассужлать по правилач, более или менее соатветствующни законам обычной фориальной логики. Иы сочли поэтому нсабходимыч добавить в прилоггеиии нара~рафы иа первого издания кингн, посвяшеяпые лразиетвленпой теории типов и связанным с нею трупностям. Д. Гильберт р зр~бзтьгпаэг аппаРчг чатечатнгеской логики о надемдс с ега папашью оправдать свою форэгалистическую и н.геалистнческую точку зрения па млщчатику, кап на сав«купнасть лишенных содержания фориуз, которые пишутся по определенным прзоилам.

Сдгюко действительное развитие логики, п притон с помощью построенного самим же Гн,аьбертом аппарата, обнаружило неосуществимость его надежд. Развитие нэуки и в этой области иеизменпа подтвермдает прашэльность философских установок марксизма-леггиннзма. Но реакционные бур.куазньге ученье не хотиг признавать это~о. Опи упорно борются против всякого лралвлеаия материализма.

И притом все более и дэзес агрессивно. Один потер нсвшпе ьрушсиие одеаэлс~ ичщКне г наде Кэы сче~ шагал .гругнлиэ, е~чс боле' реакпи гнггычн. В рунах ьлс, ел иагс:ш, воору кеннаго передан»й лгаркс~ стека ишшнской фиюсофнео и матемапогескзя «огшгв становится не галька аруГгче э ш кРытпя новых лс~ и, но н средствоз разоблачения реаклнонн». идеологии.

В нрлиенеппп к матечатичсской логике ~ ач асобеп но слслует попоить партийное указэгое, сделанное товарнгщ» Л. А. Ждэновым в его выступлении на дискуссии ло книге Г. Ф. Александрова Исгарпя западно.европейсггойфилгссфиэг. . Сааре»енная бурлгуазная наука, -гааорьт А. А. Ждчнав,.- сиаб каст 1юповишну, фэдензи новой аргучеитацлей, которую ~еобходнлга беспол адно рчзобдачать . Кому же, кэк не нзлгстраас победившего марксизпа н ее фчэ~пссфам, -возглашшч 'юрьбу против рнстлсннай и гнусной бур чуазгои идсолашш, лечу, как не на», палое юь ей сокрушающие удары!* С Угэгоослагг Г!РЕДИСЛОВИЕ Ц ПЕРРОМУ ИЗДАНИЮ ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОГОМУ ИЗДАНИьО Г«ттннген, !б января ь! В г.

Гтыьб«Ы« Нзстоящая книга излагает теоретическуьа логику (назынаемую также математической логикой, логическим исчислением или алгеброй логию ! в той форме, которую она приобрела в моих университеты<их лекциях по принципиальным вопросам математики. («Принципы математикиь — зимний семестр 1917(18 ггЛ «21огическое исчисление« вЂ” 'зимний семестр 1920 г.,' «Основания математикиь — зимний семестр 192!/22гг.!. При подготовке этих лекций я пользовался существенной помощью и советами маета коллеги Бернайса; он же самым тщательным образом обработал лекции.