Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 11

Наиболее гл. к т 3 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ важны законы всюду определенные, т. е. определенные на Л =() Х Е; они и будут чаще всего рассматриваться в дальнейшем. Из наиболее распространенных обозначений для композиции а и х приведем мультнплпкативное слева а х (где точка может прн желании опускаться), мультнплнкатнвное справа х а и экспоненциальное х"; при рассмотрениях йх 3 — 5 мы для обозначения произвольных внешних законов будем обычно пользоваться знаком Д . П р и м е р ы. 1) Если на множестве Е задан мультиплнкатизае обозначаемый ассоциативный внутренний закон, то (и, х)-з-хл есть всюду определенный внешний завоя композиции элементов нз и Е; для а б Х (а,х)-э-х есть закон композиции алементов яз е и Р, всюду определенный лишь когда все алемевты из Е обратимы.

Сказанное относится также я законам (л, х) —:-лх н (а, х)-+ах для аддвтнвно обозначаемого внутреннего закона на Е *). 2) При заданных множествах Е н Р отображение (Х, У) — ь Х У есть (всюду определенный) закон композиции множеств Х С- РКР и У г ЕХР, где первые служат операторами; отображенпе (Л, У) -ь — >-У.Я есть заноя композиции множеств Л г Р Х Р (операторов) и множеств УС РХЕ. 3) При заданном внутреннем законе композиции Т на Е через х Т А, где х < ' Р, А с Е, обозначают множество всех х Т у, где у пробегает А (т. е.множество (х) Т А); этим определяется закон яомпозиции элементов из Е (операторов) и подмножеств множества Е.

Если й. — внешний закон композиции операторов ар ь) н элементов хрЕ, определенный на множестве Ас Ох Е, то через Е (. Х для каждого Е С ' 'ьз н каждого Х С Е обозначают множество всех ад.х, где ар Е, х б Х н (а, х) б А; если Е сводится к одному элементу а, вместо (а) 1Х пишут а,ЕХ. Отображение (х, Х) -ь ВЗ.Х есть всюду оиределенныл заков композиции подмножеств множеств П н Е.

л) Может случиться, что наряду сетям внутренним законом на Е задав иультиолияативно обозначаемый внешний запои, область операторов которого содержит множество д натуральных чисел (нлн его часть). В этом случае во избежание путаницы следует пользоваться для суммы последовательности я членов, равных х, канин-нябудь обозначением, отлзчныы от л.х (еслп только эта сумма не равна всегда композиции я я х относительно заданного внешнего закона).

57 ВНКШНИВ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ Если а,) х — внешний закон композиции операторов ссанье н элементов х б Е, то х — /„(х) =сс Ь х есть отображение в Е некоторого его подмноясества, а именно множества тех х, для которых сс Г х определено. Это отображение называется умножением на оператор а. Обратно, пусть (Да)„со — семейство отображений подмножеств множества Ь' в Е, имеющее ьг своим множеством индексов; то~да отображение (а, х) .

7,„(х) есть закон композиции элементов нз й и Е. Таким образом, совершенно безразлично, задаться ли таким семейством (7„) или же задаться законом композиции элементов из ьг н Е. Если Ь вЂ” внепший закон композиции элементов нз ьг и Е, то элемент х р Е называется инварианпсньсм относительно оператора ссб ьг', когда аЬх определено и равно х; элемент ЗРЯ называется нейтральным оператором, если все элементы множества Е инвариантны относительно з. 2. Раздвоение внутреннего закона Мноясество ьг операторов внешнего аакона на множестве Е может совпадать с самим Е; если ьг =Е, то налицо отображение вЕ некоторого А С ЕсЬ', и это отображение можно с равным правом считать определяющим внутренний закон композиции элементов нз Е. Более точно: отображение (х, у) ь7'(х, у) множества А с ЕхЕ в Е можно рассматривать как определяющее следующие законы, которые валено ясно различать: 1' внутренний закон Т, при котором композицией х и у слулпм хТу=~(х, у); 2' внутренний закон Т, противоположный предыдущему (З $, и'1), прнкотором композициейх и у служитхТу=уТх=~(у х)' 3' внешний закон ).

