В.И.Тихонов Статистическая радиотехника (1966) (Тихонов В.И. Статистическая радиотехника (1966)), страница 5

Рассмотрим следствия теоремы (1.5.1). Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В ие зависит от А. Пусть событие А статистически не зависит от события В, так что р(А ~В) = р(А), причем предполагается р(А):у- О. Используя теорему умножения, можно написать р (А) р (В / А) = р (В) р (А ~ В). При р(А~ В> = р(А) получаем р(В~ А) = р(В). Но последнее равенство означает, что событие В не зависит от А ° Укажем, что если А и В независимы, то формулу (1,5.1) можно записать в аиде р (АВ) = р(А) р (В). (!.5.5), Обычно зтог результат формулируют в виде специального следствия теоремы укноження.

Следствие 2. Вероятность произведения двух независимых событий равва произведению вероятностей этих событий. Используя (1.5.5), можно доказать аналогичную формулу для нескольких независимых событий. Если события А„А„..., А, независимы, то р(Ат А, ... А„) = р(Ат) р(А,) ... р(А„). (1.5.6) Справедлнюсть (1.5.6) для случая трех независимых событий А, В, С вытекает из очевидных равенств: р(АВС)=р((АВ) С) — — р(АВ) р(С)=р(А) р(В) р(С). П р н ме р. Обнаружение воздушной цели производится независимо двумя радиолокационными станциями.

Вероятность р(А) обна)ужения цели первой станцией равна 0,8. Вероятность р(В) обна)ужения цели второй станцией равна 0,9. По формуле (1.5.5) находим вероятность р(С) того, что цель будет обнаружена обеими станциями: Рис. т.э. Последовательное соединение элементов в систему. В заклвучение укажем на применение теорем сложения н умножения к троблемам надежности.

Надежностью некоторой системы (цли ее элемента) называют вероятность того, что система. (элемент) н течение установленного времени будет работать без отказов. При овъединении нескольких элементов в систему различают пх параллельное и последовательное соединения. Соединение двух или более элементов в систему называется параллельным (рис. 1.8), ~ тли отказ системы возможен только при отказе всех элементов. Соединение называется последовательным (рис. 1.9), если отказ пстемы происходит при отказе любого элемента.

$7. сВОРМУЛА ОВРАТНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ р(АНс)=р(А) р(Н; ~ А) = р(Н1) р(А !Н,). Последнее равенство дает р(н,) р(А ! и,) р(Н (А) =-— Но по формуле полной вероятности имеем Р ( А) =- Р (Н>) Р (А ( Н с)+ Р (Нв) Р ( А ! Нв) + ... + Р (Н„) Р (А 1~Н„) л р(Н,) р(А !Н„). в=с Следовательно, р(н,) р(А ! и,! ~ р(Нв) р(А!Не) (1.7.1) Формула (1.7.1) называется формулой обратной вероятности нли формулой Байеса.

Она имеет основополагающее значение для многих задач радиолокации, радионавигации н связи. Рассмотрим, например, простейший канал связи с помехами, по которому могут передаваться сигналы только двух видов, условно обозначаемые далее как 0 н 1. Примером подобных сигналов могут Ситуация, приводящая к формуле обратной вероятности, может быть описана следующим образом. Пусть интересующее нас событие А может появиться лишь как случайное следствие одной из несовместимых гипотез Н„Н„..., Н„, составляющих полную группу событий (рис. 1.10).

Вероятности гипотез р(Н,), р(Нв), ..., р(Н„) и условные вероятности события А при этих гипотезах р(А ! Н,), р(А ! Н,),..., р(А (Н„) известны. Пусть произведено испытание и результатом его явилось событие А. Спрашивается, с каЛв кой нз гипотез следует связывать появление события А. Отметим прежде всего, что поскольку изложенная ситу'ация является вероятностной, то ответ на поставленный вопрос не может быть дан в детерминированной форме и тоже будет иметь вероятностный характер. Для решения необходимо вычислить условную вероятность каждой гипотезы прн условии„что произошло собы- тие А, и той из гипотез, которая будет иметь наибольшую вероятность р(Н;/А), следует отдать предпочтение.

Объясним порядок вычисления вероятностей р(Н,1А), р(Н,! А), ..., р(Н„! А). На основании теоремы умножения вероятностей можно для вероятности совместного появления события А и гипотезы Н; написать р(7/7) р(7) рс'о7 служить сигналы телеграфного кода, представляющие собой определеннусе последовательность токовых и бестоковых посылок (рис. 1.11 Относспельную частоту следования символов 1 и 0 на передающем конце обозначим как р(1) и р(0); этн вероятности можно найти путем изучения статистики сообщений. Вероятность получения единицы на грнемном копне обозначим через р(1'), а нуля — через р(0'). Здесь и далее штрих при единихе илн нуле указывает на то, что рассмотрение бдлда г относится х приемному концу системы. Особеигость работы линии связи в условиях помех бдлда 77 состоит в том, что из-за влияния помех сигналы в канале сВязи исинжаются и могут Рив.

1Л1. Предссввление букв Т к К коПЕРЕХОДИтс ОДИН В ДРУГОИ Дом БоДо Например, токовая посылка телеграфнего сигнала в канале связи может «погаситься» помехой н быть пригята за бестоковую, и наоборот. Вероятзость приема 0 при передаче 1 (или, как еще говорят, вероятнос1ь перехода 1 в О) обозначим через р(0'!1); вероятность приема 1 гх7н передаче 1 — через р(1' )1).

