Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 14

Произведение структур, очевидно, гомологично структурам, заданныьс в множествах Е,; но если последние структуры принад- лежат все одному роду, нужно в каждом случае еще исследовать, принадлежит ли и их произведение этому роду, В дальнейшем ьсы встретимся как с вримерами, где ато всегда так (структуры группы, кольца и т. д), так и с примерами, [где зто не так (структура тела). В обозначениях определения 8, если А, — устойчивое подмножество множества Е„то А = — П А, есть устойчивое подмножества гас произведения Е, а структура, индуцированная в А вз Е, есть произведение структур, индуцированных в множествах А, иа Е,.

гл,т,1А 72 ЛЛГВВРАИЧВСКИЕ СТРУКТУРЫ Отображение рг, произведения Е на Ь'„есть представление Е на Е,; аналогично для проекции на любое частичное произведение [(Е„. Если (Гч)век — разбиение множества 1 и Г„= [[ Е,, цы цгк то каноническое отображение (Теор. мк., Рез., ~ 4, и'11) Е на [( Г„есть изоморфизм. ее к Если г'„— представление множества Р (наделенного структурой, готюлогпчной структурам, заданным в множествах Е„) в Е„ то ~=-(Л) есть представление Р в Ь', Пусть (Р„), ег — второе семейство множеств, наделенных алгебраическими структурами, гомологнчными заданным в множествах Е„обладающее тем же множеством индексов; еслп ~, для каждого с есть представление Ь', в Р„то отображение (х,) — ~(г„(х„)) есть представление [) Ь'„в [1 Р,.

1ег 1ег В частности, когда 1 — множество, состоящее нз двух элементов, а ~, — канонические представления па фактормножества, получаем следующее предлоясение: Пгвдложвнив 4. Пусть Е и Р— множества, наделенныегомологичными алгебраическими структурами, Л вЂ” отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в Е, и Я— отношение эквивалентности, согласующееся со структурой, заданной в Р. Каноническое отображение (ЕИ) Х(Р/Я) на (ЕХР)!(К Хог (Теор.

мн., 1'ез., $ 5, и'10) есть иэоморфиэм. Если рассматриваемые структуры определяются в каждом Е, единственным внутренним законом (обозначаемым Т для всех Е,) н если все эти законы 7 ассоциативны, нх произведение тоже ассоциативно; для того чтобы элементы (х,), (у,) были перестановочнымн относительно произведения законов Т, необходимо и достаточно, чтобы х„и у„были перестановочны прн каждом м в частности, если все законы Т коммутатнвны, то и их произведение коммутатпвно; для краткости говорят также, что ассоциативность и коммутативность сохраняются нри нереходе к произведениям.

Для того чтобы пронзведение законов Т обладало нейтральным элементом е=(е,), необходимо и достаточно, чтобы каждое е, было нейтральным элементом в Е„; для того чтобы х=(х,) было регулярным относительно произведения законов Т, необходимо АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЪ| н достаточно, чтобы каждое х„ было регулярно в Е,; для того чтобы х=(х,) ну=(у,) были симметричны, необходимо н достаточно, чтобы х, к у, были симметричны при каждом л. Наконец, рассмотрим тот случай, когда нее Е„совпадают с одним и тем же множеством Е, наделенным произвольной алгебраической структурой; Е есть тогда множество Ег всех отображении « — >1'(л) множества индексов 1 н Р; композиция ~ТЕ двух таких отображений относительно каждого внутреннего закона Т на Е есть отображение| — л)(л)ТЕ(|); а для каждого ннешнегозакона [ на Е композиция сг,ь) оператора сг н отображения уесть отображение л — ъсс [1(л).

Заметим, что геиеиерутигии алгебраических структур (со всюду определенными закопамн) удовлетворяют условиям (МО>), (МО| ) и (МО ) 1 2 глзны 1У Книги 1, характеризующим л»грд>игл»и. У п р а ж н е н и я. 1) Рассмотрим алгебраическую структуру, определяемую в л«ножестве Е ааданием несколы<нх внешних законов. Показать, что зти законы можно (с точностью до полннзоморфнзмэ) рассматривать как аакопы, полученные путем сужении единственного внешнего вакона ) на некоторые подмножества его области операторов.

[Рассмотреть «сумл|у» (Теор. мн., Рез., 3 4, и' 5) множеств операторов всевозможных внешних законов, заданных на Е.[ Устойчивые подмножества множества Е етпосительно аадакной структуры и структуры, определяемой зтвмединственкым законом А, одни и те >ке;каждое отношение эквивалентности, согласующееся с заданной структурой, согласуется с ааконом ,1, н обратно.

2) Напомнил>, что, отождествлая (допуская вольность) отношения эквивалентности в множестве Е с определаемымн ими подмножествами произведения Г ХЕ (Теор. мн., гл. 11), говорят, что отношение эквивалентности В содержии отношение эквивалентности У, если часть ЕХЕ, определяемая отношением В, содержит часть, определяему|о отношением Я (что означает, иными словами, что Я влечет Е); а палогнчпо говорят онер«сечении семейства отношений эквивалентности. а) Покааать, что пересечение семейства отношений эквивалентности, согласующихся с алгебраической структурой, заданной в миан«естве Г., есть отношение вквивзлевтпости, также согласующееся.

