Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 11

3; 2'ч> 3 = 2 и череа треоовзние, пабы для этой связи выполнялся закон коммутазивности; далее, под О, 1, 2, 3 понимаем, соответственно, 1, О, 3, 2. Какяе бы значения переменных мы теперь ни выбрали, формулы а), с), д) и Х „'Х всегда дают значение 0 или 2. Это свойство сохраняется для всех формул, которые выводятся с помощью обоих правил из а), с), с1) и Х>ч>Х. Между тем выражение Х(ХУ) имеет значение 1, если берем Х = 2 и У = 1. Аналогично доказывается независимость аксиомы с): Лг'(УХ)л Полагаем; 0 равныоз 1, 1 равным О, и равным О, 3 равным 2. Затем определззем 0>>О=Ос>1 =0>>2 =0)ГЗ= 1'ч>0=2«>0 =-3>>гО=О; 1>ч'! = 1; 1'»2= 2>,с! = 2; 1)ГЗ.=Зь>1 =3; 2'„(3=0; Згу2=3; 2>„>2 2; 3','3=3. Легко показать, что формулы а), Ь), д) н Х)гХ при люоой замене больших латинских букв числами О, 1, 2, 3 получают значение 0 и что это свойство сохраняется при выводе новых формул.

Напротив, с) получает значение 3, если Х заменяем числом 2, а У числом 3. Это доказательство независимости дает нам возможность сделать еще следующее заключение: ассоциативный закон Х (Ул) ((ХУ) 2) не пожег быть доказан без использования аксиомы с). В само>с деле, если в этой формуле заменяем Х значением 3, У значением 2, 2 значением 3, то получаем: 3>>(гЫЗ)Ч((3>ч'2)>ч'3) =Ос>3=-1ГГЗ = 3. 1Гезовысамммь и мыннна гигоммм рб Нюныеног ансгазназоий Таким образом, ассоциативный закон является также независимым от аксиом э), Ь) и б).

Остается сше показать незав»самость аксиомы б) от остальных аксиом. Это можно с.,елать с помощью следующей системы определений. Пусть переменные Х, У, Н могут принимать зна- чения О, 1, 2, 3, причем; 0=1, 1=О, 2= 3, 3=-0, Оуа=01г)-.1!гО=-Округ= 1гО=ОуЗ= = 3 !у 0 = 2 О 3 = 3 гг 2 =- О. 1 уг.=г~у)= г, )~уз= зу)=з. 2'„'2 = 2, 3'Ъгз = 3. Тогда формулы а), Ь), с) и ХггХ, а глюке и все выведенные нз них формулы всегда получают значе- ние О, Однако б) получает значение 2, если Х=З, У=. 1 и Л=-г.

Мы показали, таким образом, незааи имеешь аксиом а) — б). Рассмотрим теперь вопрос о полноте. Полнота некоторой системы аксиом может быть определена двояким образом. Во-первых, можно под этим пони- мать, что все истинные формулы некоторой созержа- тельно х арактеризуемой области могут быть получены из данной системы аксиом. Но понятие полноты можно также понимать более строго, гак что некоторая система аксиом называется полной только в том случае, если присоединение к ней какойнибудь до этого не выводимой формулы всегда приводит к противоречию. Полнота в первом смысле означала бы здесгь что из аксиом а) — й) можно вывести все нсегда-истнняые формулы исчисления высказываний. Она, как мы уже видели, имеет место. Однако мы имеем здесь полноту и в более строгом смысле.

Можно убедиться в этом следующим образом: пусть Ж вЂ” какая-нибудь формула, не доказуемая из аксиом. Пусть 6 — соответствующее ей выр;пкенне в канъюнктизной нормальной форме. Так как 6 так же, как и Ф, не мщкет быть доказано, то среди конъюннтивных члснов 5 должна найтись дизъюнпзня гг ( О, у которой никакие два члена не являа.тся протнвонолоткностями друг для друга. ! сли в 6 вместо каждого неотрицаемого знака высказывания подставить Х, а вместо каждого отрицаемого Х, то получим дизъюнкцню нида Х!гХ~,/ХН ° ~,'Х, которая, согласно правилам исчисления высказываний, эквивалентна Х. Если мы постулнруем теперь ч! в качестве истнннсй формулы, то и 5, и 6, н, наконец,Х оказываются, в свою очередь, истинными формуламн.

Но ведь мы можем нгдставить Х на место Х и получить противоречие. Итак, оказывается, что система рассмотренных аксиом полна. Г«дгргнсмснн«г г>гргнгт«<«о«гн<гг ги««г:юл гланд втогдя ИСЧИСЛЕНИЕ КЛАССОВ (одном«стное нсчнсденне нредннетон) Та форма логического исчисления, с которой мы до сих пар имели дело, является достаточной для тачнога выражения логических связей, в которых высказывания выступают как нераздельное целое. Однако не может быть и речи о том, чтобы мы вообще могли обойтись в логике одним только исчислением высказываний.

С его помощью не могут быть переданы даже >ч простые виды заключений, которые в традиционной логике принято обознача>ь терминами: «ЬагЬага», «се!агепб>, «бал!» и т. д. Например, напрасной была бы попытка о>ыскать формальное представление для логической свлзи, которая выражается тремя предложениями: «Все люди омер>ны; Кай — человек," следонательно, Кай смертен». Причина этого в гом, что при заключениях какого рода речь идет не только о высказываниях как целом, цо нграег существенную роль внугренняя логическая структура высказываний, выра>кающаяся словесно соотношением между субьектом и предикатам, Эти соображения побуждают пнс изменить исчисление илн, по крайней мере, его содер>кагельное ис>алкование.

