Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 4

Например, высказывания (2 и 2 равно 4) (снег бел), (2 > 3) (снег черен) истинны. Особую важность имеет еще то общее замечание, что, в силу нашего определения основных логических связей, истплнасть или ложность сложного высказывания зависит только ат истинности л важности составляющих выскагыганаа, а ле ат пх садержакия. Если сокращенно обозначить истннное выскамйвание буквой Я, а лажное †букной 5, то, например, связь †» характеризуе>ся тем, что высказывания Я-+ И, 5 — +Я и 5 †»5 являются истинными, а высказывание И- 5 — ложным.

Для связи й высказывание ЯЙИ является истинным, а все остальные: Яй>5, 5ЙЯ, 5й5 — ложными. Дальше, Я >У Я, И >У 5, 5>в»И — истинны, а 5 >, 5 †лож. Связь - характеризуется тем, что И И, 5 5 — истинны, между тем как Я 5, 5 Я вЂ” ложны. Наконец, И ложно, 5 истинно. Таким образом, мы имеем право рассматривать основные связи как функции истинности (>ча»г(>е>Ыцпй(1опеп), т. е. как определенные функции, для которых в качестве аргументов и в качестве значений функций рассматриваются толы<о И и 5.

Для формальной характерйстики введенных операций следуег заметить, что только отрицание Х одно- Иссис,генис висло>извини Зквавалсиа>исссии членно, ме;кду тем как все остальные операции явля- ются двучленными. й 2. Эиенноледтиостт зоиснясмость оснооимх связей Применяя несколько раз основные связи, можно образовать изданных высказываний более сложные связи высказываний. Например, из основных выскамдваний Х, У, Л возникает таким образом сложное высказывание ((Х вЂ” >У) й(У- д)) й(Х л/д). Каждое такое сложное высказывание представляет так же, как и простые связи высказываний, определенную функцию истинности.

В упомянутом сложном высказывании мы имеем для Х, У, Е восемь возможных троек значений; Й, Я, Й; Я, Я, 5; 'й, 5, Я; Я, 5, 5; 5 Я Я 5 Й 5; 5 5* Й' 5, 5, 5. Каждой тройке формулой ((Х вЂ” > У) й (У вЂ” > Е)) й (Х л/ Е) придается соответственно значение Я или 5. Напри- мер, комбинации 5, Й, 5 соответствует значение 5. В самом деле, согласно определению основных связей, мы можем заменить ((5 — >9))й(Я вЂ” >5))й(5 л/5) (Йй5)й5. на далыпе иа 5й 5 и, неконец, на 5. Замечательно, что некоторые различные нз этих связей равнозначны, т. е.

выражают ту же самую функцию истинности. Так, Х равнозначно с Хс двойное отрицание означает то же самое, что и утверждение. В самом деле, Х, точно так же как Х, прн подстановке Я принимает значение Я и ири подстаноике >5 — значение 5. Такие равнозначащие связи высказываний мы будем называть в дальнейшем вэквивалентными> н будем писать кратко Х экв Х'. (1) Сейчас мы установим ряд других эквивалентностей.

Прежде всего обнаруживается анапы.ия способа лримекення знаков й и '„со знаками алгебры + и Именно, имеют место следующие эквивале>пности> Хйу экв УйХ, (г) Хй(уйг) эк (Хйу)йг, (3) ХЛ/У экв Ул/Х, (4) Хл/(у'/й) экв (Хл/у) Л/7., (5] Х л/ (У й л) экв (Х л/ У) й (Х, >/ Е). (6) Истинность этих (и всех иных) эквивалентностей может быть установлена, как явствует уже из сказанного, следующим образом: берем все возлгожные комбинации, которые можно образовать из И и 5 для основных высказываний, и убеждаемся, что для каждой из таю>х комбинаций обе стороны рассматриваемой эквивалентности всякий раз дают одинаковое значение истины или лжн Э>у проверку предоставляем читателю. Из эквивалентностей (2) — '(о) следуют коммутативлый, ассоциативный и йистрибутивяый законы. В силу этой аналогии с алгеброй, Хйу называют также логической суммой, а х л/ у — логическим лрс>извес>гнием.

Из приведенных законов следует, что логические выражения можно, как в алгебре, аперемиожать> или выносить за скобки общий множитель. С тем >ке, впрочещ успехом мы могли бы назвать Х й У логическим произведением, а Х л/ У вЂ” логической суммой, и такое обозначение в логике является даже более употребительным. Дело в тшн, что, в отличие ат ' Сдсдгст зсмстить, 1та тпа>тсбленпос здесь саигашсннас обозначение сии нс по>>подлежит и нашим логическим сииналзм. аа Эквв<вв<ит<ыо»и Ив<о<к<на«н<квт<внаа алгебры, здесь имыт местоеще второй дштрибутивний закон: Хй(У г/Я) зкв (ХЙУ) '„'(Хйй).

(7) В качестве примера, поясняющего второй закон дистрибутивностн, может служить следующее предсказание погоды: <Сегодня идет дождь, и завтра ясно или послезавтра ясно». То же самое утверждение может быть выражено так: «Сегодня идет дождь, и завтра ясно, илн се~одни идет догкдь и послезавтра ясна». Так как в логике относительно употребления слов «сумма» н <произведение» существует неопределенность, то мы, вообще говоря, по возможности будем избегать зтнх выражений.

