Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (947372), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Таким образом, взятая нами конституепта нс является логическим следствием из аксиом. Отсюда следует, что каждое следствие из аксиом в совершенной нормальной форме содержит только такие конституеиты, которые имелись уже в разложении посылки. Используя это соображение, получаем следующий общий прием вывода следствий из системы акснол>. Все аксиомы связываем знаком й и для выражения, возникшего таким обри>ам, образуем совершенную коньюнктивную нормальную форму. Павле этвге можем, выбирая любые кольюнктивные члены и связывая их злаками й, получать так все следствия из аксиом в совершенной пармильнай форме.
Используя упомянутое на стр. 40 правило исключения, можем получить затем, при случае, более просту>о запись следствия. В приведенном примере, где в качес>ве аксиом взяты А и А — ь В, этот метод выглядит следующим образом. Сначала Ай(А — В) разлагаем по Л и В; А й(А —. В) экв Ай ЛВ, Ай АВ экв А(ВйВ) й АВ, А(Вй В) йАВ экв ЛВйАВй АВ.
АВй АВ й ЛВ предо>авлнет совершенную нормальную Ис шс,ииие выси«ли««низ Одвор вых следствий ил доииих иве вст «т об форму для этих аксиом, Выражение АВЙ АВ экв (ЛЙА) В экв В является, таким образом, следствиеи из аксиом. Другне следствия, которые еще иожно получить из А и Ле иВ, суть: ЛВ; АВ; АВ; АВЙЛВ экв Л(ВЙВ) экв Л; АВЙАВ экв А" В и, естественно, АВ й АВйАВ экв Ай В. Если желаем получить следствия, которые содержат еще некоторое другое высказывание С, не встречающееся в аксиомах, то следует разлагать посылку не по Л и В, а по Л, В, С. Возьмем другой пример. Пусть мы имеем две аксиомы: А В, В С.
Сначала мы пишем аксиомы в нормальной форме: АВйВА; ВСйСВ. Если разложись посылку по А, В и С, то получим: АВС й А ВС й АВС й ЛВС й ЛВС й АВС. Одним из следствий является здесь, например: АВС й АВСЙ ЛВСЙ АВС. Преобразуем его в: АС(ВЙВ) й ЛС(ВйВ) и затем в ЛСЙЛС, г е. А. С, Приведем еще два примера применения подобных заключений.
Пусть А означает высказывание: <Каждое действительное число есть алгебраическое число~. В означает: «Множество действительных чисел счетно«. В мате- в«атике доказйваесся, чтщ во-первых: Л вЂ” ~В, т. е. «Если каждое действительное число есть алгебраическое число, то множество действительных чисел счетно>; во-вторых: В, т. е. «Множество действительных чисел несчетное.
Посылкой здесь является: АВй В, нли в развернутом щде: АВйАВЙАВ. Одним из следствий является здесь АВй АВ экв А(Вй В) экв А, т. е. получаем: «Не кан«дое действительное число есть алгебраиче- ское числом Это заключение о существовании транс- цендентных чисел. Во втором примере пусть выскамования А; В, С означюот следующее: Л: «Теорема о сложении скоростей нстиннаж В. «В системе неподвижных звезд свет распростра- няется по всем направлениям с одинаковой скоростью», С: «На земяе свет распространяется по всем напра- влениям с одинаковой скоростью».
Тут прежде всего имеем математическое предло«с<е- ние: (Ай В) С, т. е. «Если теорема сложения ско- ростей истинна и если в системе неподвижных звезд свет распространяется по всем направлениям с одина- ковой скоростью, то на земле скорость распростра- нения света не но всем направлениям одинаковав. Затем мы заимстнуем нз физического опыта, что В и С истинны. Таким образом, мы имеем аксиомы; (Ай В) « С; В; С. В коньюнктнаной нормальной форме посылка имеет внд: ЛВСйВйС Исчисжиис высказываний Акимки всчисасиип высказываний 49 и з разнернутой форме: АВСй ВАС й ВАС й ВАС й ВАС йСЛВ й САВ. В качестве следствия здесь получается АВС й ВАС й ВЛС й ВАС.
Преобразовывая, получаем: (В й В) АС й (В й В) АС, АСй ЛС, (СйС) Л, А. Та«ни образом, получаем следствие, что предложение о сложении скоростей незерно. Из любых двух протиаоречащих друг другу аксиом можно вывести любое предложение. В самом деле, если имеем А и А как аксиомы, а  — какое-янбудь другое зысказызапне, то, разлагая посылку Лй А по Л и В, получаем: АВЙАВйАВйЛВ Отсюда следует: АВйАВ, т. е.
