Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 13

На основании этих соображе- ний мы можем каждую пару посылок привести к од- ной нз следукщих шсс>и нормальных фарм: ~)иЧЧ') ПЕ )ЪЧУ) Ч. ')ОЧЧ') ', ЧЧФ) (Р УИ>) )ЧЧЙх В. ~О, Р! !Ч. ,'дЧЧ, Ч!. ',й~ У," Н'УЙ>( ~Ч~ )Ч) !ЧЧ)Ч Заключение принимает одну из форм (отрипаемую или нео>рипаемую); )им)ЧЬ )иЧ)Ч'„)и Ч)Ч); ~ОЧИ ~. От нового способа записи возвращаемся к прежнему тем, что вместо Ч подставляем У или 1', ото>кдест- вляем, далее, !), И> или жс И>, !7 с одной из пар: Х, Л; Х, Х; .Х, а; Х, Х и рассматриваем затем все воза>ожные перестановки дизъюикгивпых членов, кото- рые !при подходящей последовательности посылок) приводят к одной из формально допустимых трехфор- мульных систем, йке д адигтлпезгекх умп>юымчееид Если мы проверим теперь эти шесть пар посылок 1-Ч) с точки зрения того, что может из них следовать, >о найдем, прение всего, что из 1, 1Ч, Ч нельзя получить умозаключения желаемого рода. Действительно, 1.

выполняется при совершенно произвольных !7, И', если предикат Ч не может быть приписан никакой вещи. )Ч. выполняется в том случае, когда Ч истинно для всех вещей, при е гииствеииом условии, что !7 выпзчпяегся хотя бы для одной вещи, а Ч. выполняется для произвольных !7 и И', объемы которых не пусты, если Ч истинно для всех вещей. ' Посылки Ч1. также не дают никакого надлежащего ззключения. Ибо для того, чтобы удовлетноригь им подходящим выбором У, аоста>очно, чтобы !7 и И' имели место каждый хотя бы д >я одной вещи. Указанные условия, однако, совиеспгмы с ложностью всякого из рассматриваемых закла>чений. Вследствие этого для наших умозаключений подле>кат рассмотрению только случаи 11 и 1П. Обе посылки П. ~!/Ч!', 'и ) УЧИ'й если ввести сокращение †> и использонать первую нз формул, приведенных на сгр.

73, непосредственно дают соотношение 'ОЧИ',. Но это и есть самое силыюе следствие, которое можно извлечь из обеих посылок, так как при истинности соотношения ~ОЧИ> обе посылки удовлетворюотся, если У положить равным Иг. В Н1. первая посылка ~!7ЧЁ! обозначает, что сущее>вуют вещи (т. е., по крайней мере, одна нмць), для которых одновременно выполняются !7 и У. Вторая посылка , 'ЁЧЙ) означает, что каждю> вещь, которая обладает свойством У, обладает также свойсгвом Й>.

Отсюда следует, что существуют вещи, для которых выполни>отея одновременно !7 и И', нли что формула ~!тЧ И') истинна. Обратно, если формула ~ОЧИ/~ истинна, то >осылки П1. удовлетворяются, когда Ч полагают равным Ь'. >Гг«гг .ге> ос ал сс»« 78 Вгю>д ароса»мс«с«»>л Гм»»аалм»сний 7Ь у=Х, (г=у, йг — -Х; У=-Х, У =: У. И>= Е; У=Я, У =У, й'= Х. Г> = Х, И =- 1', й'= Е; 0 Л, И=)', И>=Х; Таким образом, получается, что все умозаключения, рассмотренные нами, мо>ут быть сведены к двум главным формам. а именно: (Г)'>гр( Ж~'~' (А) ((г>уйу( (В) у>уйг( , Г)Л~' ИИ)у( Теперь нужно еще от двух главных форм посредством различных допусти>пах преобразований перейти снова к прсжнил> выражениям, с помощью которых мы мои<ем распознавать различные аристотелсвы виды умозаключений.

