Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 12

Это различение менялу полвззоморфязмом и язоиорфягмом введено главным образом яз-за того, что обычно, допуская вольность, отождествляют два рода алгебраических структур, отличающиеся *) То есть взаимно однозначное отобрвязеяве ва.— Перев. 62 ллгеБРАнчкск>ге стРуктуРы гл. >.

1 4 лишь тем, что некоторые основные множества бааы одного рассматриваются как вспомогательные множества базы другого '(например, в модуле над кольцом последнее рассматривают то как всяомогательное множество, то как основное),. о. Ус>пайк иные множестпва. лтнду>снровагсная а вгебранчесгтая стп рунт ура Опгвдвлвпиг. 2, Пусть Š— множество, наделенное алгебраической структурой. Мне>гсгство А с, Е называется устойчивым (относительно структуры, заданной в Е), если око устойчиво относительно каждого из внутренних и внешних законов, определяющих эту структуру. Пересечение произвольного семейства устойчивых множеств есть снова устойчнное множество; в частности, существует наименьшее устойчивое ьгпо>тсество, содер>кащее заданное множество Х С Е; опо называется устойчивым множеством, порождгнпым множеством Х.

Опгвдвлзпив 3. Пусть Š— множество, наделенное алгебраической структурой. Индуцированкой гю структурой в множестве ЕС Е называется структура, определяемая в г' внутренними и внешними закопалги, ипдуцированнъ>лги па Е законами, определяющими структуру в Е. Часто говорят, что структура, заданная в Е, является продолжением структуры, ипдуцироваипой ею в ыпожестве Е~ 'Е. Если структура, рассыатрн1>аел>ая в Е, есть структура рода Х и л.с — соответствующий обедненный род структуры (и'1), то ипдуцироваппая структура в г" есть структура рода 2з, ио ие обнзательно рода 2, даясе когда г — устойчивое множество.

В 1 6 будет показано ва примере, что структура, индуцнрованнаа в устойчивом подмножестве Е группы Е заданной в Е групповой структурой, вообще говоря, не является уже групповой структурой 3. Фатстпорстпруктурьс В дальнейшем будут рассматриваться отношении зквивалептпости Х, Я, ... между элементами мконгеств, наделенных алгебраическими структурами. Напомним (Теор. мп., Рез., т 5, п' 2), что отношение Е между элементами х, у часто записывается в вн АлГеБРАические стРунтуРы де х = — у (шой Л) нлп просто х — = у, если нет опасности сне|пения с друГ||м отношением.

Опееделенпе 4. Пусть 1' — внутренний закон композиции элементов множества Е. Говорят, что отношение эквивалентности Л согласуе>пся с закоаолг г', если х'г у = х'Ту' (шой Л) всякий раз, когда хелх'(шойЛ), уеяу'(пюйЛ) и композиции хну и х'Ту' определены. Закон, относящий классалг эквивалентности элементов х и у класс эквивалентности элемента хТ у, есть внутренний гаван композиции элементов фактормножества Е>Л, называемый факторэаконом закона Т по Л.

Если Т всюду определен, то всюду определен и его факторзакон ио Л; если Г ассоциатнвен, то н факторзакон ассоцпативен; если Т коммутативен, тоифакторзакон коимутативен (кратко говорят, что ассоциативность и коммутатпвность сохраня>опгся при факторизации). Если Т обладает нойтральньы| элементом е, то и факторзакон обладает нейтралы|ым элементом (а именно классом эквивалентности, которому пренадлежит е); элементам нз Е, симметричным относительно Г, соответствуют в Е1Л элементы, симметричные относительно факторзакона, и значит, снмметризуемому элементу нз Е отвечает сныметрпзуемый элемент нз ЮЛ.

