Гильберт, Аккерман - Основы теоретической логики (Гильберт Д. - Основания математики и прочие работы), страница 14

б 2. Метоличеекпе папик пы псчпееепия па»пикет»е Иссксльку предшествующее исчисление оказалось недсстатачным, мы вынуждены искать другую логическую символику. Иаэтаъ>у мы возвращаемся еше раз к тому месту наших рассмотрений, в котором мы впервые вышли за пределы ксчисления высказываний Решающим шагом является здесь разделение высказывания на субъект и предикат. Это разложение мы, гдпако, не полностью испсльзсвали, поскольку при выражении высказываний мы явно обсзначилн только предикаты, но >'е субъекты.

Причина зтай сграниченности символики заключается в том, чта в отношении формализма мы исходили из исчисления высказываний, Рели >ке мы откажемся от точки зрения, которая исходит только из нсчвсления высказываний, то при выражении высказывания вполне естественно предметы (индиеидуумы) отделить ьт пряписанных им свойств (лредикатде) и затем оба точно обозначить..

Мы делаем э>а та>снм сбривал: для с)и»>вол>>ясского выражения предикатев мы применяем б)унк>)накальные знаки с пус>ными мес>панн, причем в пустые места подставляются обозначения предметов. Например, можно обозначить функциональным знакам Р( ) предикат: честь простое число».

Тогда Р(б> выражает. пысказывание: еб есть простое число». Если бб( ) обозначает предикат »быть человеках», то >)Х(Кай) означает: еКай есть челгвакм Дальше, если отношение меньшего к большему выра>кас» функциональным знаком с двумя пусты»>и местами <(,), то <(2,3) символическ» выражает высказывание: »2 меньше 3».

Точно так >ке высказывание »В лежит между А и С» выражается в виде Е(А,В,С). Все математические формулы представляют собой подобные соотношения междудвумя > лн несколькими величинами. Например, формуле: х-Гу:=2 соответствует а- Узлзо ими«зели» преоиюиизи трехчленный предикат Я(х,у,г>.

Истинность выражения 8(х,угг) означает, что х, у, г связаны соотношением х+у=-г'). К высказываниям, выраженным новым способом, мы ма>кем применять связи исчисления высказываний. Например, отрицание высказывания Р(5> выражается так Р(5>. Формула <(2,3)й<(3,7) — «<(2,7) выражает высказывание: «Если 2 меньше 3 и 3 меньше 7, то 2 меныне 7». Отсутствует еще символическое выражение для всеобщих высказываний. Чтобы получить его, введем, по примеру матсд>атики, наряду со знаками для определенных предметов (имен собственных) еще переменные х, у, г,..., которыми также мажем заполнять пустые места знаков функций, Определенное запплненис пустого места называется злачюшвм соответствующей переменной.

Значения переменной ограничены вообще определенными андами предметов, определяемыми смыслам знака функции. Например, основное соотношение элементарной геометрии из плоскости: иТачка х лежит на прямой. у« выражается функциональным знаком с двумя аргументами Цх, у>. В качестве значений для х здесь входят в рассмотрение только тачки, а для у только прямые. Если и пустые места лагнческих функций вставляем определенные значения аргументов (т. е. имена собственные индивидуумов>, то пплучаем определенные высказывания, которые могут быть истинными или ложными. Если жс пустые места знаков функций запалнены переменными, та этим первоначально не выражается никакое апределеннсе суждение', налицо лишь симвалическсе выражение, зависящее ат соответствузо- До слл пор было обыллыи о логике иазыооть предикдтами толы»о функции с одниы пустым местам; фуикдпи с песколькиин пустыил постами ипзьюали отпил>опиями.

Мы употребляем идсси слало прсдпиат в сачол обмел сиысле, деев>диле»сиз пти».В иы итт\»лил лиедилиют Еа щих переменных. Но подобно тому как в алгебре мы пишем буквенные формулы, указывающие, что для любых численных значений, которые подставляют на место переменных,. новинка>ощее числовое равенсгво является истинным, мы мажем так же поступать и в логическом исчислении. Формула: <(х, у)й<(у, г)) — <(х, г) означает то>.да, что для любой тройки х, у, г, для которой выполняются соотношения <(х,у) и <(у,г), выполняется и соотношение <(х,г).

Одновременно с этим мы получаем возможность выражать всеобщие суждения. Однако для того, чтобы иметь возможность применять всеобщность вместе с отрицанием и лопзческими снязяд>н й, >у,—, мы нуждаемся в особом «злаке общности». Иначе лзы не знали бы, означает ли Р(х>; иДля всех х имеет место Р(х>«, нли: иНеверно, что для всех х истинно высказывание Р(х>». Это выражение всеобщих суждений мы будем получать, помещая переменную величину, принадлежащую к соответствующей логической функции, в скобках перед зНакам функции.