При этом мы должны учи>ыва>ь формальные ограничения при умозаклк>чепиях, согласно которым нео>рицаемые прерикаты Х, У, Х нстречаются только па втором мес>е в дизыонкц>п>, а У нико> да не встречается в закщочнтельном предложении. Далее, следует иметь в виду, что в главной форме (А) перестановка Гl и й' не дает никаких новых вид в умозаключе>«>«Г«. Итак, мы пол) чг«еа> все спо«обы улшзаключеиия, прсисходящие из глав»>об формы (А), при «юморки подстаповок: У=-Х, 1'=У, Иг=-2; 1)=-Х, 1>=)г, И>=2; и=х, У=У, И =Х. Первая из этих подстановок (при соответствующем выооре порядка посылок и членов дизыоикций) приводит к умозаключениям сатеапез и саыи.ез, втсрал— к се)отел( и се»аге, тре>ья — к Ьи«Ьага. Для главной формы (В) мы получаем различные виды умозакл>оченид из подстановок: Первая подстановка приводит к умозаключениям 1ег>о, 1еа11>>о, )е Во, ГгезВол; вторая — к с)а«11 и пайп', третья — к Ьагого, четвертая — к ПЫатМ и «11та111, пятая — к боса«со.

Приведенные соображения паказыва>от нам, что существуют 15 различных форм умозаключений желаемого вида. Все опн принадлИкат к аристотел«вым умозаключения»>, так что классический перечень фарм умозаключений исчерпывает все возможные случаи. Однако нашим методом мы пе воспроизвг дим всех аристотслевых способов умозаключения. В полученном пе)>ение отсутствуют четыре вида умозаключения: г)агпр11, баюайр, Ге1ар1ол, >е. аро. Это расхождение происходит от того, что ставшее тра>гиционным со времен Аристотеля истолкование положительных всеобщих предложений («Все А суть В») не вполне согласуется с нашей ирлерпретациед формул вида ,'Х>гу(.

Именно, по Аристотелю, высказывание «Все А суть В» считается истинным лишь, если существуют предметы, которые суть А. Наше отклонение от Аристотеля в этом пуньпе оправдываегся потребностями математических применений логики, где класть в основу аристотелево понимание было бы нецелес«к>бразно. Мы ограничиваемся этими замечаниями в отношении исчисления предикатов и классов.

Правда, можно указать ряд и>пересных посганнвж вопросов; например, можно спроси>ь, какие формулы комбинированного исчислсния представляют собой всегда-истинные высказыеан>,я. От более детального расс»«огрения этих проблем мы, однако, отказываемся, так как они формулируются и исследуются в более общей связи в следующей главе. Например, вопрос о всегда-ис>инных формулах конбинирнванного исчисления решается полностью в Ь 12 следующей главы. Мы отказываемся также от аксиоматическаго нэпа>кения одноместного исчисления предика>он'. Исчисление классов, или » По>гнал система аксиом коиаинитоианного нс шслсиин н однонрю>енно ннт«ресиос ра»н>и>ение исчислении классов Исчтхсннс хепсые одноместное исчисление предикатов, вообще представляет собой только подготовку к рассматриваемому ниже исчислению предикатов в широком смыс.че и после его введения становится нзли>пнин, так что в дальнейшем у иас не будет надобности возвращаться к рассмотрениям, затронутым в настоящей главе, Напротив, исчисление высказываний остается неотьемлемой основой всех дальнейших исследований.