С другой стороны, регулярному элементу пз Е не обязательно соответствует регулярный элемент в Е/Л (см. пример нин|е). Опееделение 5. Пусть 1 — внешний закон композиции операпшров сгбьг и элементов множества Е. Говорят, что отношение эквивалентности Л между элементами из Е согласуется с законом .)., если и ).х —.=и ).х' (шой Л) всякий раз, когда х=.х' (и|ой Л) и композиции а (.х и из.х' определены.

Закон, относящий оператору и и классу эквивалентности злеменпш х класс эквивалентноспш элемента и,л х, еппь внеигний закон композиции операторов аб 2 и злел|ентов из Ег>Л, называемый факторзаконом закона ) по Л. Если отношение Х согласуется с внутренним законом т, то оио согласуется также, с одной стороны, с противоположным законом, а с другой — с двумя внешними законами, получающимися из т' путем раздвоения.

Факторизация по этим четырем законам дает гл,т,44 АлгеВРАические стРуктуРы 64 два противоположных внутренних закона композиции элементов из Е,сЛ и деа внепсних закона композпции элементов иэ Е, служащих операторами, и элементов из ЕИ. Обратно, пусть Т вЂ” всюду определенный внутренний закон и Л вЂ” отношение эквивалентности, согласующееся с обоими порождаемыми Т внешнимн законамя.

Тогда отношения х ьв х' (шос(Л), у = — у' (шойЛ) влекут, с одной стороны, х'Ту ее хТу (шос(Л), а с другой, х'Ту == х'Ту' (шос) Л), и значит, хТу эа х'Ту' (шоаЛ); тем самым Л согласуется с Т. Если отношение Л согласуется с левым (соответственно правым) внешним законом, порожденным внутренним законом Т, то мы кратко говорим, что Л согласуется слева (соответственно справа) с Т. Такс««с образом, имеем: Пеедложение 1. Для того чтобы отношение эквивалентности согласовалось со всюду определеннылс внутренним законом, необходимо и достаточно, чтобы оно согласовалось слева и справа с этим законом.

Опгеделение 6. Пусть Š— множество, наделенное алгебраической структурой, определяелсой внутреннилси или внешнилш законами кол«позиции. Говорят, что отношение эквивалентности Л между элементами множества Е согласуетпся со структурой, заданной в Е, если оно согласуется со всеми зтими законами; стпруктура, определяемая в фактормножестве Е«Л их факторзаконами по Л, будет называться факторструктурой структуры, заданной в Е, по Л, а Е~Л, наделенное этой факторструктурой, — результатом факторизации множества Е, наделенного заданной структурой, по Л.

Если структура, рассматриваемая в Е, — рода Х и Х,— соответствующий обедненный род структуры (п' 4), то фактор- структура в Е/Л будет рода Х«; но нужно в каждом случае исследовать, будет ли она также рода Х (так, во всяком случае, будет, в частности, когда Х есть род групповых структур (~ 6) или род кольцевых структур (зг 6)) Пример: Сравнения в Х. Пусть ай Х; отношение между элементамн х и у из Х «существует грХ такое, что х — у=агг есть отношение эквивалентности; АЛГББРАичяскик стРуктуРы 65 его раз навсегда условплпсь записывать х =.

у (шог! а) илн, короче, х==у (а) и называтьсровнснием по модулю а. Заменив а на — а, получим эквивалентное отношение, так что можно считать а)0; если а = О, то х =:-. у (0) означает, что х = у; таким образом, отношение, отличное от равенства, получается лишь прк а ьь 0; поэтому в дальнешпем, если только явно не указано противное, будет предполагаться, что а ) О. г(эакторггножество множества Х по сравнению х == у (а), где а ) О, есть нонеч нос множеспгво из а элементов, называемое множеством рациональных целых гго модулю а; этот факт вытег;аст из следующего свойства, обобщающего на рациональные целые евклидова деление, натуральных чисел (Теор. мн., гл. !!!): Если ай (чь и хй Х, то существуют однозгыгчно определенные рациональные целые д и г такие, что х = да+ г и 0 < г< а — 1.