В. Указанный метод позволяет возле вывести исе следстпия из данных аксиом нли, друв ими слоаамн, найти зсе сложные высказывания, которые слабее, чеи данное. Можно геперь поставить обратный вопрос; какие слоненые зысказызания сильнее данного, т. е. из каких посылок оно получается и з<ачестзе следстзия7 Решение этой проблемы получаем способом, подобным предыдущему: сначала следствие разлагаем по асем основным зысказызаниям, т, е. приводим его к сонершенной нормальной форме.
Затем береле какие-нибудь не зссреззающнеся и этом разложении консгитуенты, присоединяем их знаком й «следстзию и таким образом получаем зсе аозможные посьщкн. б 14. днсипмы иечпепвння высказываний Аксиоматическая форма для теории исчисления зысказызаний получается посредством зыбораиззсезданстинпых сложных пысказызаний некоторых и задания формальных праннл, по которым можно вывести нз выбранных зсе остзльные зсегда-нстювные формулы.
В логическом исчислении эти празила играют ту же роль, какую играет з математических н физических теориях логический вывод. Причина того, что логический нынад не может быть здесь использозэн обычным содержа~елькин образом, кроется з том, что свми логические способы заключения составляют предмет наше~о исследования. Мы проводим различие между логическнмн основными формуламн (аксиомзьвн) н оснознымн правилами вывода истинных формул, В качестзе основных формул мы вводим следующие четыре: а) Х з/ Х вЂ” «Х. Ь) Х ~Хч„зу, с) Хч,зу — ну~/Х.
б) (Х вЂ” ~ У) —; [Е Н Х вЂ” в Е Ч У]. Первая аксиома означает, что еысказызание истинно, если дизъюнкция этого лыскащазания с самим собою истинна; вторая аксиома яаляется не чем иным, как упомянутым на стр, 32 празнлом з2); третья аксиома постулируе~ коммутатизносчь дизьюнкцян; четвертая аксиома выражает, что з случае истинностй иашликацни Х У можно обз ее члена снязать дизьюн стнзно с любым высказыванием Х. Впрочем, знаком -змы пользуемся только как сокращением. Х-ь У должно быть более удобным способом записи для Х чч' У.
Навример, аксиома а) без сокращения записынается так: Х чг Х чА Х, Для получения нопых формул, как из положенных з основу исходных формул, так и из уже пызеденных формул, мы имеелз следующие даа пррзнла: 4 о и вврвчи и. и Исчпслспссе висло»а»аппп Аскммы псчпслсвпв»чтазкввпчо а) Правило подстановки Вмесяю переменного высказывания (т. е. вместо большой латинской букны) можно везде, где зто буква встречиется, подставить одну и ту же формулу исчисления высказываний. б) Схема заключения Из двух формул й п И вЂ” »6 получаем новую формулу 6. В ближайшем параграфе мы подробно разъясним употребление обоих правил для получения новых формул из уже выведенных формул или аксиом.
Здесь мы сделаем еще несколы<о замечаний общего характерз относительно аьсипматнки исчисления высказываний вообще. Прн установлении системы аксиом мы пользовались только связями ~/ и —. Это сот ветствует ранее установленному факту, что упомянутые две связи являются достаточными длл выражения всех сложных высказываний. Ради удобства мы, правда, применяем также знаки †», бг, . Однако формулы, в которых употребляются зти знаки, следует понимать при этом лишь как спкращенпую запись для формул, содержащих только знаки <г и †.
Так, мы рассматриваем формулу И . 6 как сокращение для й У 6, Ибс 6 †д й </ 6 и И 6 †д (И вЂ” + 6)ст(6 †> И), т. е. для И </ 6 <у 6 </ й [ср. эквивалентности (2!), (28), (24) в42). Использованная нами система аксиом была установлена в основном Увйтхедом и Расселом (в (-м издании Рппс)р)а Ма!)<ета<!са). Этими авторами была исппльзпвана еще аксиома Х <»» (У <у Я) --» У <у (Х <»» 2), выражающая ассоциативность дизъюнктивной связи; в дальнейшем было доказано, однако, что зта а ксиома не нужна'. Так как связей й и , равно как и связей †.
и также достаточно для выражения всех сложных высказываний, чо в основу системы можно положить и аксиомы, в которых используются только <1 и нли только — » и . В настоящее время проявлщот особый интерес к системам аксиом последнего рода, и которых, следовательно, за основу принимаются только имилияабия и отрибакие. Первая из систем аксиом этого рода, в которых, помимо того, в качестве правил вывода применяются наши правила а) и б), была установлена еще Фрегс*. Оиа состоит нз следующих шести аксипм. !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
