Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 17

Затем надо образовать антецедентное или антецедентные знакосочетания и проверить, является ли А совершенно равновесным знакосочетаиием. Сделав это, мы придем к аналогичной задаче, но касающейся более коротких зиакосочетаний, Постепеино, шаг за шагом, мы придем к зиакосочетаниям, состоящим каждое из одного знака и допускающим тем самым непосредственное решение вопроса. Замечание. Исключая некоторые математические теории, особенно бедные аксиомами (ср. упр. 7), мы, вообще говоря, не располагаем методом, подобным предыдущему, который позволял бы узнать, является ли данное соотношение )7 теории т' теоремой в т .

Упражнения 1) Пусть 8 — множество знаков, А — слово кз Еп (8), В и С вЂ” знаменательвые сегменты слова А. То~да либо  — сегмент слова С, либо С вЂ” сегмент слова В, либо В и С не пересекаются. 2) Пусть 8 — множество знаков и пусть А — знаменательное слово из 1»(8), представимое в виде А'ВА", где В знаменательно. Предположим, что С вЂ” знаменательное слово; тогда слово А'СА" знаменательно (использовать упр. 1).

3) Пусть Š— множество, у — отображение из Е р( Е в Е (,закон внутренней композиции", см..Алгебра', гл. 1, Ц 1). Пусть 8 — множество знаков, являющееся суммой множества Е и множества, состоящего из единственного элемента у; мы полагаем и (у) = 2, и (х) = О для всякого х Е Е. а) Пусть М вЂ” множество знаменательных слов из 1»(8); показать, что существует единственное отображение о из М в Е, удовлетворяющее следующим условиям: 1) о(х) =х для всякого хр Е; 2) если А и  — два знаменательных слова.

то о(УАВ) =У(о(А), о(В) ). б) Для каждого слова А =(здз<;кп из (ч(8); пусть А' есть слово й~ ), где 㻠— индексы й такие, что з,ф.у, и расположенные »/' в порядке возрастания. Два слова А, В из Еп (8) называются подобными, если А*= В*. Показать, что если закон композиции У ассоциатквеи (т. е, если 5(У(х, у)«)=у(х, У(у, «) )), то о(А) = о (В) для двух подобных знаменательных слов („ общая теорема ассоциативности").

(Знаменательное слово А = (зг)з<,< „называется нормальным, если лг = 5 для( = О, 2, 4, ..., 2п — 2 и зг Чь У вЂ” для других индексов. Показать, что каждое знаменательное слово А подобно единственному нормальному слову А', и доказать, что о(А) =о(А'), с помощью индукции по длине слова А.) 6 4) Пусть А — терм или соотношение теории пт . Рассмотрим последовательность знакосочетаний, определенную следующим образом. Упр ПРИЛОЖЕНИЕ. ХАРАКТЕРИСТИКА тЕРМОВ И СООТНОШЕНИИ 73 ГЛ. Г.

ОПИСАНИЕ ФОРМАЛЬНОЯ МАТЕМАТИКИ Т2 Упр. Запишем сначала А; если А сводится к одной букве, то построение считается законченным. В противном случае запишем знакосочетание или знакосочетания, антецедеитные к А (если А начинается с т, то выбирается произвольно какое-нибудь одно из антецедентных зиакосочетаний). Затем запишем, если возможно, знакосочетание или знакосочетания, аитецедеитные к предыдущим знакосочетаниям, ие сводящимся к буквам.

И т. д. а) Если изменить порядок втой последовательности знакосочетаиий, то получится форматизиая конструкция. б) Пусть В в сегмент зизкосочетания А, равновесный и такой, что ни один знак из В не связан в А со знаком, не входящим в В. Показать, что В в терм или соотношение [использовать п, а) и упр. 1[. в) Заменим В в А термом (соответственно соотношением), если В есть терм (соответственно соотношение).

Показать, что полученное знакосочетание есть терм, если А — терм, н есть соотношение, если А — соотношение. 5) Пусть А — знакосочетание теории ,T, Т вЂ” терм теории ,у', к — буква. Если (Т[к) А — терм (соответствеино соотношение), то и А — терм (соответствеино соотношение). (Использовать упр. 4.) 6) Соотношение теории,7 называется логически иеприводиммм, если оио начинается с реляционного знака. Пусть Вь )гг, ..., »— различные логически неприводимые соотношения теории пт ../Хогаческой кокппрукиией над базисом Ви Вг, ..., В» называют всякую последовательность Аь Аг, ..., Ар таких формул теории т', что для каждого Аг выполняется одно из следующих условий: 1' Аг есть одно из соотношений Ви Вг, ..., В»; 2' существует знакосочетание А, предшествующее Аг и такое, что Аг есть [А; 3' существуют два энакосочетаиия А1 и Аю предшествующие Аг н такие, что Аг есть 11 А)А».

