Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 6

Комбинируя теоремы 1 и 3, получаем: ТеоремА 4. Пусть à — коммутативный ассоциативный закон на Е и (х.);еА — непустое конечное семейство элементов из Е. Если А — объединение своих попарно не пересекающихся непустых подмножеств ВО Вл,..., Вр, то (б) а О А 1=! 1 аев. Действительно, зто вытекает нз теоремы 3, если соверп1енно уп о. Рядочить А так, чтобы В, удовлетворяли условиям теоремы 1 Отметим два важных частных случая этой теоремы. Во-первых, ЕСЛИ (Хаа)<а, ЮЕАХ — КОНЕЧНОЕ СЕМЕйСтВО, МНОжветВОМ, ИНДЕКСОВ АЛГБВРЛИЧБСКИБ СТРУКТУРЫ гл,!.3 ! которого служит произведение двух непустых конечных множеств А, В (здвойное семействоз), то Г хор Т ! Т хор! = Т ( Т хо!31 !о. З!елхв аул '!Зев / Зев! оел действительно, это вытекает из теоремы 4, если рассматривать А /! В, с одной стороны, как объединение множеств (а) Х В, а с другой стороны, как объединение множеств А х())). В частности, если В состоит из л элементов и все хор с одним и тем же а р А имеют одно и то же значение х, то ( ( -Гх.~ = т ~ т х„) (8) Освозызаясь ва формуле (7), композпцяю дзойяой последоззтельяостя (з;;), имеющей множеством своих индексов пропззедевяо интервалов (р, д) и (г, з)вз М, относительно аддвтязпо обозначаемого коммутатязяого ассоциативного закона часто обозначают ~~!з!/ еля ~~ ~, з;;, 7=ь 1=Р 1=Р Зь< а аналогично для законов, обозначаемых иначе.

Во-вторых, пусть А — множество всех пар целых чисел (!, /) таких, что О <! <л, О </ <и и ! </; пусть, далее, композиция семейства (х„)!ь !!гл (относительно коммутативного ассоциатив- ного закона) обозначается по-прежнему Г хц (илн просто о<7<!<о хар если это не может повлечь недоразумений); теорема 4 3<! приводит здесь к формулам о-1 к ь ! †! (9) Оя!<!як " !=О ~/=!+! / з=.! ) з=о "/ Существуют формулы, аналогичные (7), для семейства, множе- ством индексов которого служит произведение более чем двух множеств, и формулы, аналогичные (9), для семейства, множе- ством индексов которого является множество Яр строго воера- слгаюп)их последовательностей (ьд)!Иаир р целых чисел, в которых О < за < л (р ~( и + 1); в этом последнем случае композиция семейства (х! ! )/! , „; !гв обозначается Т х7, О<! <! «...! о ! ! ''' Р плп просто Т х! ! <! « ...

а, ВнгтРенние злкон11 кОмпОзиции Отметим, наконец, что, в силу следствия 2 предложения 2, теоремы 3 и 4 применимы также в случае ассоциативного закона и семейств, элементов, попарно перестановочиых относительно этого закона. У п р а ж п е н н я. 1) Пусть Т вЂ” закон композиции (во>оду определенный пливет) на множествеГ. Каковы бы ни были семейства (Ха)аел и (Уд)дсв поДмвожеств иа Е, ( [.] Х„)Т([.) Уд)= [.] (Х„ТУ ). асл " дев са, д>слхв 2) Пусть Т вЂ” не всюду определенный закон композиции на множестве Е нЕ' — подмножество множества>3(Г), состоящее из множеств (х'„где х пробегает Е, н пустого под>с>сожоства,Ы множества Е. Покааать, что Е' — устоГщивое множество в с]с (Е) относительно закона ХТУ; вывести отсюда, что, обозначив через Ё множество, полученное путем крисегди>савик (Теор.

мн., Рез., $4, и' 5) к Е алемента ю, можно продолж>>ть закон Т на ем е так, стобы Т совпадал с законом индуцпрованным на Е этим продолженным законом. 3) Пусть Т вЂ” не всюду определенный закон композиции на Е. а) Для того чтобы закон композиции ХТ У подмножеств множества Е был ассоцватнвпым, необходимо н достаточно, чтобы при л>обых х, у и з из Е, если определена едка пз частей формулы (2), была определена также вторая и равна первой. [При доказательстве достаточности условия использовать упражнение 1.] б) Предполагая это условие выполненным, показать, что теорема 1 обобщается следующим образом: если определена одна из частей формулы (3), то определена также вторая и равна первой. 4) а) Пусть Š— заданное множество, Ф вЂ” множество всех отобраясепнй в Е всевозможных его подмножеств и П е, й — элементы из Ф. Показать, что если композиция (]са) Ь определена, то определена и композиция ] (, й), но обратное неверно; если >ке обе эти композиции опроделены, то опи равны.

б) Пусть >> — семейство попарно не пересека>ощихся пепустых подмножеств множества Е н Ч' — подмножество множества Ф, образованное всевозможными аваазпсе едказкачкм.ки отображениями множества нз Ч ка множество нз гс. Показать, что для закона, индуцированного па Ч' законом ] а, условие управ>пеняя За) выполнено. сб) Показать, что единственными тройками (т, а, Е) натуральных чисел .->Э О, для которых (т")"=.п>вэ, явля>отся: (1, и, с>)с где к и р произвольны, (т, к, 1) н (т, 2, 2), где т н к пропзвольпм., 6) Пусть Т вЂ” всюду определенный закон композиции элементов множества Е и А — подмножество множества Е, образованное 3 н, п>взю лпгвнгаичкскик стгь нтугы гп. г.

