Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 12

При таких определениях псе прэнила исчисдения ире:,нкэтоя спранедлнаы без изменения и для исчисления классон. Согласно этой интерпретации, истинность ф»р»»улы Х вЂ” У оаначает, что класс. соотзет- стну|ощнй Х, япляется подклассом класса,определенного через У; формула Х У истинна и том и только и том случае, если классы Х н У тождсстаенны. Общее суждение «Все люди смертны» я исчислении классон может быть сформулировано так: «Обьетииепный класс, образованный из класса не-людей и класса смертных, охнэтынает псе предметы». Его формальное аырюкение оказыпэется тем же с;|мым, что и п исчислении предикатон.

б 2. Объ««мн«нн» нсчнсгення «»«оса» с нсчнс»енн«м аыск«»ыв«нна Заключения традиционной логики не могут быть нсе формалнзонаны и исчислении поедикатон, ток как отсутствует поэможность предстаеления часа|мы« сулсбений. Э|по преостовлс |ив получаса только путе и свещи|в |ил исчислелшч выс«азывоний с исчисление н предикотов или исаи".|ели«.к классов. Мы достигаем этого объединения на осиоае того соображения, что 73 Пи<«о «аист»аллее»с >млллллю сник тг Истклснлс классОв соотношения исчисления предикатов сами представляют собой высказывания, которые могут быть подчинены правилам исчисления высказывайнй.

Эта мысль приводит нас к установлению комбинированного исчисления, в котором логические знаки Рс, '»с, употреблвются как для связыванил высказываний, так и для связывания предикатов. Однако в такое< случае возникла бы немедленно неясность, как попнмать высказывание Х. Означает ли оно, что предикат Х не распространяется ни на одну вещь, или же оно означает: неверно, что Х распространяется на все вещи. Например, если Х обозначает преднссат «красивый», то Х при первом истолковании нужно было бы читать так; <все вещи некрасивы>, а при втором: «не все вещи красивы>. Мы можем устранить зту трудность, помещая предикаты между двумя вертикальнымн чертамн. ~Х'сУ) тогда будет означать: предикат Х»уу распространяется на все аещн, а (Х, '»с ~У! будет озпачатьс предикат Х распрассраняется на все вещи или предикат У распространяется на все вещи.

Два высказывания, дававшие нам только что повод для смепсивания, различаются теперь такс )Х~ и ~Х). При помощи комбинированного исчисления мы можем теперь выразить честные емскозыенния, Например, высказывание «Некоторые числа почетны» можно преобразовать следующим образом: «Неверно, что все числа чстны».— Если обозначим предикат «числю«буквой Х, а преднкат «четное» через У, та сначала записываем высказывание «Все числа четны» символически в виде ~Х»уу 1.

Противоположное этому высказывание выразится поэтому через (Х~,'У(. Вообще, (Хс»У~ ~обозначает высказывание: существуют вещи, для которых одновременно имеют место Х и У. В комбинированном исчислении н предыдущим всегда-истииным формулам прибавляется ряд новых, Подобного рода формулами, например. являются: ЦХ- У,:б;~ - Х,)- ~Х вЂ” «Л~, ~Х,'а~У~ ~ХбсУ . Исходя из соображений, приоедсенных н конце следующего параграфа, мы откаэывоеъкя от систематического с<ос<роения и исследования этих формул.

5 3. Систем<тече<лая вывод трлаецноенык ернстотелееых умозаключении После тога как наше исчисление получило необходимое дополнение, мы применим есо к учению о логических умозаключениях. Речь идет о там, чтобы выяснить, как выражаются классические аристотелевы фигуры умозаключения в нашем комбинированном исчйсленнн и как можно система«изировать и обосновать их с точки зрения этого начисления.

Подлежащие рассмотрению умозаключения обладают следующими характеристйческими свойствами: они состоят из трех предложений, из которых тре~ье (заключение) представляет собой логическое следствие двух первых (посылок). Кан«дае нз трех предложений имеет одну из четырех форм: «Все Л суть В» (оощее уэвердигельное су«кденне). <Некоторыс Л суть В» (частное утвердительное суждение). «Никакое А ие есть В< (общее отрицательное суждение). сНект орые А не сугь В» (частное отрицательное суждение).

