Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 21

Замечания. 1) Точнее, О (Х) обозначает множество $э ((Зх) (х 6 Х и (х, у) 6 О) ). Мы теперь будем лишь изредка делать перевод определений на формальный язык. 2) Обозначения С (Х) н Г (Х) могут иногда привести к смешениям с обозначениями, которые будут введены поэлнее (ср. п" 4, „Замечание" вслед эа определением 8). как соотношение (х, у) ~ С влечет для любого множества Х; так как С (рг, С) = ргг С. Так как х ~ И есть Хс=рг,С и ХчьИ, то С(Х)~И. Пусть С вЂ” график. Так у~ргзС, то 6(Х) с рггС (х, у) ЕС влечет ха рт, С.

то теорема, то С (И) = И. Если П~едложение 2. Пусть С вЂ” график, Х и '!' — даа множества; тогда соотношение Хс='!' влечет 6(Х) с= С (У), Предложение очевидно ввиду определений и критерия С50 (8 1, и'4). Следствие. Если А ~ рг, С, то С (А) = рг С. В. Соответствие, обратное к данному соответствию Пусть 6 — график, а А = рг, 6 и В = ргг С вЂ” его проекции. Соотношение (у, х) ~С влечет (х, у) ~ В )( А; это соотношение, стало быть, обладает графиком, состоящим иэ пар (х, у), таких, что (у, х) ЕС. Опгеделение б.

Пусть С вЂ” график. График, элементами которого язляютея пары (х, у), такие, что (у, х)~6, казыааетея графиком, обратным к О, и обоэначаетея через С Опгеделение 4. Пусть С вЂ” график, х — предмет. Срезом графика С по х назыааетея множество С((х() (иногда, лопуская вольность речи, мы обозначаем его также символом 6(х)). Из С43(гл. 1, 8 5, п' 1) сразу же вытекает, что соотношение у ~ С ((х() эквивалентно (х, у) ~ О. Если С и С' — два графика, то соотношение С с С' эквивалентно, таким образом, (!!г'х)(0((х() с= с= С'((х()).

Если Г=(С, А, В) — соответствие между А и В, то для кажлого х~ А срез графика С по х называется еще срезом еоотаетегпзия Г' по х и тоже обозначается через Г((х() (или Г(х)). ГЛ. 1! ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Э $ 3. СООТВЕТСТВИЯ 89 — 1 Для всякого множества Х множество С(Х) называется полным прообразом множества Х по (относительно, при) О. — 1 -1 Очевидно, что график, обратный к С, есть С и что рг, С= рг С, -1 ргз С = рг, С.

В частности. если Х и !' — два множества, то — ! Х Х У = '1' )(Х. Мы говорим, что график С симметричен, если — 1 6=0, Пусть Г = (С, А, В) — соответствие между А и В. Так как -1 -1 — ! рг, О с В и ргзС 1= А, то тройка (С, В, А) есть соответствие между В и А, называемое соответствием, обратным к Г, — 1 -1 и обозначаемое символом Г. Для всякой части !' от В образ Г(!) — 1 множества У при соответствии Г называется еше полным прообра- зом мколсества !" при соответствии (относительно соответствия, -1 по соответствию) Г.

Ясно, что соответствие, обратное к Г, есть Г. .3. Колвпозиция двух соответствий Пусть С и С' — два графика. Обозначим через А множество рг, С, а через 0 — множество ргзО'. Соотношение „Яу)((х, у)ЕО и (у, «)~0')' влечет аа собой (х, г)~А)(С; следовательно, оно обладает графиком по х и г. Опееделение 6.

Пусть С и С' — графики. Назовем композицией графиков С' и С') и обозначил через С'оС (или иногда .через С'С) график по х и г соотношения „(1у)((х, у)~0 и (у, «)~0')". Пгедложение 3. Пусть С и С' — два графика. График, обвЂ! †! ратный к С' о О, есть О о С'. В самом леле. соотношение „(х, у) Е 6 и (у, г) Е С" эквива— 1 -1 лентно „(г, у) ЕС' и (у, х)ЕО". ПРедложение 4. Пусть С,, 01, С вЂ” графики. Тогда (С о 01) о 01 — Сз о (01 о С1).

