Бурбаки - Книга 2. Алгебра. Гл. I-III. Алгебраические структуры. Линейная и полилинейная алгебра (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 4

При этом условии можно сказать, что любая серия (ха)агл подобна (в определенном выше смысле) конечной последовательности, ибо существует вааимно однозначное возрастающее отобралсенне совершенно упорядоченного множества А на некоторый интервал (О, п1 мнолсества Н. Пусть теперь Š— множество, наделенное всюду определенным внутренним законом композиции Т . Ош'кдклкник 3. Пусть (ха)аел — серия элементов из Е. Для каждого непустого множества В С ' А (совершенно упорядоченного ИидуцнрОВаННЫМ ОТНОШЕНИЕМ ПОрядКа) КОМПОЗицисй СЕрии (Ха)а Е В (отпносительно закона Т) называется элемент из Е, обозначаемый ( ха, определяемый индукцией по числу элементов множеаев ства В следующим образом: 1' если В=Я), то Т ха=ха', аз В 2' если В состоит из р) $ элементов, () — его наименьиий элемент и В' — множество всех элементов ~ )) из В, то Т х„= аги =хаТ( Т ха) ~агв ЛЛГКБРАИЧВСКИБ СТРУКТУРЫ гл.ц) 1 22 Легко убедиться (индукцией по числу элементов множеств нядексов) в том, что композиции двух подобных серий равны; в частности, композиция произвольной серии равна композиции некоторой коночной последовательности (что позволяет при желанна ограничиться этими последними).

Когда А состоит из двух элементов, А=(Х, р) (Х < )ь), композиция) ха есть не что иное,как х1 Тх„. аЗА КОМПОЗИцИя СЕРИИ (Х )а ЗА ОтНОСИтЕЛЬНО ЗаКОНа, ОбОЗПаЧаЕ- мого .1, записывается в виде ) ха; для аддитивно обозначае- аеА лгого закона принято записывать зту композицию в виде ~~~ ха асл И НаЗЫВатЬ СРММОй СЕРИИ (Ха)азл (а Ха НаЗЫВатЬ ЧЛЕНали ЭтОй суммы); для закона, обозначаемого мультипликативно, указанную композицию записывают чащо всего в виде П ха и называют азл пРоизведением сеРии (ха)а з А (а ха называют сомножителЯми произведения) *). Если иет опасности недоразумений по поводу множества индексов (а также его структуры порядка), то врн обозначении коипозицив серии это множество часто опускают, т.

е., скажем, при аддативном обозначении закона вместо У х„пишут ~~~ ха или даже ~ х„; аьл а аналогично при других обозначениям При законе, обозначаемом Г, композиция последовательности (х,), имеющей ынон~еством своих индексов интервал (р, д) множества Х, обозначается ) х,, или Г х;, или также РЯ1НЯ З=Р хРТх 1Т ° . Т х; аналогично для законов, обозначаемых другныи символами. 3 а и е ч а и и я. 1) При ае всюду определенном внутреннем аакове Т можно ио-прежвему вводить понятие композиции серии, как в определении 3, во это определение будет иметь смысл лишь для серий, удовлетворяющих некотории условиям.

*) Однако в случае, когда х — множества, употребления етого термина в обозначения И ха следует избегать, чтобы ве получилось смешения азл с аналогичными термином и обозначением ие теории множеств. ВНУТРЕННИЕ ЗАКОНЫ КОМПОЗИС!ИИ 2) Заметим, что в определении композиции серии имеется некоторый произвол; введенная нами ивдукция действует «справа палевом композиция последовательности (хс), .с .„ явно заданных и элементов есть не что иное, как х,Т(х,Т(хз Г(...Т(х„,Тх„)...))) (л — 2 пар скобок).

Было бы также вполне законно определять композицию, действуя «слева направо» или любым другим способом (проиавольно группируя скобки); ио, как мы увидим, этот произвол исчезает в случае наиболее важных на практике ассоциативных законов. З, Ассо«4»лсстпивньсе эамоньс Опгнделение 4. Всюду определенный закон композиции (х, у) — » хТу элементов множества Е называется ассоциативным, если, каковы бы ни были элементы х, у, з из Е, (2) (х Т у) Т з =- х Т (у Т з).

Множество, наделенное структурой, определяемой ассоциативнылс всюду определенным ааконом, будет назъсваться моноидом. Очевидно, закон, противоположный ассоциативному„ассоциативен. Закон х Ту, не являющийся всюду определенным, называют иногда ассоциативным, если ассоциатнвен порождаемый им (о'1) закон композиции ХТУ подмножеств множества Е, который уже всюду определен; иногда же яе всюду определенный закон называют ассоциативным, если соотношение (2) выполнено всякий раз, когда обе его части определены (впрочем, это второе условие является следствием первого), Часть нвжеследующих результатов распространяется, с надлежащими вщ«оизменениями, иа ие всюду определенные ассоциативяые (з одном из указанных двух смыслов) заковы. П р и м е р ы. 1) Среди примеров ааконов композиции, указанных е и' 1, ассоциативны следующие: Х П У и Х () У (пример 1); х+ у и ху (пример 2); Х Уи( В (пример 4), знр (х, у) и!пг (х, у) (пример 6) Если х Т у — ассоциативный закон композиции элементов множества Е, то ХТУ есть ассоциативный закон композиции элементов множества «2 (Е).