9 (. Содержательное оеренста»кое»дне снмводннн нсчнсе«ння оыснезыееннв Мы употребляем в измененном исчислении ге же логические знаки, что и а исчислении высказываний. Однако под Х, У, 7, .. должны теперь понима>ься не целые высказывания, а нредикаты. Например, Х может быть обозначением для предиката «смертен» или «делится» или «имеет причину». Слово «преднкат» употребляе>ся здесь в обычном в философии смысле; мы понимаем пад пим то, что дает возможность охарактернзова>ь ближе один субъект. Однако в дальнейшей части этой кяиги, именно в третьей и четвертой ее >лавах, термин «предикзт» будет употребляться и в более широком смысле, на кагорам нэм здесь нет необходимости останавливаться более подробна.

Там мы будем иметь дело с преднкатами ат несколы<их суоъектов. Поэтому предикаты в обычном смысле, которые в этой главе только и имеются в диду, мы называем более точно одноместными предикатами, но в последующем изложении эпитет «одноместный» большей частью опускаем. Если Х вЂ” какой-либо предика>, напри»>ер, «красив», то пад Х нужно понимать пративсполох<ный предикат «некрасив». Если обозначить буквами Х и У, соответственна, предикаты: «преходящий», «обладает познанием», то Х йу являе>ся символом для преднката «преходящий и сбладает познанием», а Х'»>У— символом для предикага «преходящий илн обладает познанием».

Другие логические знаки мы можем снова использовать как сокращения. Взятые сами по себе предикаты ни истинны, ни ложны. Поэтому, если утверждаю> а какой-нибудь формуле Х или ХХ~ЛУ, чта она истинна, то это должно имать иной смысл, чем до сих пор. Теперь мы будем под этим понимать, что предикат Х или Х~гу ныполняется для есех предметов. Этим устанавливается истолкование всех знаков в одноместном исчислении предикатон.

Все формулы получают смысл всеобщих суждений. Чтобы выразить обычные всеобщие суждения, например: «Все люди смертны», можно сначала высказать такое суждение в форме: «Все предметы суть не люди илн смертны». Если ввести затем ,»ля предиката «человек» знак Х, для преднката «смертен» вЂ” знак У, то символическое вырюкение наше~о суждения получается в ниде: 70 Итислсн"с «лассо« Об ед«инт исч«л«н«л»,|ос|««««мс«с»»ма «« Х»уУ. Соотнетстненно, отоицательпое всеобщее суждение, например: «Никакой челонск не сонсршснен», выражается формулой: Х»/лу, где Х, У означают, соотнетственно, предикаты; «челонек», «сонершенен».

Точная интерпретация формулы Х»уу гласит: «Все предметы пе л|одн илн не совершенны». Мы можем теперь снова искать всегда-истинные формулы, т. е. такие ф|рмулы, поторые при подстанопко любых предикатоп на место переменных Х, У, ... да|от преднкат, принадлежащий всем предметам. Легко обнаружить, что при новой интерпретации исчисления система всегбо-истинных формул тсччо |па лсе, что и в исчтлении вне«азы«опий. Именно, я первую очередь, снова имеют место экниналентности аП вЂ” абй которые да|от нозможность осущестяить преобразопание пыражений к конъюнктиппой нормальной форме. Затем легко убеждаемся, что формула, припеденпая к нормальной форме, тогда и только тогда всегда-истинна, когда каждый коныонктияный член содержит диэъюнкцию Х»уХ, Таким образом»южно |юлнос|ью сохранить формальный аппарат исчисления нысназынаний; нужно только дать формулам другое истолкояание. Наряду с перноначальным истолкованием и истолкованием и смысле исчисления прсдикатои, для формул исчисления яысказышц|ий существует еще и третья и«а ерпретабил.

Однако по сравнению с исчислением предикатон здесь речь идет не об еще одном введении новых логических соотношений, а лишь о другом способе предстанлсния фактов, выразимых с помощью исчисления предикатон, обладающем некоторыми преимущестиами с точки зренич наглядности. Это изменение представления состоит э то»|, что Вместо определенна предикатон по соберлсассию мы характеризуем их по обьсму. Каждому предикату соотнетстаует определенный «класс»" предметов, ' В ч»тсч»тм«е онест« о»|р»««сная «««»со| обм |но упатр»аэнют с«ое« «множество».

содержащий ясе предметы, для которых этот предикэт имеет силу. Прн этом, конечно, не исключается н случай класса, не содержащего вообще никаких предметен. Теперь мы примеи классы за объекты исчисления, которое при такой интерпретации мы назынаем «исчислением «лассо«». Под Х следнет понимать класс, который состоит нз всех предметов, не входящих и класс Х. Хб«У обозначает пересечение обоих классов Х и У, Х»уУ— сумму классон. Х вЂ” У и Х У могут, как и раньше, рассматриааться кзк сокращения для Х','У, соотвотственно для Х»уУбс У~'Х.Если говорят, ч|о формула Х истинна, то под атим следует попинать, что Х есть такой класс, который состоит из всех предметов.