Мы называем Хй У конъюнкцией Х и У, Х г/ У вЂ” дизьюикцг<вй Х и у. Для Х-»У употребительно название имлликиция. В силу закона коммутативнасти н ассоциативности многачленные конъюнкции или диаъюнкции можно иисзть без скобок. Кроме того, для дальнейшего уменьшения количества скобок мы устанавливаем, чта г/ связывает твсквв, чан й, а 6, в сваю очередь, теснее, чем — и - . Знак г/ можно ле ставить точно так же, как в алгебре не ставят знака умножения ° . Для упрощения коныснкций н дизьюнкций существенны следующие эквивалентности: ХЕХ экв Х, (8) Хг/Х экв Х.

(9) Таким образом, в коньюнкцин нли дизъюнкции, в которой некоторый член встречается несколько раз, можно писать таковой только один раз. Точно так же следующие эквивалентности дают возможность заменять сложные комбинации высказываний более простыми: ХйЯ экв х, Ио) Хй() экв (ч, (1 !) Из (10) следует, что истинный конъюнктивный член всегда может бють отброшен; из (11) — что, коныонк- ция означает ложь, если в ней встречается ложное высказывзние. Соответствующее положение дел мы имеем н в отношении дизъюнкцни: Хг/я акв я, (! 2) Х г/ $ экв Х.

(13) Дизъюнкция истинна, если она содержит истинный член. В дизъюнкцни ложный член ма>нет быть отброшен. Для импликацин мы также имеем подобные соотношения: Я вЂ” »Х экв Х, (14) 5- х экв зс. (! 5) Имплнкация с истинным предыдущим членом эквивалентна ее наследующему члену. Импликзцня с ложным предыдущим членом всегда представляет собой истинное высказывание. Наконеп, для отношения равнозначности мы имеем: Х Я экв Х, (16) Х $экв Х. (17) для связи отрицания с й и г/ получаем следующее важное соотнашение: Х му эка Х '/ У.

(18) Пусть, например, Х означает утверждение: «Треугольник /г прямоугольный», а У: «Треугольник /ь равнобедренный». Связи ХЬУ соответствует тогда высказывание: «Треугольник /т прямоугольный и треугольник /г равнабедрш<ный». Контрадикторной противоположностью этога является следующее нысказывание: «Треугольник,'ь не прямоугольный илн треугольник /г пе равнобедренный», и это высказывание выражается Х г/ У. Также имеем: Х </ У зкв Хй У. (18) Ис«««лена« юоюз«««н«Е З«1«нл«м«со>» «гню«ле» с«лзеи Например, пусть при испытании по математике требуется, чтобы кандидат был сведущ па крайней мере в одной из областей: арифметике или геометрии.

Пусть Х обозначает высказывание: «Кандидат знает арифметику», У обозначает: «Кандидат знает геометри>о». Кандидат удовлетворяет требованию экзамена, если Х >/ У истинно. Наоборот, если кандидат проваливается иа испьпании, т. е. перед наин отрицание для Х >/ У, то эго означает: «Кандидги не знает арифметики, и он пе знает геометрии», что выражаешя через Хй У, Другие эквиваленп>ости получаем, привлекая знаки — » и Так как высказывание Х вЂ » У означает, что одно. временно не может быть Х истинным и У ложным, то имеем: Х вЂ”.

У экв ХЙУ. (20) Используя (!8), можно ХАУ писать также в виде Х'~/У и, согласно (1),— в виде Х',/У. Таким образом, имеем также: Х вЂ” »У экв Х >/У. (21) Если возьмем в этой эквивалентности Х вместо Х и используем то, что Х экв Х, то получим новое соотношение Хт, У экв Х вЂ” »У. Согласно (20), имеем У вЂ” »Х экв Уй Х. В силу (1) вместо правой части можно поставитьуйХ, в силу (2) ХЙУ и в силу (20) Х вЂ”.

У. Таким образом, пол«чаем: Х- 1' экв У вЂ” »Х. (23) Далее, если справедливы оба высказывания Х вЂ” У и У вЂ” » Х, то это зна пгг, что не могут быть одновре- менно Х истинным и У лажным, и также невозможно, чтобы одновременно У была истинным и Х ложным. Таким образом, высказывание (Х . У) й (У вЂ” » Х) означает, что Х н У оба имеют одинаковое значение истинности или ложности. Другими словами, имеем эквивалентность: Х-У экв (Х--.У)й( —.Х).

(24) Из определения связи непосредс гвен но получаем, что Х У экв У Х, (25) Х У экв Х У. (2б) Дальше из (19) и (18) получаем (отрицая обе стороны эквивалентности и принимая во внимание, что, согласно (1), двойное отрицание может быть отброшено) > Х >/У экв Хну, (27) Х8 У экв Х >,' У (28) Из этих эквивалентностей обнаруживается множественность выражений одних и тех лге слижныт еысхазыеоний с помощью «веденных знокие, Это наталкивает на вопрос: не являются лн некоторые нз осноеных логических связей излишнами7 Ответ утвсрдителен.