Для краткого обозначения этих четырех форм обычно употребляют гласные и, с', е, о (в указанной последовательности). В качестве общего знака для этих четырех видов суждений нам будет служить символ ЛВ. В трех предложениях умозаклвчения выступают всего три понятия: понятие субсгкто (5), понятие ПРЕдиКОта (Р) Н СГЕд»ССЕ Пеия»оие (»И); ПрИтОМ ЗаКЛВ- И чоглгьос кло.сог Лмг г о ост:ттггых ум>гсклю«гной 75 чение нмеег форму ЯР, а из посылок первая содержит понятия М и Р, а вторая М и В. В соотвегс«вни с этим получас»> следующие четыре «фигурыв умозаключений': ЫР зм лг г-л фигура ЬагЬага сс!агеп! дагй Гспо г-л фигура сеааге сагпещгеа ГезНпо Ьагосо '-з йагург даДя' Гепзо ФзатН Ьосагдо дагарг! Ге!ар!оп Пробелам теперь с гголгои)ью исчисления предика. тог эту гобокупяогть учогак«гючглиис дсдсгпоительно » Сз Сзгзует ззмсгягь, ~то фнксарозззис оаолсаоозгельностн 8 м Р з згклю ш«схьзом оогззомснии не язлясгсз огозмзчснз«м общности, ггк кзк фигура умоззхзю ~гиня с Рб з качестве ззхлючгннз ос«газ моз«ст быть полу«сьь мз озооа мз нзз»»нных четырех фигур аутом простого изменения обо»но«сказ м огогстзвовки засы»ох.

РМ МР РМ зм мз мв В бР й ° Так как для каждой из четырех фигур сущсстнунп четыре возможности для каждого из трех предложений уиозаключення в зависимости от принадлежности его к орной из четырех форл«суждений а, г, е, о, то с чисто комбинаторной топ«и зрения были бы мыслимы 256 различных видов умозаклгочений.

Однако числа возмсжнсстей существенно ограяичинается тем обстоятельсэвом, что заключение должно следонать нз посылок. Арнстотелепа логика учит, что допустимы !9 различных видов умозаключений. Для этих видов ввели трехсложные отличительные слова, гласные которых указывают по порядку формы суждений, к которым принадлежат три предложения умозаключения. При таком способе наииенования получаем следующий перечены ли ок содержит бее подлежащие у«ггпу виды у,чо.

заключений й уд>олег>>боряют ли бее перечшлелпые их риэяогидкости глгедобакию логической у>едшлелыюсти Для этого мы прежде всего выразим символически четыре формы а, г, е, о суждения АВ. Если мы обозначим буквамн Х, У предикаты: »ест» А>, «есть В», то такими символическими ныражепнями будут; )х>уу!; Гх>уу): ~х уу'; ~хл'. Из этого спосооа записи немедленно получаются трагиционные правила протигояоложкости Гарро»у!Гоп) н обращения, относящиеся к рассмотренным формам суждения. Действи«ельно, из этих четырех суждений последнсе выражено как противоположность первого, а второе — как противоположность третьего. Далее, обе средние формулы симметричны относительно Х и У, так что суждение «Некэторыс .4 суть В» оказывается равнозначным с «Некоторые В суть А>, и точно так же суж >ение «Никакое А не есть В» — равнозначным с «сй!икакое В не есть А».

Напротив, для г)юрм а и о такое обращение невозможно. Теперь мы применим этот способ выражения че>ырых форм сужрей>гя к умозаключениям, введя для прсдикатов: «есть Я», «есть М», «есгь Рв знаки Х, У, о. Тогда каждое умозаключение сосгопт из трех формул. Первая посылка выражается орной из четырех форм: ~У',/2 1; ~У «У г; )У',УУ!; (ь>УУ соответственно, ес логической противоположностью. Для второй посылки имеем соотвегщвенно одну нз фарм: !у, Х!> ~у~г Х); !Х уу;;,Х«,у!, илн ее противоположносгь. В закщочении имеем, о«- рипаемую ичн нео>ряцаемую, олву из двух форм: !Х~~л!. !Х>уй,' !даме>нм, что Х, у н l могут выступать неотрипаемьизи только как второй член сгщчл ) Игюг,мног гла гш К э>им формальным условиям присоединяется еще требование, ч>обы третья формула была следствием обеих первых в том смысле, что при подстановке определенных преднкатов вмесго Х, У, 7 обе первые формулы пе могут выполняться без того, чтобы та же самое не имело места также для третьей формулы.

Теперь нужно исследовать, как благодаря этому требованию ограничивается многообразие довустнмых комбииапий формул. Для этого рассмотрения полезно заметить, что мы можем, ничего не пеняя в истинности формулы, по- менять местами два члена, связанные через >г, Далее, не существенен порядок следования посылок, и при той общнос>и, которой должен обладать заключитель- ный вывод, невюкно, обозначить ли некоторый пре- дикат через !7 или !7.