Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 13

Говорят, что (1»,..., 1„) есть ар«э«та«ление (е„..., ее) в (ег,..., ез), если выполнены следующие условия: 1' й удовлетворяет условию 1' определения 7 для каждого внутреннего гапона (, заданного на Е« и Е,'-; 2' й удовлетворнет условию 2' определении 7 для каждого внешнего закона ), ааданного на Е« и Е(н имеющего своей областью оператороз некоторое вспомогательное множество; 3' для каждого внешнего закона, заданного на Е« (соответственно Е;) н имеющего своей областью операторов Е (соответственно Е;), всякий рзз, когда хг 1 х« (где хг Е Ег, х; с Е,) определено, г,(х;) ) й (х«) определено и разно 1«(х! г х«). Если все законы композиции, определяющие структуру в Е, всюду определены, представление ! Е в Р называется также гомоморфигмом*) Е в Р; если при этоы! (Е) = Р, то) называют гомоморфизмом Е на Р; гомоморфизм Е в себя называют эндоморфивмом Е.

Если существует гомоморфявм Е на Р, то говорят, что структура в Р гомоморфна структуре в Е (или является ее гомоморфным образом). Структуры, гомоморфные заданной, характеризуются следующей теоремой, доказательство которой непосредственно вытекает из определений: Ч Ткогкма 1 (теорема о гомоморфизмах). Пусть Е и Р— .нножсства, наделенные гомолоеичными алгебраическими структурами, и законы комгговиции в Е всюду определены. Если ! — гомоморфизм Е в Р, то ! (Е) есть устойчивое подмножество множества Р и, наделенное индуцированной струк»аурой, иаоморфно результату факторизации Е по отношению эквивалентности !'(х) =г'(у) (которое согласуется со структурой, заданной в Е).

") Когда Е и Р наделены не только алгебраическими структурами, но в топологиями, удовлетворяющими определенным условиям, термин «гомоморфизм» употребляется в более ограниченном значении и уже не являетсн синонимом «представлення» (см. Общ. топ., гл. Н1, ! 2). Но при отсутствии топологических структур зта сннонимия не доставляет никаких неудобств. 5* гл. к $4 АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ 88 Если законы комоозиции на Е не всюду оиределевы, то теорема может утратить силу, поскольку тогда композкциа /(з) и /(у) относительно внутреннего закона, заданного на Е, может быть определена также, когда комоозицвя з и у относительно соответствующего закова ва Е ие определена, и аналогично для внешних законов. Если гомоморфизм / Е в Р инъективен *), /(Е) по теореме > изоморфно Е; / можно рассматривать тогда как изоморфизм Е на /(Е), наделенное индуцнрованной структурой.

В частности, для каждого устойчивого подмножества А множества Е со всюду определенными законами композиции каноническая инъекция **) А (наделенного индуцированной структурой) в Е есть гомоморфизы. Если  — отношение эквивалентности в множестве Е, согласующееся с заданной в Е алгебраической структурой, то каноническое отображение Е на Е/В есть представление; оно называется каноническим представлениел> Е на Е/В (нли каноническим гомоморфизмом Е на Е/В, если все законы композиции на Е всюду определены). Пусть законы композиции на Е и Р' всюду определены, /— гомоморфнзм Е в Р и  — отношение эквивалентности / (х) =- /(р); теорема 1 показывает, что каноническое разложение (Теор. мн., Рез., з 5, и'3) гомоморфизма/дает: 1' канонический гомоморфизм Е на Е/В; 2' изоыорфизм Е/В на /(Е), называемый взаимно однозначны.э представлением, ассоциированным с /; 3' каноническую инъекцию /(Е) в Р.

Пгедложеник 2. Пусть Е, Р, 6 — множества, наделенные гомо- логичными алгебраическими структурами, / — представление Е в Р и а — представление Р в 6; тогда г «/ есть предсгпаеление Е в 6. Это предложение непосредственно следует пз определения 7. Пгедложгние 3. Пусть Š— множество, наделенное алгебраической структурой,  — согласующееся с ней отношение эквивалентности, / — каноническое представление Е на Е/В и Р— множество, наделенное структурой, гомологичной заданной в Е. «) > о есть нвляется взаимно однозначным отображением Е в Г.— Перев. ««) Инъекция — взаимно однозначное отобра>каине в. Наиовическая инъекция множества А С: Е в Š— отображение отвосящее каждому элементу иа А этот же элемент в Е.— Перев.

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ для того чтобы отображение д Е/В в Р бьто представлением. необходимо и доппаточно, чтобы уь/ было предспьавленисм Ь' в г' Необходимость условия вытекает из предложения 2. Легк<ь убеждаемся в его достаточности: если композиция иТ о элементов и и о из ЕИ относительно внутреннего закона Т определена, то в Е существуют элемент х класса и и элемент у класса о, для которых хну определено; тогда д(/(х))Тд(/(у)) 'определено и равно е (/ (хТу)), т. е.

е (и) Тд (и) определено и равное (и Т о); аналогичььое рассуждение для внешних законов. В остающейся части этого и' мы будем рассматривать множе-. ство Е, наделенное алгебраической структурой, задаваемой всюду определенными законами коьшозиции. В обозначениях предложения 3, пусть Я вЂ” отношением(х')=д(у') в ЕИ и Т вЂ” отношение з (/(х)) =д(/(у)) в Е; Я есть факторотношение Т/В отношения Т по В (Теор.