композиции операторов хр Е и элементов уй Ь', при котором композицией хи у является х1 у=7" (х, у); он называется левым внешним законом, порожденным законом Т; 4' внешний закон 1, композиции операторов х р Е и элементов у й Е, при котором композицией х и у является х А у = г (у, х); он называется правым виешии и законом, порожденным законом Т, и является тасыке левспы внешним законом, порожденным законом Т Если полаю не опасаться путаницы, для обозначения внешних законов, порожденных внутренпнн законом Т, пользуются тем же гь к', Алгевгаичнскик стРуктуРы символом Т, записывая композицию а и упри левом внешнем законе в виде я Т у и при правом внешнем законе — в виде уТа.

Если Т вЂ” всюду определенный закон па Е, то порожденный им левый внешний закон есть закон, соответствующий (описанным выше образом) семейству всех левых переносов (уа),св, а правый внешний закон — семейству всех правых переносов б„. Сказать, что вб Е есть нейтральный элемент относительно закона Т, все равно, что сказать, что е есть нейтральный оператор для левого и правого внешних законов, порожденных законом Т. Мы будем говорить, что дна внешних закона, порожденных заданным внутренним, получаются путем раздвоения последнего.

Всякий раз, когда область операторов внешнего закона на Г совпадает,с Е н есть опасность путаницы, эта область будетзаменяться некоторым множеством Е', поставленным во взаимно однозначное соответствие с Е, а композиция х' б Е' и у р Е считаться, по определению, равной композиции оператора х р Е и элемента уб Е прп заданном законе, где х — элемент нз Е, соответствующий элементу х' б Е'. Разумеется, одновременно с этим в Е' будут при необходимости переноситься н все структуры, заданные в Е (Теор.

мп., Рез., з 8, и' 5). 3. Кстоймиаьсе мтсоэгсеетпва. Итсдут(итзоаантсьсе законы Опгвдвлкннв 2. Подмножество А множвсгпва Е называется устойчивым относительно внешнего закона композиции а Ьх операторов аб () и элементов хб Е, если композиция а ( х принадлежит А всякий раз, когда хбА и ахх определено. Иными словами, А устойчиво, если ЙхА~А. Пересечение семейства устойчивых подмножеств множества Е, очевидно, устойчцво, так что существует наименьшее устойчивое множество, содержащое заданное ХС Г; оно называется устойчивым множеством, порожденным Х. П р н и е р.

Для внешнего закона, полученного путем раадвоеяня умножения натуральных чисел, устойчивое множество, порожденное множеством (Ц, содержпт и 1=и лля каждого и б й' и тем самьш совпадает с М. Па этом примере видна пеобходнмость тщательно отличать внутренний закон от внешних, получающихся путем его раздвоения, поскольку относительно умножения натуральных чисел ВННШНИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИЦИИ множество(() самс устойчиво.

Более обншм образом, если множество А Г Е устойчиво относительно левого (или правого) внешнего закова, порожденного внутренним законом Т, то опо устойчиво и относительно Т; но, как показывает предыдущий пример, обратное неверно. Если (. — всюду определенный внешний закон композиции операторов а б Й и элементов х б Е н А — подмножество множества Е, устойчивое относительно этого закона, то, каково бы ни было ФС (), сужение функции а ьх на ФХА есть всюду определенный внешний закон композиции операторов абФ и элементов хи А; он называется законом, индуцированным законом (, на множествах Ф и А. Более общим образом: Опгвдклкннв 3.

Пусть,1 — внешний закон композиции операторов а й ьс и элементов хй Е, определенный на АС (с)С Е, и Ф С ьс, Р г Е; законом композиции операторов ай Ф и элементов х й Р, индуцированным за онолс ь, называется закон, определенный на .чпожестве тех (и, х) бФ)ср, для которых (а, х) йА и а.~хб р, и относящий каждой такой паре (а, х) композицию а).х. Там, где нет опасности путаницы, закон, индуцнрованнь1й законом ), мы будем (допуская вольность) обозначать снопа,1 .

Говоря (без дополнительных уточнений) о законе, нндуцированиом ааконом 1 на некотором множестве г" С Е, мы будем всегда подразумевать, что Ф=Я. Напротив, рассматривая случай, когда Р=-Е и Ф( 2, мы будем по-прежнему говорить, что закон, индуцированный на Ф ц Е, получен путем сужения области оператороп заданного закона до множества Ф. У и р а ж и е и и е. Пусть ). — всюду определенный закон номпозицнн операторов а е Я и элементов з й Е.