С другой стороны, возведение натуральных чисел в степень (пример 2) ве ассоциативно; действительно, (2«)»чь2П». 2) Свободные моноиды. Пусть А — некотороемножество и Š— множество всех кане«ных последовательностей элементов из А; отношение «» и с' — подобные конечные последовательности» (в смысле и' 2), очевидно, есть отношение аквивалентности в Е; обозначим через Ь (А) фактормножество Едс, где )с — указанное гл н)з 24 АЛГЕВРАИЧЕСНИЕ СТРУНТУРЬВ отношение.

Определим на атом множестве впутренвий ааков компоэиции следующим абрагом. РассмотРвм два элемента в= (ав)за, в'=(ь )гез иэ к, где зс' з при любых зб1, уб1; и пусть л'=1'„'Х и для каждого ЬСЛ' щ=а«, если « б1, в«= Ь«, если /с б.7; мы будем говорить, что последовательность е" =(с«)„Х получена путем ариааеывамил в' к е.

Нетрудно эццеть, что если ез ш е (шоб )з), е,' ш е' (шоб В) и нриписывавве в( и е, определено, то оно дает последовательность е",ш в" (шоб )е); таким абрагом, класс (шее) )е) последовательности в' зависит лишь от классов последовательностей в и е', будем по-прежнему говорить, что он получен путем лраааеыванил класса последовательности в' к классу последовательности е; тем самым нами получек закон композиции в 1. (А).',Зтот закон всюду еаредеаея, нбо для любых двух последовательностей е = (а;); и е'=(Ь;)1 з иэ Е существует последовательность в,' такая, что е[ ш в'(шобВ) и приписывание в. к е определено (еслв Ь вЂ” наибольший алемент е 1, то достаточно рассмотреть множество индексов К, образованное песламн Ь+ [+ 1, где [пробегаету,и положит«в,'=(ь««,)«ел).

кроме того, легко проверить, что этот гаков аеевцкашпеевь Множество Х. (А), наделенное этим законом компоэицви, называется евобвднмы моночдом, порожденным множествомА, а алемепты множества 1, (А ) — ввозима, обраэоеанвыми ва элементов множества А. Воли е — луеэзее слою (класс пустой последовательности), то ел=ге=:е длн калщого слова г. В каждом непустом слове л существует одна н только одна последовательность (а,), „, множеством индексов которой служит некоторый интервал [1, л[ вэ Ы; а ваэывают длинен слова л и а часто отождествляют с последовательностью (а;).

За длину пустого слова принимают О. Основным свойством ассоциативных законов является следующая теорема, выявляющая все аначение понятия компогицин серии, определенного в и'2: ТЮОРемА 1 (теорема ассоциативности). Пусть А — непустое совершенно упорядоченное конечное множество, являющееся объединением непустых подмножеств Вз (1 < (< р) таких, что отноииния абВ,, р ЕВ1 (1 ~(()~р) влекут а(р; и пусть (ха)па А — серия элементов ив Е, имеющая А своим множеством индексов. Тогда для каждого ассоциативного закона Т, заданного на Е, имеет место формула Т~~= Г, 1 [ а ьл ЗИЗЫЯР( ае пз Внутгвннив 3АкОны композиции Теорема доказывается индукцией по числу я элементов множе- ства А.

Если я=1, то, поскольку В, непустые, необходимо р=1, я теорема очевидна. В противном случае, предполагая теорему справедливой для множеств индексов, имеющих меньше чем в элементов, рассмотрим два случая: а) В, состоит из одного элемента р. Пусть С=В,( ) В [ ~... Ц Вр. Левая часть формулы (3) есть (по определению) не что иное, как ХЗТ( Т х„), а пРаваЯ часть (по опРеДелению) — не что азс " ' иное, как хаТ( Т ( Т ха)); равенствовытекаетиз предположен- З«<У а«зд яой справедливости теоремы для С н В, Вз,..., В . б) В противном случае пусть р — наименьший элемент в А (а значит, и в В ); пусть А' — множество всех "элементов ) р ' з А, н пусть В;=А'ПВ,; так как А' состоит из п — 1 элемента, а условия теоремы выполнены для А' и его подмножеств В;, В„. ..., Вр, то, согласно предположению, Гх =(Г х )Т( Г (Т х,)).

Образуем композицию х« с каждой из частей этого равенства.. слева мы будем иметь, по определению, Г х„справа же (прна«А меняя определение ассоциативного закона) получим а это (по определению 4) есть не что иное, как правая часть фор- мулы (3). В теореме 1 содержится как частный случай формула х«ТхдТ... Тха = (х«ТхдТ - ° ° Тха д) Тха, позволяющая определять композицию конечной последовательности индукцией, действующей «слева направо» (вместо данного выше определения, действовавшего «справа налевоз); таким образом, для ассоциативного закона этн два определения эквивалентны.