Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы)

Уон Псрсвоа с нснсансго Л. А КРОФКускл гаев бй11ХегХ116Е НЕН ТНЕОЙЕТБСНЕ1к1 1.ОО1К Рн НсСВЕНТ пла %'. АСКЕЦМЛНХ алеке, чег!!саве!се Апйаее Нен Уага Д, ГИЛЪВЕРТ И В. слККЕРМА!! ОСНОВЫ ТЕОгРЕТИ ЧЕСКОЙ ЛОГИКИ Рсааааггл, встут,тс.вьннл сатгннн и гт неон!ларс а гс С. Л. КИОКСКО Н !947 Государственное а!дате гьство ННОСТРАННОЙ 7П гТЕРАТУРРИ Москва ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ПЕРЕВОДУ Истарп<о дэла<зевав в этой книге теоретическая и<ш матсмсткчлхай, как праш<лы:ее се называть, логики начинаю< обычно с еупилсрсальиод харзктеристикие Б<дблпба, после чего нерехажт к работам Л.

Зе Мартана, Буля, Длсевопса, Шредера, Пирса, принадлежащим Х! Х в. И хата это п известной мере правильно ', все же, в осаоаном, математическая логика дала<на быть отнесена к числу новсбших ааучных дисциплин, характерных именно для науки ХХ в. Пре кде всего, в ХХ в.математическая логика, по существу, с<ала частью математш<н Существует рял саобрах<ения, в силу «шорых сд следует пазывшься именно мат ематичеш<ой логикой. Ее рост обуслсзливается, в первую очередь, потребпостяии математики.

Создание неевклидовых геол<етрнй, в истории которых оснОвное а<сета принадлежит нашему соотечественнику Н,И.,7О. оачге<халВ, и возниьнавенне методов современпой тсоретккомножественной матсматикн породили н в мазематике ту кругу<а лОмку понятий, подлинную двойственную сущность кота!юй вскрыл В. И. .7<как в <Материализме н эвпкриокрнти. пиале<. Наука, с однак стороны,испытала невиданное сше в ее истерие развитие и притом не толька Коли юстлениое, иа и ка <ественное; аид стихийно ветала на путь материалистической диалектики. Но в условиях империализка самый прогресс науки породил реанцвопныс попытки ндсалистнчсскад философии паразитировать иа пауне, использовать «аждыд новый успех ее в своих целях. Именно такога рода картинл, иа деталях нагорай мы вс ииеея здесь вазможности астанааитшя, раавсриулась и в области проблем оооснавания математики, люкаших на границе математики и логики, Уи<е а самом нзчале исследований, приведших в дальведшем к созданию неевк.кпювых геометрий, математикам пришлось заняться разбором различных вариантов рассуждения, кретеидовавн<их на право назмватьси даказаюельппеали евклндовского пост латз а пэ алясльных.

Так как прн у Р ' Если не забывать прн этом оригинальные работы русского у<шпага — казанского матеиатика и лагина П. С. Поредкого, прадас>ага< и русого.чу нерегад> Предисловии и р,тсхгчу нерггаау этом чаще всего обнаруживалось, что в чис>е посылок явно нли неявно используется допущение, попросту равносильное самому постулату, то возникла естественная потребность выявить ясе носы чки, на ноюрых в действнтельности построена система лНачалч Евклида. Однако завершена ага работа была лишь в начале ХХ в.

в известных гОснованних геометрии> >У. Гильбгрта. Ги,мбгрт точно перечислил основные нсопределяечые понятия гсамегрин, с папашью которых апределяютсн остальные ее панн. тив, и основные педокааывзечыс пред южения, с помощью которых докаэываютсп все остальные предлткения. Но для тога чтобы проверить, >то перечисленных аксноы дсйстввтелыю достаточно лля даказатсяьства всех вообще истинных предложений некоторой науки и >го с нх помощью нельзя, на. оборот, вывестн ложиос заи >юченне, нужно было располагать обзором не только всех принимаемых посылок, но и всех дону. стииых средств вывала нз ннх новых предло>келий. В последней четверти Х1Х в, за такую работу взялись неззвнсиио друг от друга Пеаяо нфрггг. Блан>даря тому, попри этом пришлось занятьсн выяспениеч самых глуоокнх и основных логичеснвх связей менту наиболее влсцснтараымн понитиямв и предло>ксивами математики, у Фрегг создалось даже впечатяение, что ечу удалось определить и нсапределяеиые понятия арифметики, доказать и недоказьшэеиые в ней пред>жжения, сведя их и более общим понятиям н предловтнпям (<законамг) логики.

Еще прн жизни Фрегг, в начале ХХ в., Рг<гел обнаружил, однако, в сто сиетсмс нратнворе*>ие Кэк оказалась,— несмотря на то, что мно гяе нз вскрытых Фреге конкретных свнэей действвтельяо имеют место,— система в целая ле годится, так как с ее помощью можно дт<азать все что угодно. Чтобы изоежать так называемых «парадоксов расширевного ибчнсления нреднкатоал, Рзсгел придумал свою известну>о «рааве>вяенную теорлш типов», с которой сразу жо оказались связэнныии новые трудности, обусловленные его половинчатой и путаной субъективистской устаповкои.

От вышедшего в 19!0-1913 гг. трехтомноготруда Рассела и Уаблтеди «Рщлс!р1а пкнйетайса» иа,кно было итти дальше па двум направлениям> можно было, как это н случил<юь с его авторами, занять позяцни эсе более и более агрессивного наступления на материализм и защиты схаласп<ки (заору кеппый такой идеологией Ь. Рэссез не случайно про- паганлирует сейчас применение атомных бомб против СССР), и мо,кно было с меньшими >>ля большими колебаннямя (в усяопиях ичнерналистическаго общества такие колебания вполне естественны), более нэи менее стихийно ясгунить на путь отказа ог субъекгивистских установок Рз<ггла. И тат и другой путь были действительно использованы буржуазннчи ученымв.

