Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 18

Всякому соотношению из любой логической конструкции над базисом Юи Вг, ..., В» мы присваиваем тогда один из знаков О, 1, 2, согласно гл. ь опислннв аогмлльноп млтемлтики Упю 74 символическому правилу (упр. 7): !0=1, )1=о, 12=2 Ч 00 = Ч 01 = Ч 02 = Ч 10 = Ч 20 = Ч 22 = О; Ч 11=1, Ч!2=Ч 21=2. а) Если )с логически построено над Вь !гм ..., А'„, то знак, присвоенный таким образом соотношению )г, ие зависит от логической конструкции над базисом )7ь )см ..., )с„, в которой !г не встречается. б) Предположим, что аксиомы теории Т даются только схемами 82 83, 84.

Пусть )с — теорема теории Т. Показать, что, каким бы способом ни приписывать один из знаков О, 1, 2 логическим составляющим теоремы )с, соответствующий знак, получаемый теоремой В, есть О. Напротив, если Ю логически иеприводимо и получило знак 2, то знак, полученный соотношением (3 или 3) ='гЮ, есть 2. Вывести отсюда, что теория Т не эквивалентна теории, имеющей те же знаки, что и,Т, и аксиомы, основзнные на схемах 81, 82, 83, 84. в) Доказать аналогичный результат для теорий, базирующихся только на схемах 81, 83, 84 или только на схемах 81, 82, 84.

(Надо соответственно использовать следующие правила: )0=1, 11 О, ~2=2, ч 00= ч 01 = ч 10= ч 02= ч ю=о; Ч 11 =1, Ч 12= Ч 21=1, Ч Л=1; )0=1, )1=2, )2=0; Ч 00 = Ч 01 = Ч 10 = Ч 02 = Ч 20 = Ч 21 = О; Ч 11= Ч 12=1, Ч 22= 2.) г) Доказать аналогичный результат для теории, базирующейся только на схемах 81, 82, 83. (Надо использовать четыре знака О, 1, 2, 3 и следующее правило: )0=1, )1=0, ~2=3, )3=0; Ч 00 = Ч 01 = Ч 10 = Ч 02 = Ч 20 = Ч 03 = Ч 30 = Ч 23 = Ч32 = 0' Ч 11 .1, Ч 12 Ч 21 Ч 22=2, Ч 13= Ч31= Ч 33=3.) ГЛАВА П ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ В 1.

Коллективизирующие соотношения е. Теория множеств Теория множеств представляет собой теорию, в которой имеются реляционные знаки =, ~ и субстантивный знак ) (все они имеют вес 2); кроме схем 81 — 87, приведенных в гл. 1, она содержит также схему 88, которая вводится в п'6, и явные аксиомы А! (и' 3), А2 (п'5), АЗ (3 2, п'1). А4 (Э 5, п'1) и А5 (гл.

П1, 3 6, п'1). Эти явные аксиомы не содержат букв; иначе говоря, теория множеств является теорией без констант. Так как теория множеств принадлежит к числу эгалитарных теорий, то к ней применимы результаты гл. 1. Отныне, если только явно не оговаривается противное, мы будем всегда рассуждать в более сильной (гл. 1, 2 2. и' 4) теории, чем теория множеств; само же слово „теория", если явно не оговорено противное, будет означать теорию множеств.

В дальнейшем во многих случаях будет ясно, что это предположение отнюдь не необходимо, и читатель определит без труда, в какой теории. более слабой, чем теория множеств, остаются верными наши результаты. Если Т и У вЂ тер, то знакосочетание ~ ТУ есть соотношение (называемое соотношением принадлежности), обозначаемое на практике одним из следующих способов; Т~У, (Т)~((7), „Т принадлежит к 17", „Т есть элемент из У". Соотношение „не (Т~(7)" записывается как ТгГ(7. С .наивной" точки зрения многие математические объекты могут рассматриваться как собрания, или „множества, предметов.

Мы не будем пытаться формализовать ато понятие, и при формалистской интерпретации дальнейшего материала слово .множество' следует рассматривать как точный синоним слова,терм", в частности, такие фразы, как: .пусть Х есть множество", являются в принципе совершенно излишними, поскольку каждая буква есть терм; такие фразы вводятся лишь для облегчения интуитивной интерпретации текста. 2. Включение Опгвдвлвнив !.

Соотношение (1гх)((е~х) !ь(в~у)), е коггором есгпречаются только буквы х и у, записывается одним из следующих способов: х~у, улх, „х содержится е у", „у содержит х",,х есть часгль (от) у", „х есть подмножество (е) у". Соотношение „не (хе=у)' записывается как х сЕ у или уфх. Э !. КОЛЛЕКТИВИЗИРУЮЩНЕ СООТНОШЕНИЯ 16 ГЛ.

П. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ В соответствии с соглашениями, изложенными в гл. 1, 9 1, и' 1, это определение влечет за собой следующее метаматематическое правило: пусть Т и 0 — знакосочетания; если в знакосочетании хс=у заменить одновременно х на Т и у на 17, то получится знакосочетание, обозначаемое через ТсП; если обозначить через х, у произвольные буквы, отличные друг от друга и от х и у и не встречающиеся ни в Т, ни в 17, то нетрудно видеть, что знакосочетание Тсгу тождественно с (Т! »)(17)у)(» ~ к)(у~ у)(х<=у), а следовательно, согласно С88, С59 (гл. 1, Я 4, п' 1) и С55 (гл.

