Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 10

Покааать, что если Л (соответственно В, С) бесконечно, то (наделенное авионом, индуцированным законом, заданным иа Е) оно изоморфно Х» (соответственно Ь[, У), наделенному сложением. 8) В обозначениях упрюкневня 7 предположим, что А конечно. Показать, что Л содержит идемпотент Ь (1 1, и' 4), и притом тольяо одня. [Если хо и х> — идемпотепты, то хо в хж, хо=хо>, и значит, хо=х>.[ Если Ь= хо, то множество Р всех хп с и р р есть устойчивое подмножество множества Е такое, что относительно закона, индуцированного на Р, Й является нейтральным элементом и все элементы из Р обратимы. »9) Пусть на мно>кестве Е задав мультипликативный закон и а— влемент из Е ганой, что левый перенос у есть взаимно однозначное отображение Р в Е.

а) Показать, что если существует элемент и, для которого аи= а, то их=-х для всякого хбЕ; в частности, если хи=х дли каждого хбЕ, то и — нейтральный элемент. б) Показать, что если существу>от ибЕ, для которого аи=а, и Ь б Е, для которого аЬ= и, то Ьа.= и. [Образовать аЬа.) В частности, если существуют нейтральный алемент е и элемент Ь, для которого аЬ=е, то Ь вЂ” элемент, обратный а.

10) Показать, что если а и Ь вЂ” такие элементы из Е, что уь„— вааимяо однозначное отображение Е в Е, то у — взаимно однозначное отображение Ь' в Е. Вывести ото>ода„что для коммутативного ассоциативвого закона на Е множество В всех нерегулярных элементов нз Е обладает свойством Е$ Г Я (и, в частности, устойчиво). *11) Г называют полу>руппов с лоовви сокрао1ениели если у. есть взаимно однозначное отображение Р в Е для каждого хб Е. а) Если и — идемпотевт Я 1, в' 4), то их= х для каждого х б Е. [Использовать упражнение 9а.[ и — нейтральный элемент относительно закова, н>щуцвроеанного яа Еи.

б) Если и и о — двз различных идемпотента из Р, то Еис) Е о= д>' [показать, что отношение хи=по влечет хи=хо) и множества Еи и Ро (наделенные законами, индуцирова>шыми законом, заданным на Е) изоморфны. нкйтРАльнып РеГуляРные симмктРичные элкыенты 53 в) Пусть  — дополнение к объединению множеств Еи, где и пробегает множество всех идемпотснтов из Е, Понааать, что ЕВ г Л. [Доказать, что идемпотент и не может удовлетворять равенству ху= .=- хуи при х Р Е, у Р Л.] Следовательно, Л вЂ” устойчивое подмножество множества Е. Если Л не пусто, то аВ - В для каждого абВ, (Для докааательстза того, что в противном случае В содержало бы идемпотент, воспользоваться упражнением 9а.] В частности, Л тогда бесконечно.

Л называется огтаточнъиа множггтгогг полугруппы с левьгк сокращением Е. г) Если В не пусто и в Е существует хотя бы один идгмпотент и (т. е. Е чь Л), то для каждого х(ЛЕ» имеем хЕи~Еи. [Показать, что в противном случае существовало бы а СЛ, для которого аВ= =В,] В частности, ни один элемент из ВЕи необратим в Еи и ВЕи— бесконечное множество. [Использовать упражнение 8.] д) Если Е обладает нейтральным элементом г, то он является единственным идемпотеитом в Е и В пусто.

[Заметить, что Е=Ег.» е) Если существует а б Е такое, что правый перенос Ь является ггаиияо однозначным отображением Е в К (в частности, если заданный на Е запои коммутативен), то либо Е обладает нейтральным элементом, либо Е= Л. [Заметить, что если сущесзяует идемпотент о, то ха=хка для каждого х б Е.] ж) Если существует а с Е такое, что бз является отображением К ка Е, то либо Е обладает нейтральным элементом, либо Е= В. (Рассмотреть отдельно случаи а б В и а С Еи, где и — идемпотент.] "12) Пусть на Е задан мультипликативный закон и а б Е таково.

что Т явлнется отображением Е на Е. а) Показать, что если существуег и, для которого из=а, то их=в для всякого х б Е. б) Для того чтобы уса было взаимно однозначным отображением Е в Е, необходимо и достаточно, чтобы у было взаимно однозначным отображением Е на Е, а уь — взаимно однозначным отображением Е в Е. з13) Предположим, что Тх для каждого х б Е есть отображение Е на Е. Показать, что если у для некоторого с б Е есть ваанмно однозначное отобРажение Е на Е, то Тк длз каждого х б Е есть взаимно однозначное отображение Е на Е. [Использовать упражнение 126.] То же, в частности, верно, если е Е существуют алсменты а, Ь такие, что аЬ=. Ь. [Использовать упражнение 12а.] Е является тогда лолу- группой с левым сокращением, остаточное множество В которой пусто; кроме того, для каждого идемпотента и все элементы иа Ез обратимы в Еи.

"11) Для ассоциативного закона па конечном множестве Е существуют минимальные множества вида аК (т. е. минимальные элементы множества всех нодмпожеств множества Е, имезощих такой впд, упорядоченного по включению). АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл. к 1 2 а) Если М =аЕ минимально, то хМ= хЕ=-М для каждого х б М; >юлелекяое индуцированным законом, Л> является полугруппой с левым сокращением (упражнение 11), в которой каждый левый перекос есть взаимно однозначное отображение М па себя. (См. упражнение 13.] б) Если Лу = — иЕ н М'=а'Е минимальны и различны, то Л)ПЛП = =д>: для каждого Ь б М отображение х' -- Ьх' множества М' в М есть взаимно однозначное отображение М' на М.

