Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 3

Использовав и дополнив воаникшнйтаким образомматсриал, мой ученик Аккерман, выдвинувшийся шм временем благодаря значительным самостоятельным работам в области оснований математики, дал, приводимое ниже расчленение и окончательное изложение всего материала. !(инга должна служить одновременно целям подготовки и облегчения понимания следующей книги, которую мы с Бернайсом а скором времени собираемся выпустить и которая трактует основания математики тем же самым методом, какой я (также при деятельнейшем участии Бернайса> изложил в ряде трудов: р(епЬедгапдапй бег Ма!Ьеша!!й.

— ЛЬЬапб!ппйеп бев ьпаГпеша!ПсЬеп йеш(лага бег Нап«Ьн гд1«сйеп Пп(чегвйй, Вб. 1, стр. 157, 1922; П(е 1ой(всЬ«п Огппб(адеп бег Ма!ЬеглаП1г, Ма!Ь. Апп., В5.88, стр. 151, 1922; ОЬег бав Пиеа<И(сйе, Май!. Лпп., Вд. 9ч, стр. 161, 1925. Во втором издании «Основ теоретической логиюъ сохранены везде конструкция и последовательность первого изд ания. Однако достижения науки за последнее " п аскат врем ремя сделали необходимым внимательный пр р материала и внесение различных улучшений и дспо- лпений, которое необходимо было сделать, не выходя за рамки презкнего объема книги. П паву, главы 1 и П ве претерпели изменений; о сущесгву, г й ьбзо более исключением является только кратки ьа «р ссл дований по аксиоматике исчисления вынавых и е ни исчнссказыванийв главе !.

От разработки излаже я ления классов в главе П, само по себе желательной, мы пока отказались, так как это начисление в общем построении кнньи занимает все же изолированное положение. В главе 1 П прежде всего улучшена редакция вывода для исчисления предикагсв! прежняя правил формулировка была недостаточно точной. о отсутствовавшие в первом издании доказательства нева висимасти и полноты использованной в эта главе с емы аксиом; раздол о проблеме разреши мости дополнен обзором более новых результатов.

ла ист . Г ава !У могла быть подвергнута сокращению, поскольку подробное рассмотрение разветвленнойтеории типов Рассела и Уайтхеда оказалось ненужным, после того как подавляющее большинство исследователе отказалось от этой теории. За счет этого оказ л а ось возможным существенно улучшить и пополнить построение исчисления преднкатов второй ступени и ступенчатого исчисления восбг„е. Терминология была приспособлена к «Огппойайеп бег Ма!Ьс а(уйь Гнльберта и Г>ернайса. Например, вырзжеш с «фу!а,пш палыюс исчисление« заменено вб Предисловие кв втор«и> и»деним Гургви тези фуре, иоибрь !937 г.

П. Акквгьивн повсюду на «исчисление предикатов». Выражения ютогическан сумма» и «логическое произведение», в соответствии с общепринятым логическим словоупотреблением, переделаны повсюду в вконъюнвщию» н вдизъюнкцню». Господину Н. Бернайсу (Ц!орих), который прочел корректуру в гранкзх, я особенно обязан за многочисленные советы. За различные лгысли н указания я благодарю также господ Гентцена (Геттинген), который просмотрел рукопись, Арнольда Шмидта (Марбург) и )!!ельца (М»онстер). Всем им выражаю свою искреннюю благодарность. ВВЕДЕНИЕ Теоретическая логика, называемая также математической илн символической логикой, еш ь применение формального метода математики к области ло~ики. Она применяет к логике тот »се язык фор»гул, который уже издавна употребляется для выражения мате»атических отношений.

В настоящее время было бы утопией прн построении какой-либо математической дисциплины пытаться обойтись лишь обычныл! языком. Большие успехи, которые сделаны в математике, например в алгебре, со времен античности, обусловлены в значительной степени тем обстоятельством, что удалось найти полезный и продуктивный формализм. Чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т, д., находят свое выражение в форм>лах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении.

Переход к логическим следствиям, совершающийся посредством умозаключения, разлагается на свои последние элементы и представляется как формальное преобразование исходных формул по известным правилам, которые аналогичны правилам счета в алгебре; логическое мьцнление отображается в логическом исчислении. Зто исчисление делает возможным успешный охват проблем, перед которыми принципиально бессильно чисто содер)кательное логическое мышление. К таковым принадлежит, например, проблема! как можно охарактеризовать предлом<ення, которые вообще могут быть выведены из данных посылок. Особо важное значение логическое исчисление приобрело в послед- 2 От в р в,»««ив !й 8««дено« ние десятилетия еще и потому, что она развилось в необходимое вспомш.ательнае средство исследования основ математики.

Идея математической логики впервые в ясной форме была выдвинута Лейбницем. Первые результаты получили де Морган (1806 — 1876> и Буль (1815 †18>. С Буля начинается все дальнейшее развитие, Из числа его последсвателей нову1а науку обогатили Д>кевонс (1835 †18) и прежде всего Пирс (1839 †!914>. Шредером, в его «Уог1сзипйеп «Ьег ейе А18ебга йег Сод!К» («Лекции по алгебре логнкиэ, 1890 — 1895>, были систематически собраны и усовершенствованы различные результаты, добытые его предшественниками. «Лекции по алгебре логики» представляют собой в известной степени заключительное звено в цепи развития, начинающегося с Буля.