Пусть, далее, Š— множество всех отображений Е в Е, С вЂ” его подмножестве, образованное умножениями ( па всевозможные операторы а запева ), в Н— устойчивое относительно закона ) д подмножество множества Р, порожденное множеством С и тождественным отображепвем Е иа себя. а) Показать, что каждое подмножество миол<ества Е, устойчивое относительно закона (, устойчиво относительно закона (/, з) -+ ) (з) композиции операторов ) й Н и элементов з с Е, и обратно.

б) Устойчивое относительно занова ( множество, порожденное множеством Х ~-' Е, совпадает с множеством всех ((з), где )пробегает Н, а х пробегает Х. гл. к 1 4 АЛГБВРАИЧКСКИЕ СТРУКТУРЫ бО в 4. Алгебраические структуры !. Определение алгебраической стпрунэпурь« Предметом алгебры является изучение структур, определяемых заданием одного или нескольких внутренних или внешних законов композиции элементов одного или нескольких множеств.

Чаще всего все эти множества, кроме одного, рассматриваются как вспомогательные (Теор. мн., Рез., 3 8, и' 2), что приводит к следующему определению, Опгвдзлянин 1. Алгебраической структурой в множестве Е называется всякая структура, определяемая в Е одним ли несколькими внутренними законами компоэи««ии элементов иэ Е и одним или несколькими внешними законами ко.мпоэиции операторов изобластей операторов 1«, 6,... и элементов иэ Е, причем эти законы могут быть подчинены некоторь«м условиям (например, ассоциативности, коммутативности и т.

п.) или быть связаны друг с другом некоторыми от»«ошениями (см. 1 5). Аналогично определяется алгебраическая структура на нескольких основных (и, возможно, нескольких вспомогательных) множествах путем задания внутренних или внешних законов композиции на некоторых основных множествах; часть основных множеств может служить областями операторов внешних законов структуры. Таким образом, род алгебраической структуры Х (Теор. мн., гл. 17, з 1), определенный на основных множествах базы х„... ..., х„и ее вспомогательных множествах А„..., А, (в теории более сильной, чем теория .множеств), имеет общую структуру вида (г„..., 3„) и типовую характеристику вида «э,ЕТ, и э«ЕТ«и ... и в»ЕТР», где каждое Т; получается путем замены в терме ф ((и Х о) М о) буквы о одной из букв х«, буквы и — одним нз тернов х«нли А „. При этом аксиол«а рода Х записывается в виде «Р и ф>, где Р есть отношение «з, есть функциональный график и ...

... п э есть функциональный график» АЛГЕБРАИЧЕСКИГ СТРУКТУРЫ ~выражающее таким образом, что з; являютси графиками законов композиции); отношение (т' (выражающее дополнительные условия, наложенные па законы композиции рода структуры Х) называют вообще (допуская вольность речи) аксиолюй рода Х (и, разумеется, чаще всего оно представляется в виде конъюнкции нескольких отношений, называемых аксиомами рода Х). О таким родом структуры г.' можно ассоциировать род алгеораической структуры Х„имеющий те же множества базы н ту же типовую характеристику, но аксиома которого сводится к р; Хо называется обедненным родом структуры, соответствующим Х.

Два рода алгебраической структуры, имеющие один и тот же обедненный род структуры, называются гомологичными, и две структуры гомологичных родов называются гомологичными. Определение алгебраической структуры естественно порождает понятие изоморфизма (Теор. мн., Рез., з 8, и' 5); если на Е и Е' заданы алгебраические структуры одинакового рода, то изоморфизм Е на Е' есть биекция*) у: Е-+ Е' такаи, что внутренние и внешниее законы на Е' получаются из соответствующих законов на Е переносом структуры посредством у и тождественным отображением каждой из областей операторов внешних законов (являющейся вспомогательным множеством для обеих структур). Если речь идет о роде алгебраической структуры Х, определенном на нескольких основных множествах базы х„..., х„, то об изоморфизме Е„..., Е„на Е;, ..., Е„' еще говорят, когда яп одно х, не является областью операторов внешнего закона.

В противном случае систему Ц„..., у„), где ~,. — биекция Е, на Е,' и законы композиции структуры, рассматриваемой в Е,', ..., Е„', получаются из законов композиции структуры, заданной в Е„... ..., Е„, переносом структуры посредством отображений гг и тождественного отображения каждого нз вспомогательных множеств Рода Х, — предпочитают называть полиизоморфизмом (биизоморфизмом при п=2); если же рассматриваемые структуры совпадают, то говорят о полиаетоморфизяе (биагтоморф зме при п=2).