а) Показать, что знакосочетание логической конструкции иад базисом Ви Вг, ..., В» суть соотношения теории 1. Соотношение, встречающееся в логической конструкции над базисом Вь Вг, ..., В„, называется логически вострпеккам над Й~ гсг °, В» б) Если Ю и 8 логически построены над Ю„В„..., Я», то же можно утверждать и о )Ю, 'у' Ю8, фВ8..В и 8, мфф8. в) Пусть  — соотношение теории,у'. Рассмотрим последовательность соотношений, определенную следующим образом. Запишем сначала Й; если И логически неприводимо, то построение считается законченным.

В противном случае запкшем знакосочетаиие или зиакосочетании, антецедеитные к Я (оии суть вполне определенные соотношения). Ззтем запишем, если возможно, зиакосочетание или знакосочетания, апецедентиые к тем из предшествующих знакосочетаний, которые не являются логически неприводимыми, и т. д. Пусть Вь Вг, ...

...,  — различные логически неприводимые соотношения, даваемые » этим построением; назовем их логическими составляющими соотношения В Показать, что В логически построено над своими логическими составляющими, но что если из последовательности Ви Яг, ..., В» удалить хотя бы одно соотношение. то В уже не будет логически построено над оставшимися соотношениями. г) Пусть  — произвольное соотношение, а Яи Вг, ..., Ю» — рыличные логически иеприводимые соотношения, такие, что: 1' В логически построено над Ви Юг, ..., В»; 2' если удалить хотя бы одно соотношенйе из последовательности Вь Вг, ..., Вю то В уже не будет логически построено над оставшимися соотношениями.

Показать, что Ви Юг, ..., Я» суть логические составляющие соотношения В. [[ 7) Пусть Юи Вг, ..., В» — различные логически неприводимые соотношения (упр. 6) теории Т. Пусть Аи Аг, ..., Аю есть логическая конструкция над базисом Ви Аг, ..., Вю ПРЕДПОЛОжин, что каждОму А~ присвоен один из знаков О, 1. Присвоим тогда каждому Аг тоже один из знаков О, 1 по следующему правилу: 1' если Аг тождественно с Вр то А, получает тот же знак, что и А'; 2' если Аг тождественно с ) Ар где А1 предшествует Аь то Аг получает знак 1 (соответственно О), если АТ получило знак О (соответственно 1); 3' если А! тождественно с Ч АТА», то Аг получает знак 1, если Аг и Аг получили оба знак 1, и получает знако з остальиыхслучаях.

(Мы говорим, что применяется следующее, символическое правило". [ О = 1, [ 1 = О, Ч 11 = 1, Ч 16"= 161'= ТОО=а) а) Показать, что существует только один способ приписать знак иаждому Аь согласно предьгаущему правилу. б) Если В логически построено над Вь Яг, ..., В», то знак, присвоенный соотношению В, не зависит от логической конструкйии иад базисом Вь Вг, ..., Вю в которой это В встречается. в) Если В и 8 логически построены над йи Юг, ..., В» и если Д и ь В8 присвоены знаки О, то знак, присвоенный соотношению 8, есть О. г) Предположим отныне, что аксиомы теории Л даются только схемами $1 — 84.

Пусть  — теорема в Т, а Юь Аг, ..., В» — ее логические составляющие. Показать, что, каким бы способом ии приписывать один из знаков О и 1 этим Вь Вг, ..., А», соответствующий знак, полученный теоремой В, есть О [установить это сначала в случае, когда В есть аксиома в Т, затем в общем случае рассмотреть доказательство теоремы В и применить в)[. д) Пусть  †логичес неприводимое соотношение теории Д . Показать, что ни В, ни .не Я' не суть теоремы теории Д'.

В частности, Т" непротиворечива [использовать г)[. е) Пусть ВР )гг, ..., В» †различн логически иеприводимые в соотношения из у'. Рассмотрим все соотношения вида .А', или или ... или В»', где для каждого 1 Йг есть одно из двух соотношений: Яг или „ие Я~*. Пусть эти соотношения суть 8ь 8,, ..., 8р, Пусть. дзлее, Ти Т„..., Тц — соотношения вида „8 и 8, и ... и 8~,", где 1ь Тг, ..., г, — любая строго возрастающая последовательность индексов. Пусть, наконец, Т, есть соотношение Я, или (не Я,), являющееся теоремой в Т. Показать, что всякое соотношение, логически построенное над Ви Вм ..., В», эквивалентно в,у' одному и только одному из соотношений Т„ Ть ..., Тц.[Доказать сначала, что каждое соотношение В1 эквивалентно в т' одному из соотношений т„ти ..., тц( если В логически построено над Вь Вг, ..., В», рассуждать последовательно о лосической конструкций над базисом Ви Яг, ..., В», содержащей Я; для доказательства единственности использовать г).[ ж) Пусть А' — соотношение теории,у'.

а Юи Вг, ..., А» — его логические составляющие. Для того чтобы В было теоремой в,у', необходимо и достаточно, чтобы при любом способе присваивзть один из знаков О или 1 соотношениям ВР йг, .... В» соответствующий знак, получаемый соотношением Ю, был О. 1[ 6) Пусть Ви А'„..., В» — логически неприводимыесоотношения теории,7 (упр. 6). Присвоим каждому из Вг один из знаков О, 1, 2.