Отчасти независимо от развития булевско-шредсравской алгебры логическая символика получила новый стимул для своего развития благодаря потребностям математики в точном обосновании и строгом аксиаматическом изложении. Г. Фреге опубликовал свои труды «Вебг!!!«зсйг)!! («Исчисление понятий>, 1879) и «Огипййезесзе бег Аг!1Ьше11К» («Основные законы арифметики», !893 — 1903). Пеано и его сотрудники начали в 1894 г. издание «Регги«!а!ге бе Ма(Леша!эйне>» (еФармуляр математикиэ), в котором все математические дисциплины должны были быть представлены в логическом исчислении. Появление «Рг)пс>рш ша1Ьеша11са» (1910 — 1913> Уайтхеда и Рэссела является высшей тачкой этого развития. В недавнее время Гильберт в ряде трудов и в университетских лекциях использовал логическое исчисление для того, чтобы на новом пути достичь такого построения математики, которое дает возможность установить непротиворечивость положенных в основу посылок.

Г!ервое связное сообщение об этих исследованиях появилось в настоящее время в первом томе «Огипй!абеи бег Магйеп>айй» («Основания мигематикнэ, !934) Гиль- берта н Бернайса. глав« пх>зля ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАИИИ Так называемое исчисление высказываний составляиг первую необходимую часть математической логики. Под высказыванием следует понимать каждое предло>кение, в отношении которога имеет смысл утверждать, что его содержание истинно или ложно. Например, высказывания«и являются: «математика есть наука», «снег черен», «9 есть пасстое число>.

В исчислении высказываний нс входят в более гонку>о логичссяую структуру предложений, структуру, которая выра»кается в связи между субъекточ и прсдикатом. Высказывания в нем рассматриваются как целое, в их логической связи с другими высказываниями. б !. Введение основных легнчесхох связей Высказывания могут определенным образом соединяться в новые высказывания.

Например, можно иэ двух высказываний: «2 меныие 3>, «снег черен> образовать новые высказывания: «2 меньше 3 и снег черен», «2 меньше 3 или снег черен>, «если 2 меньше 3, ию снег черен». Наконец, можно из высказывания «2 меньше 3» образовать новое высказывание: «2 не меньше 3», которое выражает логическую противоположность первого высказывания. Соединения высказываний здесь разговорно выражаются словами: «иэ, «или>, «ие», >если — те>.

Зги основныс соединении высказываний мы выразим соответствующей символикой. Для обозначения высказываний будем употрсолять большие латинские буквы: Х, У, 2, (7,... Йля выражения лопшеской связи высказываний мы вводим следующие 5 знаков: з" 2> Вввдвпив вся»и»их зввичевви» связей Ив«ив«вниз высквзыввкий »Ю Е Х (читается <ке Х») обозначает контрадикторяую противоположность Х. Х обозначает высказывание, которое истинно, если Х ложно, н ложно, если Х истинно. 2. Хйу (читается «Х л У») обозначает высказывание, ко>орое истинно в тои и только в том случае, если как Х, так и У истинны. 3. Х >у У (читается «Х или У») обозначает высказывание, которое истинно в том и только в том случае, когда по крайней мере одно из двух высказываний Х, У является истинным. 4.

Х вЂ » У (читается «если Х, та У») обозначает высказывание, которое ложно в том и ~олька в том случае, когда Х истинно и У ложно. 5. Х -У (читается «Х рагид>качка У»), что пишут также Х У или Х У, обозначает высказывание, которое тогда и только тогда истинно, когда Х и У оба истинны или Х и У оба ложны.

Х У означает, таким образом, что Х и У имеют адно и то же значение истинности или ложности. Относительно 3. следует заметить, что связь »Х нли У» не нужно смешивать с исключающим вили» в смысле латинского <алг — аийм НапРотив, зто вили» имеет значение»или также> в смысле латинского «аейп т. е. допускает возмо>кнос>ь сосуществования Х и У', Соотношение «если Х, то У» пе следует понимать как выражение для отношения сииювзния и следствия. Напротив, высназывание Х вЂ” >У истинно всегда уже в том случае, когда Х есть ложное или же У истинное высказывание.

Так„ например, следующие высказывания следует считать истинными: Если «дважды 2 равно 4», та «снег бел». ' Исквючвзвщее «иви — илю коже« быть вырвжеио при паивщи кеквтаява комбинации ссвевиык »ивков. »>«ви Х ияи У» явиятся сч, иивииеи Х >' и выгюк»ется.твк: Х У. Если «дважды 2 равно 5», то «снег бел». Если вдюжды 2 равно 5», то «снег черепы Ложным же была бы высказыоаиие: если «дважды 2 равно 4», то «снег черен». Все же соотношение Х вЂ” »У имеет общим с соотношением псповапия и следствия то, что в случае истинности Х-»У из истинности Х можно заключить об истинности У. Соотновзенне Х У не понимается здесь как равносильность по смыслу Х с У; оно имеет место между любыми двумя истинными, а также»>ежду любыми двумя ложными высказываннярн.