Необходимо здесь же подчеркнуть, что идеалистические установки цеизиеина лрэводилн к новым труллостям н чтэ, наоборот, самые ценные достижения принадлежат математикам, вставшим на путь откта от субъективизма и формаяизма в связанных с инин ограничений запаса содержательных средств нашего мь>шлення. Заметим также, что создание особой теории матсматнчссного доказательства(обьектом изучения которой являются уже не собственные предчеты математики †вро чиггл, точек, прэмыт, а татке !букэбий, мнгже<тг или атнгтеяиб мюкду числами, ючками и т.п., — а приемы и методы обращения с ними в матеиатнке) а руках специалистов-математвков оКаэалось нужным не талька в целях обоснованил математики и рео>ения возникающих здесь трудностей: с помощью тсорин доказательства был уже получен †продолжа получаться н сейчас †р специальных и притом все более н более вэжпых матечатнческнх рЕзультатов.

Но математическан логика оправдывает свае название не толью нагому, что она выросла из потребностей математики и что подавляющее большинства новейших результатов, добытых ею, прннадлея<ит специалистаи-чатсматнкам. Она строится сама как типичнан иатэчатическая дисциплина им»жст быть рассматриваема не тольио как логана математики, но н как математика 'югики. Ибо она пвляется в значительной мере результатом применения математических методов к проблемаи формальной логики. Р1 все же знакомство с ней нужна пе толью математикам. Не говоря у>не о там, что философские трудпости обоснования математики интересуют и философов, конкретные проблемы теории математического доказзгельспт и, особенно, прииене. пил математиии к вопросам логики должны нн>ересавать и спе.

кнзлцстов-ло>иков. Овладев элементами математической логики, последние смогуг познакомиться в дальпейшеи с р>том более интересных для иих вопросов. Оии встретят адесь н капкрс>ные резулщаты, отнесли<ищи к выяснению саотнашенил пожду Пргди<лоеиг к русгкгау лгршгдг Предло<огне к русскану переводу содержательной нсп<ниостью и формальной доказуемостъю; и полное решение вопроса о границах воэможностей поезедней; н попытю< построения выхопящей за рамхи нспосрегстнеиных потребностей математики латки могильностей; н некоторый подход к проблемам илдултигиой логика; и ряд проблем, непосредственно свяаанных с обобщениями кзассической теории сиязегнзмов по Аристотелю; и даже чисто технические пряла>кения, †наприм, праетгйшей части математическая логики, таи называемого ысчислспня высказываний», к построению электрических релейно-кавтзктных схем, Число работ па иатеиатичесКоц' логике и ее приложения» интенсивно растет.

Как уже бы.<а отмечено, оснониие резул<- <аты э эгей об<асти принадле кат специачистаи-чгтемзтикам, Они опублнк наны по преимуществу в математических журп<лах. Из рчбат советских ученых отметин принадлежащие Л. А. Бочгарг, В. И. Г,шееаио. И. И. Жггаллилу, А. И. Кала<агар<ау, А. И. Мал<бегу, А А. Маркову, П.

С, Погилоеу, М. И. Шгйяйпилгл<о, В. И. Ше<такшу, Еаиьшиис<во иа них папе~агапа н *Матсмати <соком сб ранке, Дакчадах»н«Известинх ( <зтеигп<ческая серия) Академии у!аук СС<Р, «у,ен.<ч записках» Московского университета. На все же в настоя<нее вреия не выходит почти нн одной статьи или книги по логике, даже элекентзрного учебника, в тай или иной мере не учить<- веющей резуль<зтов и методов современной математической логики.

Нет буквально ни одною раздела математической логики, дюкс самого слемснтарнаго, где, казалась бы, все уже давно Рыяснено, который не подвергался бы дальнейшей разработке. И притом под <ас с помгшью давольно сильных средств современной математики (вроде алгебраических: теории структур, теории колец и алгебр). В целях получения топологичсских интерпрещцнй дая различных видоизменений нс<исления вьсназываннй— простейшич случаем такой интерпретации является обычное нтабрзи<ение понятий прутами — строятся, например, так назычаеиые б)лег<лиг алгебры с замикаяигм, примыкающие к топологии (» в свою очередь дающие Затем вазможность перефразировать формальное изучение множеств в некоторые виды типологий), Чтобы иметь возможность слепить за современной литературой по ыатематнческой логике, необходима поэтому основательно проработать, рззобравшись да>ко в де<а жх доказательств, снеге.

мати некий курс, посвященный аппарату мттчатической логики. От начинающего, особенно если оп пе привь<к к '<гению математической лшературы, эта мажет потребовать значительной ра. боты, на впкакага спспиальна<о знакомства с математикой при атом все же ие требуется. Нс пройля же такой пргдварител<.. иой стадии ознакомления с техничесш<и аппаратом, невозможно сзедить критически за обпшрнай литературой по ыатематической логике, А следить ну<кно пмеяпо критически. Как уже было отмечено, в зарубе кной литературе па математической логике и ес пр<шо.кеииям мы можем встретиться и с цепными нау<- ньшн результатами в с Реакционными идеалистическими паползпооепиями использанать их в целях пропаганды мраКобесия. Использовать вопреки тому, по <ем сильнее оказыиаетя полученный результат, тел< яснее д <я нас, чта он подтверждает праиильпость философских позиций диалектического матеРнзлизг<о; вопреки таму, что и буря<уазным ученым фактически удается получать свои наиболее важные результаты ценою в.шум<сената отказа от субъектн изл<а и мистики.