мн., Рез., з 5, и' 9); по теореме 1 образ Е/В при отображении е нзоморфен (Е/В)/Ю; но он есть также образ Е прв отображении ао/, и теорема 1 показывает, что он изоморфен Е/Т/ Тем самым, беря в качестве д канонический гомоморфизм Е/В на (Е/В)/Б, получаем следующую теорему: Твогемл 2 (первая теорема об изоморфизме). Пусть Š— множество, наделенное алгебраической структурой, и  — согласующее-, ся с ней отношение эквивалентности в Ь", Тогда каждое отношение эквивалентности Я в ЬИ, согласующееся с факторструктурой множества Е по В в Е/В, имеет вид Т/В, где Т вЂ” отношение экви валентности в Е, являющееся следствием В и согласующееся со структурой, заданной в Е; и обратно.

При этом ка>оническое отображение Е/Т на (Е/В)ЦТ/В) есть иэоморфигм. Будем обозначать через / канонический гомоморфизм Е на, Е/В; пусть А — устойчивое подмножество множества Е, наделенное индуцированной структурой; сужение /' на А есть представление А в Е/В, и значит, по теореме 1, / (А) изоморфно А/Вл, где Вл — отношение, индуцированное отношением В в А (Теор. мн., Рез., $ 5, в' 5). Пусть  — подмножество множества Е, полученное путем насыщения А по В (Теор, мн., Рез., з 5, и' 6); В также устойчиво.

Действительно, пусть хбВ, уй В; по определению,, существуют х'б А и у'бА такие, что х== х' и у =. у' (той В); для) ллгенРАические стРуктуРы гл. и 4 4 Т из определяющих заданную в Е имеем х'Ту' б А и хТу = х'Ту' аналогично для внешних законов. 1(В), а ~(В) =~(Л), нами получена любого внутреннего закона алгебраическую структуру (той В), откуда хТур В; Поскольку В(ВЕ изоморфно Теогемл 3 (вторая теорема об изоморфнзме). Пусть Š— множество, наделенное алгебраической структурой, А — его устойчивое подмножество и  — отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в Е. Множество В, получающееся путем насыщения Л поВ, устойчиво; отношения Вл и Во, индуцированные отношением В в А и В, согласуются со структурами, индуцированными в А и В из Е, и кано ическое отображение и) А/Вл на В)Вв есть изомор(бизм. Пусть Ь (А) — свободный моноид, порожденный множеством А, М вЂ” мононд с нейтральным элементом е и ) — отображение А в М.

Существует, и притом единственное, представление д монопда В(А) в М, переводящее Я в е и служащее продолжением ) (так что Е(А) есть решение универсальной проблемы (см. Теор. мн., гл. ЪЧ, з 3)). Действительно, если з = (а )мг — непустое слово пз Ь (А), то примем за у (з), по определению, композицию последовательности (~(а,))щг, кроме того, положим д (Я)=е; по теореме ассоциативности, у — представление. С другой стороны, пусть у' — представление Е (Л) в М, являющееся продолжением( и переводящее Я в е, и пусть  — та часть В (А), на которой д н д' совпадают; тогда Я р В, А С ' В, В устойчиво относительно заданного в Ь (А) умножения, значит, В=В(А), и следовательно, у'=у, Пусть А и  — два множества и г — отображение А в В. Согласно предыдущему, существует, и притом только одно, представление )' моноида Ь(А) в Ь(В), переводящее Я в Я и служащее продолжением ).

Пусть С вЂ” третье множество, )', — отображение В в С и (,' — порождаемое ни представление Е (В) в Ь(С); тогда (,'о)' есть представление Ь(А) в В(С), порождаемое отображением ) ч~ множества А в С. в) Зто каноническое отображение (конпозиция канонического огображенин А)Ял па ((А) и канонического отображения множества ((В)=)(А) на ВИз) относит каждому классу (жоб йл) н А содержащий его класс (тойЛ) в Е. 71 АЛГВВРАИЧВСКИК СТРУКТУРЫ д.

Яронвведення алгебранчеомизс стпруктпт1р Опевдкленик 8. Пусть (Ес)гег — селсейство множеств, наделенных гомологичными алгебраическими структурами, и Е=-1'Е,— гсг его произведение. Будем предполагать, что каждый из (внутренних и внегпних) законов обедненного рода структуры Х„„соответпствукгщего родам структур, заданных в множествах Е„обозначается одним знаком для всех Е„. г' Для внутреннего закона Т на множествах Е„, х=(х„) и у = (у,) положим хТ у = (хсзр у,) всякий раз, когда х, г ус определень для всех с Р 1; определенный так внутренний закон композиции на Е оудем называть произведением законов у, заданных на множествах Е,.

2' Для внешнего закона ) на лсножествах Е„оператора а относительно этих законов и х=(х,) положим и) х=(а ( х,) всякии раз, когда а С х„оггределсны для всех с р 1; определенный так внешний закон композиции на Е будем называть произведением законов ), заданных на множествах Е. 3' Если для каждого из характеристических законов рода структуры Хе будет образовано на Е произведение соответствукггцих законов на множествах Е„то структура, определяемая в Е всеми эггсими произведениями законов, будет называгпься произведениезг структур, заданных в множеспгвах Е„а Е, наделенное атой структурой, — произведением множеств Е„надсзенных заданными структурами.