Аналогичный смысл имеют вероятности р(Г !О), р(0' !О), показанные на рис. 1.!2. Все они могут быть найдены изу- (О) чением механизма воздействия помех на посылаемые сигналы и тоже предполагаются известными. Ставится вопрос, в каком осо7о соД7 проценте случаев на приемрбоу ном конце не будет соверприеме единицы утверждать, что передавалась единица? Решеяке задачи мы получим, вычислив условную вероятность р(1 ! 1') того, что передавалась единица при условии получения единицы на триемном конце. Согласно формуле (1.7.1) имеем р (1) р (1' ! 1) (1.7.2) р (1) р (1' !!) 1-р(0) р(1' ! О)' Лналогичкым образом вычисляются вероятности р(0(0'), р(0!1'), н(1!0). Для гояснения используемой иногда терминологии приведем шце один пример чисто иллюстративного характера.

Пусть гражда- Шв 26 27 нин Ж ведет переписку толысо с двумя корреспОндентами Н„ и Н,. При этом замечено, что на каждое письмо от Н, приходится в среднем три письма от Н,, так что Р(Н„) = — '/4, р(На) = '/4. Установлено также, что Н, половину всех писем для У отправляет в голубых конвертах, а половину — в желтых, т.е. Р(Г~ Н,) = '/, и р(Ж~ Нс) =- = '/„Н, в 90Р/о всех случаев посылает письма для Ж в голубых конвертах и только в 10% — в желтых, т. е. р(Г(Н,) = '/иь р(Ж~ Нр) = '/1р. Какому корреспонденту обязан Х письмом, если известно, что в ящик ему опущено письмо в желтом конверте? По формуле (1.7.1) найдем р(Н, ~Ж) == 0,625, р(Н, ~ Ж) = 0,375.

Примечательно то, что вероятность события получить письмо от Н„первоначально равная 0,25, после опыта (получено письмо в желтом конверте) приобрела иное значение, в данном случае выросла до 0,626. Поэтому в подобных слу чаях часто говорят о доопытной (априорной) и послеопытной (апосгернорной) вероятностях события, Таким образом, согласно формуле Байеса (1.7.1) при определении того, имела или не имела место гипотеза Нь следует принять во внимание первоначальные сведения- о ней, характеризуемые априорной вероятностью р(Н;), и результаты опыта, т.

е. что произошло именно событие А (а не событие В или какое-то другое событие, которым может сопровождаться гипотеза Н,). % 8. ТЕОРЕМА О ПОВТОРЕНИИ ОПЫТОВ Начнем рассмотрение с частного примера. Пусть некто, поражающий мишень в среднем в 8 случаях из 10, делает по ней 3 выстрела, В результате в мишени может оказаться или три пробоины, или две, или одна, или ни одной. Необходимо определить вероятности указанных событий при условии, что результат одного выстрела не влияет на результат другого.

Способ решения подобных задач дает теорема о повторении опытов. Такое ее название связано с тем, что изложенную выше ситуацию можно рассматривать как повторение (в данном случае трехкратное) одного и того же опыта в неизменных условиях. В отвлеченной форме рассматриваемую задачу можно сформулировать следующим образом. Чему равна вероятность того, что при М независимых испытаниях событие А появится ровно и раз, если при каждом испытании вероятность события А одинакова н равна р? Заметим, что интересующее нас событие — при Н испытаниях А появилось ровно п раз, распадается на несколько частных случаев следующего вида.

2Е 1. Событие А появилось в первых п испытаниях и не появилось при (А/ — и) последующих, Если с/ — вероятность события, противоположного событию А, т. е. вероятность того, что событие А не появится при некотором испытании, то согласнотеореме умножения вере ятность такого варианта равна я я- м ри съ- сп=~"ч"-" Л вЂ” ) 2. Событие А не появилось прн первом испытании, появилось при и следующих и не появилось при остальных (Н вЂ” п — 1) испытаниях. Вероятность такого исхода равна Р (4) р (А) Р (А) ... р (А) р (А) р (А) " р (А) = Р" с/" и раз (И вЂ” и — 0 раз Всего подобных вариантов, отличающихся один от другого лишь порядком зоявления события А (что по условиям задачи не имеет значения), столько, сколько можно составить сочетаний из й/ элементов по и.

Следовательно, для искомой вероятности Рм(и) справедлива фсрмула р (п) Я Рп с)м — р (1.8.1) Полученный результат составляет содержание так называемой частной теоремы о повторении опытов. Известно несколько обобщений ее. Одно из них относится к случаю, когда вероятность р меняется ог одного испытания к следующему (общая теорема о повторении опытов). Другое имеет в виду, что каждое испытание может иметь не два, а большее число исходов. Особенности этих случаев здесь не эассматриваются.

С помощью формулы (1.8.1) можно решить, кроме рассмотренной, также следующую задачу: чему равна вероятность того, что при А/ независимых испытаниях событие А, имеющее вероятность Р, появится не менее и раз. В самом деле, рассматриваемое событие распадается на следусощие нессвместимые случаи: событие А прн А/ испытаниях произошло и раз, событие А произошло (и+ 1) раз, ..., событие А произошлс й/ раз. Всего таких случаев будет (А/ — (и — 1)). Вероятность каждого может быть найдена по формуле (1.8,1). Используя далее теорему сложения, получим Рм (ги > и) =,~Я См Р'" с/м — '", (1.8.2) и=я Аналогичным образом вычисляется вероятность события С, состоящего в том, что при п независимых испытаниях событие А, имеющее зероятность Р, появится не более п раз.