Вывести отсюда, что существуют ндемпотент к' б М', для которого Ьи'= Ь, и кде»патент в б М, для которого иэ'==и. (Взять за и идемпотент, для которого Ьи=Ь.] Показать, что и'и=и' (рассмотреть ии'и] и что каждое у' б М', для которого у'и=у', принадлежит М'к'. в) Показать, что отображение х' — их' множества М'и' в Л) есть изоморфиэм ЛХ'и' на Ми; вывести отсюда, что М и М' — изоморфные полугруппм с левым сокращением. г) Пусть М; (1: '1 -.' г) — попарно различные минимальные множества вода аЕ; вывести из б), что идемпотепты каждой полугруппм с левым сокращением Мг можно располонгить в последовательность (>Ч;) (1 <).(э) так, чтобы иыиь;= и;, для любых >, )', Ь.

Показать, что Еи;, С К, где К вЂ” объединение полугрупп МР (Заметитгч что хи;,Е для каждого х б Е есть минимальное множество вида аЕ.] Вмвестн отсюда, что Еи>> есть объединение мноя<еств кь,Еиэ, (1 (Ь <г) (показать, что (Епг;)~)Ма=и„>Екэ>] н что Ек;,В=К. Наконец, доказать, что каждое минимальное множество вида ЕЬ совпадает с одним из э множеств Еи,, (Заметить, чтона осноэаняк а) ЕЬи;,Ь=-ЕЬ, и вывести отсюда, что ЕЬ~ К,] 15) Пусть (х;) ~ — конечная последовательность элементов, лля которых левые переносы у„являются взаимно одяозначпымн отобравгеннями Е в Е. а) Показать, что соотношенве х,хх..х„=е влечет все соотношения х> > ... хэх,хэ... х; =е (1 ~(( ~(л), получающиеся из него «круговой перестановкой>.

б) Вывести отсюда, что если коыпозвцня последовательности (х;) обратима, то каждое хг обратимо. 16) Если х п у обратпь>м, то элемент у 'х 'ух называется лаз>мутатором х и у н обозначается х у. Показать, что для того, чтобы х и у (предполагаемые обратимыми) были перестаповочны, необходимо и достаточно, чтобы х у=е.

Доказать тождества у х=(х у) ', х (уэ) = (х»у) (с (хьу)) (хээ), (х у) (>х(х=у)) (э х) > (у э) (х>(у г)) (хьу) >( х) (у (зэх)) (у г) >=е, )Третье получается пз второго круговой перестановкой х, Р, э н по ь~еппым перемножением полученных тождеств.] 17) Распространить доказательство теоремы снмметризацни (теорема 1) па тот случай, когда Т вЂ” ассоциативный закон н каждый регулярный относительно него элемент — >Мял>ральнмй.

внкшннк законы композиции »18) Пусть à — ассоциативный закон на множестве Е и Ż— множество всех регулярных относительна него элементов; предположим, что Е» ке пусто и что каждый регулярный элемент — центральный. Обозяачнм через Я множество всех Х . Е, обладающих следующим свойством: существует у б Е', для которого бэ(Е) г Х. а) Показать, что пересечение двух множеств вз $ принадле>кнт у. б) Пусть Ф вЂ” множество всех функций, определепкмх па множествах из оь принимающих значения в Е и таких, что, каковы бы -1 ни были )бФ и Хб$, г' (Х) принадлея«вт Д.

Обозначим череа Е следующее отношение между элементами 7' н у множества Ф: «существует множество Х б $ такое, что сужения г и е на Х совпадают». Показать, что Л вЂ” отношение эквивалентности; пусть Ч'= Ф/Л— фактормиожество множества Ф по этому отношению. в) Пусть ) и е — элементы из Ф, А й 5 и Е б 5 — множества, на которых 7' и у соответственно определены, и пусть существует Х с- Е, принадлежащее 5, для которого у (Х) ~ А; обозначая черев ех сужение д ка Х, показать, что отображение ) ех принадлежит Ф и что его класс (шо«)Е) зависит только от классов функций ) н у (но не от Х); этот класс называется композицией класса функции ) и класса функции Е; показать, что тан определенный закон композиции в ч«ассоцнативен и обладает нейтральным элементом. г) Показать, что левый перенос у для каждого л б Е принадлежит Ф; пусть у — его класс (шо«) Л). Показать, что отображение х — «э„есть изоморфвзм Е в Ч«п что если х б Е*, то «э„обратимо в Ч'.

(Рассмотреть отображение, обратное к уз, и показать, что оно пранадлежнт Ф, а его класс (шод Л) симметричен»р„.) Получить отсюда новое доказательство теоремы $ и ее обобщения, сформулированного а упражнении «7. 5 3. Внешние законы композиции у. Внегииие законы тто.и»зази«(ыи Опгхдклкшгк 1. Внешнил» законом коз«позиции алел«ентов множества »1, наэываел«ого множеством операторов (илп областью операторов) закона, и элементов множества Е называется отображение 7' некоторого множества А С:'»»'»СЕ в Е. Значение )'(и, х), принимаемое 7'в (а, х) й А, называется композицией и и х относительно этого закона. Элементы иэ ьг называются операторами закона. Как н в случае внутренних законов, допуская вольность, говорят, что внешний закон задан (или определеп) на Е.