Действительно, если х = да+ г и 0 .. г < а — 1, то да < х< ( у+1) а, откуда та <х при т< вита) х при т)о; следовательно, а(если оно существует) однозначно определено как наибольший элемент множества тех т6Х, для которых та<х. Но существование д в случае х) 0 было доказано (Теор. мн., гл. ! 1!); если же х < О, то существует о'6 Х такое, что о'а< — х < (д' — ', 1) а; а отсюда да<х< (у+1) а, где д=- — д', осли — х=- д'а, н д= — (д'+1), если д'а < — х.

Определенное так число г называется вычетом х ~о модулю а; для того чтобы х — —" у (а), необходимо и достаточно, чтобы х и у обладали одинаковым вычетом по модулю а, ибо два натуральных числа, принадлежащих интервалу (О, а — 11, могут быть сравнимыми по модулю а только если они равны. Отсюда следует, чтофактормножество мноягества Х по отношению х = у (а) находится во взаимно однозначном соответствии с интервалом (О, а — 11 п тем самым есть множество, состоящее из а элементов; его часто отоягдествляют с этим интервалом.

Лагко видеть, что, каково бы нп было а 6 Х, отношение х == у (а) согласуется со сложением и умножением в Х; следовательно, при факторизации онп коро;кдают коммутативвые ассоциативные законы; этн законы называют сложением и ултожением по модулю а (а > 0). Прп отождествлении фактормпожества множества Х по сравнению (пюд а) с интервалом [О, а — 11 суммой (соответственно произведением) по модулю а элементов г, в этого интервала 5 Н. Бтров гл. |,14 Алгввэлнчкскик стгуктуэы является вычет по модулю а их суммы гй- з (соответственно произведения гз) в Х. Отношение х ен О (|пой а) выражают также следующим образом: «х кратно а», «а — делитель х», «а делит х».

Заметяя, что если х =,'- О яра»но а, то х регулярно относительно умяоженяя э л, яо его класс (шод а) яе является регуляряым элементом относительно умножеяяя ло модуяю а. Ясно, что фактормножество множества Х по отношению, индуцированному на М отношением х == у (а), совпадает с множеством всех рациональных целых по модулю а; сложение н умножение по модулю а мол«но получить также, взяв факторзаконы сложения и умножения в Х по этому индуцированному отношению. В 1 6 мм уэнаим, что отношения сравнения х ж у (а) являются единственными отношениями еквиеалеятяостя в еч согласующямясв со сложением. 4. Предстпааленчсму гололорй)»гальс Опекдклкник 7.

Пусть Е и Р— множества, наделенные гомо- логичными алгебраическими структурами, и 1 — отображение Е в Р. При обозначении соответственных законов композиции на Е и г одинаковыми символами, у называется представлением Е в Р, если: 1' для каждого внугпреннего закона композиции Т, заданного на Е и Р, всякий раз, когда определено хТу, определено также 1(х) т1(у) ° 1(хну) =1(-) у1(у); 2' для каждого внешнего закона .(., заданного на Е и Р, всякий раз, когда, определено и.) х, определено также сс ).) (х) и С (а1 х) = =а ) с (х).

Из определенкя 7 следует, в частности, что для каждой пары соответственных внутренних законов Т, заданных на Е н Г, 1 есть представление Е в Г при структурах, определяемых одними этими законами (з 1, и' 1); если законы Т всюду определены, то для каждой серии (хь)ьеь элементов пз Е имеет место тождество с( ) х»1= ( 1(х»). |л|. ° хе| 67 Алгквнличкскии стРуктуРы н справедливости чего можно убедиться индукцией по числу зле- ментов множества Ь. Более общим обрааом, пусть (Ег,, „Е„) н (Е,',, Е ) две системы множеств, наделенные гомологичными алгебраическими структурами. Пусть 1; (1(г.<л) — отображение Е, в Е;.