!. ~ 1, п' 2), с (!з!«)((« ~ Т) ~ Ф(« ~(7)), при условии, что « — буква, не встречающаяся ни в Т. ни в (7. Отныне, формулируя математическое определение, мы больше ие будем отмечать метаматематического соглашения, которое из него вытекает. С812. Пусть Т, 17, 1г — зпакосочетииия, а х — буква. Знакосочетание (ьг(х)(Тс(7) тождественно с (1г! х) Тс()7~ х)17. Это вытекает из С39 (гл. 1, 9 4, п' 1) и СБб (гл. 1, 9 1, п' 2). СР13, Если Т и (7 — термы, то Тс!7 — соотношение. Это сразу же вытекает из СР8 (гл.

1, Э 1, п' 4). Всякое соотношение вида Тсб (где Т и (7 — термы) называется соотношением включения. Отныне мы больше не будем излагать явно критерии подстановки и формативные критерии, которые должны следовать за определениями. Однако читатель заметит, что зти критерии часто будут использоваться неявно в доказательствах.

Для того чтобы доказать в теории д' соотношение хсу, достаточно, согласно С27 (гл. 1, 9 4, п' 1). доказать «~у в теории, получаемой присоединением « ~ х к аксиомам теории 1', где « — буква. отличная от х и у и от констант теории. На практике говорят: „пусть « — элемент из х' — и стараются доказать « ~ у, Пгедложение 1.

хс=х. Это предложение очевидно. Говорят, что х есть полная часть (огп) х или полпое подмножество (з) х. Пгедложение 2. (хсу и ус«)=1Р(кс«). Присоединим гипотезы хсу, ус«и и ~х. Тогда соотношения (и ~ х) ~(и ~у), (и ~ у) =~(и ~ «) верны; следовательно. соотношение и ~ «также верно. 3. Аксиома экстенсиональности Аксиомой экстепсиональности называется следующая аксиома: А1. ()у х) ( !! у) ( (х с у и у с х) )ь (х = у) ). Интуитивно, зта аксиома означает, что дза множества, имеющие одни и те же элементы, равны. Для того чтобы доказать к=у, достаточно, стало быть, докааать « ~ у в теории, получаемой присоединением гипотезы « ~ х, и « ~ к в теории, получаемой присоединением гипотезы « Е у, где « — буква, отличная от х и у и от констант.

С48. Пусть )ч — соотношение, х — буква, у — буква, отличнал от х и не встречающаяся з)с. Соотношение (кх)((»~у)ффэх) однозначно по у. В самом деле, пусть « — буква, отличная от х и не встречающаяся в лс. Присоединим гипотезы (!ух)((х~у)4=7)ч) и (!бх)((»~ ~«)фф)ч). Тогда последовательно получаются теоремы (!б»)(((»ЕУ)ффЯ) и ((х~«)~Я)), (!бх)((»ЕУ)фф(»Е«)), Ус«, «су.

Согласно А1, у=«. Это доказывает С48. 4. Коллектиеизирутощие соотношении Пусть )с — соотношение, х — буква. Если у и у' обозначают буквы, отличные от х и пе встречающиеся в зс, то соотношения Яу)(Ч «) ((» ку) Фатх) и (Лу ) (ч х) ((х Е у ) ФФЛ) тождественны согласно С88 (гл. 1, Э 4, п'1). Так определенное соотношение (которое не содержит х) обозначается символом СО!1„)с. Если СО!1„)с — теорема теории !~, то мы будем говорить, что соотношение )1! является коллектизизирующим по х в,1. В этом случае можно ввести вспомогательную константу а, отличную от х и от констант теории !)' и не встречающуюся в Тч, с помощью вводящей аксиомы (!бх)((х~а)фф)с), или — что то же самое, когда х не является константой в сТ, — с помощью аксиомы (х~ а)4=))1, С интуитивной точки зрения сказать, что й — коллективизирующее по х соотношение, значит сказать, что существует такое множество а, что объекты, обладающие свойством )х, суть з точности элементы из и Примеры.

1) Соотношение х ~ у очевидным образом является коллективизирующим по х. 2) Соотношение х(х пе является коллектизизирующим по х; иначе говоря, (не Со!1„(х(к)) есть теорема. Вудем рассуждать приведением к абсурду, предположив, что к(х есть коллективизирующее соотношение. Пусть а — вспомогательная константа, отличная от х и от констант теории, вводимая с помощью аксиомы (!бк)((х( к)~(»~а)). Тогда верно соотношение (а ( а)фф(а ~а), согласно СЗО (гл. 1, 9 4.

п' 3). Метод разделения случаев (гл. 1,9 3, и'3) показывает сначала. что соотношение а(а верно, а затем, что соотношение а~а верно, но это абсурдно. 6 Э Ь КОЛЛЕКТНВИЗИРУЮЩИЕ СООТНОШЕНИЯ 78 ГЛ Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ С49. Пусть )с — соотношение, а х — буква. Если!с является коллективиэирующим по х, то соотношение (Ех)((я~у)(фэг). где у есть буква, отличная от х и яе встречающаяся а )с, является функциональным ао у. Это сразу же вытекает из С48.

Очень часто в дальнейшем мы будем располагать теоремой вида СОП,)с. Тогда для изображения герма ту((!бх)((хну)фф)ч)), не зависящего от выбора буквы у (отличной от х и не встречающейся в )с), будет вводиться функциональный символ; мы будем использовать для этой цели символ Йэ()с); соответствующий терм не содержит х. Именно об этом терме будет идти речь, когда мы будем говорить о „множестве (всех) х, таких, что )с". По определению (гл. 1, $ 4, п' 1) соотношение (Ух)((хай„()(ь))бф)с) тождественно с СОП„)с; таким образом. соотношение 1с эквивалентно в этом случае соотношению х ц $ -()С).