с атой структурой. б) Пусть а н Ь вЂ” ааланпь>е два элемента из Е; среди всех отношений эквивалентности В, согласующихся с рассматриваемой в Е алгебраичесней структурой и удовлетворлющих условию ажЬ (плод В), существует содержащееся во всех остальных; это отношение Ее, л называют о|поп>ением эквивалентности, полу ленным путем етеагдестглг- АЛГНБРАИЧБСКИБ СТРУКТУРЫ гл,«,Ь 4 нил а и Ь, а Е/В„,ь — фактормножеством, полученным путем отож- дествления а и Ь. в) Если  — отношение эквивалентности, согласующееся с:а- данной в Е алгебраической структурой, то существует семейство пар (ап Ь„) элементов из Е такое, что В есть наименьшее отношение ж«ви- валентности, содержащее все отношения В ь, Е/В называется фактора Ь1' множеством, полученным путем отождествления а„и Ь, для каждого 1.

*3) Пусть Š— мопонд (4 1, в' 3) с мультипликатквиым обоаиа- чением. -1 -1 а) Каково бы нн было множество А С Е, отношение у„(А) = у„(А ) между элементами л и у из Е есть отношение эквивалентности, согла- сующееся справа с заданным па Е законом, 'будем обоаначать его Ва (А). б) Пусть  — отношение эквивалентности, согласующееся справа с заданным яа Г ваконом, н А — произвольный класс (шо1) В).

Пока- зать, что В влечет Ва(А) и что пересечение (упражнение 2) отяошений Ва(А), где А пробегает множество всех классов шод В, есть следую- щее отношение эквивалентности (между алементами * и у из Е): «ка- ково бы ни было з, лз ж уз (шо1) В)1, в) Множество А <- Е называется рааделлю«Ч1ьв множеством, если -1 -1 -1 -1 отношение у„(А) Д ув(А)~,е' влечет уа(А)=у„(А). Покааать, что 1 если А — разделяющее, то отношение Ь„(А) П Ь„(А) Ф Р/ влечет -1 -! Ь„(А)=бэ(А), я что классамк эквивалентности шод Ва(А) служат -1 множества Ь,(А), где и пробегает Е, и множество И'(А) тех эРЕ, -1 для которых уа (А) =д/, Пусть Р— дополнение к И'(А) в Е; при тех же условиях доказать, что отношения аз бр, ух бр,аз = ух(шоо В1(А)) влекут л ж у (шод Ва (А)). г) Пусть  — отношение эквивалентности, согласующеесн справа с заданным на Г законом и такое, что г«ж уз (шо1( В) влечет т в у (шон В).

Показать, что каждый класс шо1(В является разделяющим множеством; если А — класс шод В, то, в введенных выше обозначе- нинх, отношения, индуцированные в дополнении Р к И'(А) отяоше- ниями В и В,1(А), равносильны. 4) Показать, что каждое отношение эквивалентности в Х, согла- сующееся со сложением, имеет вид г =— у (а), где а Р 2.

(Показать, что класс числа О по такому отношению имеет вид а Х, для чего рас- смотреть яаименьшив элемент )О этого класса, если таковой суще- ствует.) Вывести отсюда, что если, в обозначениях упражнения 7 $ 2. множество С конечно и состоит иэ р элементов, то оно изоморфно множеству всех целых чисел по модулю р (наделенному сложением по модулю р); то же верно и для множества 27 упражнения 8 $ 2, еслв оно состоит из р злементов.

ОтнОшения между 3АкОнАми кОмпОзиции 75 Ь) Пусть Е н Е' — множества, наделенные гомологнчнымн алгебраическими структурами, н ( — представление Е в Е'. Показать, что -1 если А' — устойчивое множество в Е', то )(А') — устойчивое множество в Е. 6) Рассмотрим в свободном моновде Е(А), порожденном множеством А, следующее отношение Е между словами и=(ас) н и=(Ьг)е,;<н.' осуществует такая подстановка я интервала [О, и), что Ь;=о,. з (ннымн словами, последовательности (о,) н (Ь,) различаются лишь порядком следования членов). Показать, что Е есть отношенне зквнвзлентностн, согласующееся с приписыванием в Е(А); фактормножество Х (А)/Е называется свободным иоммужаживним моноидии, порожденным множеством А; показать, что он язоморфен устойчивому подмножеству произведения Ь[~ (наделенного пронзведенаем законов сложения в сомножителях Ь(), образованному всемв семействамн (ии)и з л натуральных чисел такими, что н„=О для всех, зз исключением ионенноео числа, индексов а.

й 5. Отношения между законами композиции В определении большинства алгебраических структур фигурируют несколько законов композиции, находящихся в определенных взаимных отношениях; типы зтнх отношений довольно разнообразны; мы рассмотрим здесь главнейшие из них н укажем, как принято отражать нх в обозначениях. з. Дистприбуттьивность Опгеделенне 1.

Всюду определенный внешний закон композиции [, операторов а б О и элементов множества Е называют дистрибутивным относительно внутреннего закона композиции Г злсмснтов из Е, если всякий раг, когдакомпозицияхГуопределена, композиция (а [.х)Т(а.[ р) определена для всех ар Й и иместместоравен ство а [ (хГу) =(а1х)Т(а! у) Это определение равносильно требованию, чтобы отображение х-+а~ х было длякаждогоабйпредставлениемЕвЕотносительпо структуры, определяемой в Е одним только внутренним законом [ . Ограничимся в дальнейшем рассмотрением того случая, когда закон Т всюду определен.