Таким образом, (х>А(х> означает: для всех х имеет место А(з). Указанные суждения, которые дают повод к смешению, различаются тогда следующим образом: (х>Р(х> и (х>Р(х). Из соображений симметрии для выражения частных суждений мы вводим одновременно особый з«знак существованияо. (Ех>А(х) выражает суждение: »«Существует х, для которого выполняе>сн А(х>». Для выражения знаксв общности и существования мы пользуемся также общим и;швакнем»«кванторо'.

Перед>еннсе, относящееся к знаку общнссти или существования, называем исвчзанным переменным». Оно играет роль, аналогичную роли переменной интеграции Лотар употребляет здесь назоаипе «сиоооипын знак» (К)опппегге>сноп). Мы залепили его более употребптсльиыи гормииои >»аз>»тзр. (Птт. лед.) узкю печюслепие предав«то« Меча>впчеите пропп«пи «счпсмпчл и> ео вот««зт в математике; в частности, обозначение этого персмеппого пе имеет значеппя.

В отличие от связанных переменных другие переменные мы назЫваем «свободными переменны,ии». Что касается способа записи, то следует заметить, что формула, перед которой стоит знак общяости или существования, став«»сп в скобки в том случае, если она содержит один нз анаков б«, ',/,— и пе объединена уже чертой отрицания. Кроме того, для удобства обозрения ь>ы принимаем следу>ощио соглашения: вместо Л(с) пишем проще >л(х), вместо (л) А(х) (х) Л(х) и нместо (Ех)А(х) - (Ех)Л(х). Из самого смысла знаков об>щности и существования получаем следующие эквивалентности; (Ех) А(х) йй (х) А(х), (Ех) А(х) йс( (х) А (х), (Ех) А(х) йд (х) Л(х), (Ех] А(х) йй (х) А(х).

На основании >тих содержагпельных соотношений молсно заменять заик суи]евтеева>сия з>«оком общности„ и наоборо>и. В символике исчисления предикатов мы моглп бы обойтись, таким образом, тремя связями. Необходимы только знак отрицания, далее, один из трех символов б>, ',,/, †. и, наконец, один из двух знаков (х), (Ех). До сих пор мы расска>ривалн только повиляв>- щиеся отдельно знаки об>цности и существования.

Мы приходим к сущее>венка новым логическим абразованиям, если используем то обстоятельство, что знаки общности н существования могут употребля>ься комбиннрованно. Подобная комбинация возможна уже в том случае, когда мы используем только предика>ы с одним пустым местом; особую роль она играет при наличии многочленных предикатов.

Например, для двучленного преднката А(х, у] мы имеем следующие простейшие формы составления: (х) (у) А (х, у) «для всех х и для всех у имеет место отношение А(х, у)»; (Ех) (Еу) А (х, у) «существуют некоторое х и некоторое у, для юторых имеет место А(х, у)»; (х)(Еу) А (х, у) «для каждого х су>цесгвнет некоторое у, такое, что имеет место А (х, >)»; (Ех)(у) Л (х, у) «существует некоторое х, которое к каждому у находится в отношении А(х, у)». Чтобы сделать смысл всего соединения более ясным, мы лшгли бы здесь каждый раз добавлять еще одну скобку и писать, например, так: (х)[(у) А (х, у)] и (х] [(Еу) А (т, у)].

Но так как и без того нет повода к иедоразумени>о, то скобки мы обычно опускаем, Допуская комбинации грех и болыпего числа кванторов, мы получаем, соответсгвеняо, большее многообразие сочетаний знаков общнос>и и существования. Из нашего понимания знака общноыли вытехает, ч>по в выражении (х) (у) А(х, у) знаки общности могут быть нереставлены без изменения смысла вьиказыванил.

>о же самое имеет не~то для обоих знаков существования н выражении> (Ех) (Еу] Л (х, у), Зв.чвчопч» сб упвтввбявякп ь«члс»вя»я прввпн«твв 8О 88 узкое»тивлен»в пр«В»я тт Напротив, в выражении (х) (Еу) А (х, у) порядок следования знаков (х), (Еу) играе> существенную роль. Например, выражение: (х)(Еу) < (х, у) (если переменные х, у относятся к действительным числам, как области их определения) представляет собой истиннее предложение, а именно: «Для каждого числа х сущесзвует число у такое, что х меньше у», г.

е. «для каждого числа существует большее». Однако, если мы переставим здесь знаки (х) и (Еу), то получим (Еу) (х) С (х, у), а это — выражение ложного предложения, именно: «Существует число у, которое больше любого числа х». Таким образом, благодаря перестановке знаков (х) и (Еу) получается совершенно другое высказывание. Логическое соотношение при этом таково, что на основании формулы (которая позже будет выведена): (Еу) (х) А(х, у) — »(х)(Еу) А(х, у), из истинного предложения вида (Еу) (х) А(х, у) можно заключить к (х) (Еу) А (х, у), но не наоборот.