$1 элементами х, длн которых хТ(уТ г)=(хТу) Т з, каковы бы ни были у н з из Е. Показать, что А — устойчивое множество и закон, который Т индуцирует на А, ассоциативен. 7) Коли Т вЂ ассоциативн закон на Е, то, каковы бы нк были элементы а и Ь нз Е, множества (а)ТЕ, ЕТ(Ь), (а)ТЕТ(Ь) и ЕТ(а)ТЕ устойчивы относительно Т. 8) Пусть Т вЂ” ассоциативный закон яа Е и а — элемент из Е; для любил х и у из Е положим х ~ у= хТз Ту. Показать, что закон ( ассоцпативен. 9) Отображения (х, у) х и (х, у) —.

у являются противо. яоложныпп ассоциативными законами кочпозпцип на множестве Е. 10) Пусть Х н У вЂ” произвольные подвгкозкзства множества яолозкнм ХТ У = Х () У. осли Х ) У=Ю, и ХТ У=Е, если Х;) У:д дг. Показать, что определенный так закон композиция на ф (Е) ассоциативен и коммутативен. 11) Пусть Т вЂ ассоциативн закон ка Г и А г Е, В и Е— устойчивые относительно него множества.

Показать, что если В ТА с А ТВ, то .! Т В устойчиво относительно Т. '12) Единственными различными натуралънымн числамп =,'- о, перестановочными относительно закона (т, у) — хэ, являются "и4., 13) Показать, что относительно закона композиции ХэУ подмножеств произведения ЕхЕ центром служит множество (ьт) (,(д) (где Л вЂ” диагональ ЕХЕ). 14) Показать, что относительно закона компоаиции отображений Е в Е центр сводится к тождественному отобра жению. 15) Закон, заданный на множестве Е, называют идекиотсяэ~нжа, если все элементы из Е идемпотентны (и' 4) относительно этого закона, т.

е. если хТх=х для каждого хсЕ. Показать, что если закон Т на Е ассоциативен, коммутативен н идемпотептен, то огне~пение хТу=у есть отношение порядка в Е; записывая его х -..'э. покатать, что любые два элемента х, у из Е обладают верхней гранью (относительпо этого отножения порядка), равной х Ту. Обращение. 16) Пусть Š— мояокд (и' 3) п Х вЂ” устойчивое множество, порожденное непустым множеством А - Е. Показать, что если каж- дому слову и=(а,) ы; „свободного мояояда Е(Х), порождаемого множеством Х, отнести композицнзо ) (э) последовательности (и;) в Е, то определенное так отображение ) будет представлением (а'1) Е(Х) ка А. нейтгалъный, РеГуляРные. симметгичные элементы 35 й 2.

Нейтральный элемент; регулярные элементы: симметричные элементы г. Нейхпральтсый элеметстгг Опгеделение г. ггусть Т вЂ” закон композиции элементов множества Е. е б Е нова|веется нейтральным элементом относительно Т, если еТх и хТс определены и равны х для каждого х бЕ. Заданный закон Т обладает не более чем одним нейтральным елементом, ибо если е н е' — нейтральные элементы, то в=с Те' =-е'. Нейтральный элемент, если он существует, перестановочен с каждым элементом н, значит, является центральным. П р н м е р ы. 1) В множес|ее всех подмножеств множества Е с' есть нейтральный алгвмент откосптельво закона (, а Š— относительно закона Г). Более общим образом, наименьший злеыент решетки, если он существует, является нейтральным алемептом отпосвтельпо закова епр(х, у); обратно, нейтральный элемент относительно этого закова, если ов существует, является наименьшим элементом Гашетки.

Аналогично для наибольшего элемента н закона |п((х, у). 2) Число О является нейтральным элементом отпосвтельно сложения натуральных чисел, а | — относительно ях умножения. Заков (х, у) — хз не обладает нейтральным элементом. 3) Нейтральным алементом относительно закона композиции Х в У подмножеств пронзведеняя ЕХЕ служит диагональ А. Нейтральным элементом относительно закона композиции ( у отображений Е в Е является тождественное отоб>раженне Е ва Е.

4) Если е — нейтральный алемент относительно закона композиции Т элементов множества Е, то (е) — нейтральный элемент относительно аакона компоавцвн [Х, У) — Х Т У ледвножеетв ыножества Е. б) В свободном монояде Е (Л) Я 1, и' 3) пустое слово является нейтральным элементом. Если существует нейтральный элемент е относительно закона Т на множестве Е н если Р— подмножество множества Е, содер'кащее в, то в является нейтральным элементом относительно >акона, который Т индуцирует на Р.

Но может случиться, что пндуцировапный на Р закон обладает нейтральным олементом е', когда Р не содержит е плп дажо когда относительно закона Т ка Е не существует нейтрального элемента. 3х АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ СТРУКТУРЫ гл.г,1 2 Напрпмер, еслв Т вЂ” иссоцватпэпый заков на Е п ййЬ— иэемиагиент относительно Т (1 л, п' 4), то й — нейтральный элемент относительно закона, индуцированного законом Т па устойчивом множестве, образованном элемеягамп йТхТЬ, где х пробегает Г; прп этом й может в пэ быть пэйтральгым элементом отпосптеяьпо Т е й. В частности, когда Т вЂ” закон эпр (х, у) па решетке Е, э качестве ь можно взять ;побой элемент пз Е.