данн Вейсберсом; М. йтаухбеса, Юп стпе(ссг1сг К!вменив!ай>. Мй. Мзщ. Рйуз)й. Вй. 49 (1922) (сд. также сютнстстпуюшее исправление в МЬ. Мащ. раух!и Вй Еа (1925; З. 2Е2). Вопрос о вссгде-потопных высьззыввннпх конбнннрпвенною нсчнс. синя, Шсснотрснный тзкжс в втой Гайоте, рпзрсшен бып уже другсн способоч в рзботпх зтсвеиссймз, епеесхе н Бсмюю, к 'оторыс упомянуты в ! 12 с едующсй сваны. Ср. особенно нздюкенне Вемена н Мв1Ь. Лпп. Вб.

66 092) глава твнтья УЗКОЕ ИСчиСЛенИЕ предиКАТОВ й 1. Недостеточнесть предшествующего нсчнсеення Коьтбиниропанное исчисление сделало возможным более систематическое рассьтотрение логических вопросов, чем содержательная традиционная логика. Однако, с другой стороны, можно сказать, что в атношении возможности вывода логических следствий комбинированное исчисление, по существу, совпадает с арнстотелевым. Самые сложные заключения, которые возможны в комбинированном исчислении, могут быть получены также путем многократного применения аристотелевых фигур заключения.

По мнению старых логиков, разделявшемуся и Кантом, логнка вообще исчерпывалзсь аристотелеяым учением о заключении. Кант говорит!: «Замечательно, что логика до сих пор не моглз также сделать ни одного шага вперед и, повидимому, имеет совершенно замкнутый, законченный характер». В действителыюсти же формализм Лристотеля оказывается недостаточным уже для самых простых логических связей. В частности, он принципиально недостаточен при рассмотрении логических основ математики. Именно, 'он отказывается служить повсюду, где необходимо символически отобразить соошношение между несколькими предметами, Поясним это на простом примере.

рассмотрим предложение: «Если В лежит между А и С, то В лежит та!оке между С н Лв. В обычном исчислении высказываний мы, правда, можем записать это в форме Х-+у> с В прсднсповнн ко 2-ну нзд. еырнтнкн чистою разума». (Пер. Н. Лосского, второе нзд., 1щ5, стр. 9.) (прем. пер.) б се о ер ° нп оюн У>к»е пою .нне предок»к>»» Меаыдичеыие приннипн юшиекие предш>еты 83 то же самсе представление получает это предложение в одиомептном исчислении предикатав, ибо в последнем ано может быть сформулировано следующим образом: »Если упорядоченная трпйка точек сбладает свойством, что вторая точка лежит между первой и третьей, то она также обладает свойством, чта втарал тачка лежит между третьей и первой». Однако такое представление никак не выражает логически существенного в этом утверждении, а именно симметрии соотношения »между» атнссителъно А и С.

Поэтому это представление нельзя использсвать для целей вывода из рассмстренного предложения вытекающих из него математических следствий, Положение не изиенится и если мы применим способ выражения комбинированного исчисления. Для пояснения существующего здесь положения вещей приведем еще один пример, не относящийся уже к з>атематике. Утверждение еЕсли существует сыи, то существует оте>п является, конечно, логически само собой разумеющимся, а ат удовлетворяющего нас логического исчисления мы можем требовать, чтобы оно выявляло такого рада са»>о собой разумеющиеся истины, в том смысле, чтобы утверждаемая связь с помощью символического представления моглп быть получена как следствие из простых логических првнципсв, Однако в исчислении, которым мы до сих пор занималисьч об этом не может быть и речи. Правда, мы можем (применяя комбинированное исчисление)выразить символически рдссмотренное утверждение с помощью формулы: ~Х) — Ур где Х, У означают, соо>ветственно, предикаты: есын», »отец».

Однако зта формула, разумеется, не может помочь нам доказать истинность нашего утверждения, так как при другой подстансвке вместо Х и У она может пыразить и ложные предложения. В формуле не выражено то, на чем покоится логическая связь между предыдущим н последующим предложениями, а именна, что предикаты »быть сынок» н «быть отцом» с держат отношение одного предмета к другому. Псдсбнге же наложение вещей имеет место почти во всех более сложных суждениях.