В самом деле, соотношение (х, 1) Е (Сз о Сз) о С, эквивалентно соотношению (:-1у)((х, у)ЕС! и Яг)((у г)~01 и (г, 1)ЕСз)), ') Относительно порядка, в затором упоминаются компонируемые объекты (здесь и ниже, в определении 7), см. подстрочное примечание иа стр. 363. — Прим. рвд. а следовательно (именно. согласно СЗЗ (гл. 1, 8 4, и'3)1, и соотношению (Зу)Я«)((х, у)~С! и (у, г)Е01 и (г, 1)сСз). (1) Подобно этому, нетрудно увидеть, что соотношение (х, () ~ ~ Озо(ОзоО,) эквивалентно соотношению (:-1«)Ду)((х, у)~0! и (у, г)бС, и (г, Г)~Сз).

(2) Но мы знаем, что соотношения (1) и (2) эквивалентны. а это и доказывает предложение 4. ГРафик Сз о (0!о 0,) обозначаетсЯ чеРез Сз о Оз о Сн Аналогично, если С,, 01, Оз, 04 — гРафики, то мы полагаем 04 о (Сз о 01 о С!) С4 о Сз о Сз о С1 и Т л Пгедложение 5. Пусть С и С' — графини и А — мкозкество; тогда (С' о 6) (А) = О' (О (А)). В самом леле, в силу СЗЗ (гл. 1, 8 4, и' 3) соотношение г ~ (С' о С) (А) эквивалентно соотношению (=1у)((3х)(х~А и (х, у)~С!) и (у, г)~С'), а следовательно, и соотношению (=1у)(у~О(А) и (у, г)~0'), что и доказывает предложение. — ! Если С и С' — два графика, то рг, (О' о С) = С (рг, О') и рг (С' о С) = С' (ргз С). Для доказательства, например, второго из этих соотношений лостаточно заметить, что соотношение ар!1(0'оО) равносилыю (Эх)((х, г)~С'оО), а следовательно, н (Бу)((3х)((х, у)ЕС) и (у, г)~0'); но это последнее соотношение эквивалентно г ~С'(рг С).

Если С вЂ” график, а Х вЂ” такое множество, что Хг=рг, С, то — ! ХсС(0(Х)). В самом деле. соотношение х1-Х влечет, по пред— 1 положению. (ту)((х, у)~0); но (х, у)~С эквивалентно (у, х) ~С, тогда как, с другой стороны, (х, у)!СС влечет(1«)(г~Х и (г, у)~0); -1 следовательно. х ~ Х влечет (Ву)((1«)(г ~ Х и («, у) ~ С) и (у. х) !с 0), т.

е. х!С С(С(Х)). Ясно, что если Сзн Сю С1, Сз — графики. то соотношения 011=0 Р и С!1=С! влекут О! о С,с:Сзо Сз. Пусть теперь Г=(0, А, В) и Г'=(С', В, О) суть такие два соответствия, что область прибытия для Г тождественна с областью ГЛ. Н ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ отправления для Г'. Согласно сказанному выше, рг,(С' ~ С)срг, СсА и ргг(С'о С)срг СгсС; следовательно, можно дать следующее определение: Опгеделение 7. Пусть Г=(С, А, В) и Г'=(С', В, С) суть два соответствия, такие, что обласгпь прибытия для Г тождественна с областью отправления для Г'.

Назовем композицией соответствий Г' и Г и обозначим символом Г'оГ (а иногда Г'Г) соответствие (С'о С, А, С). Из предложения 5 сразу же вытекает, что если Х вЂ” часть множества А, то (Г'~Г)(Х)=Г'(Г(Х)). Кроме того, так кзк область — 1 -! прибытия для Г' тождественна с областью отправления для Г, то -! — 1 соответствие, обратное к 1" о Г, есть Го Г' вследствие предложения 3. Опгеделение 3. Если А — множество, то мнозкество Ьл обьектов вида (х, х) для х~ А называется диагональю произведения (или в произведении) А )( А. Ясно, что рг!Ьл = рггйл = А.

Соответствие ]ь =(аь, А, А) называется тождественным соответствием для А; оно является обратным к самому себе. Если à — соответствие между А и В, ]л — тождественное соот. ветствие для А, !в — тождественное соответствие для В, то Го1ь =: =],.Г=Г. 4. Функции Опгеделение 9. Мы говорим, что график Р есть функциональный график, если для каждого х существуеп! не более чем один обьект, соответствующий етому х относительно Р (гл. 1, 3 5, п'3). Мы говорим. что соответствие у'=(Р, А, В) есть функция, если его график Р есв!ь функциональный графин, а его область отправления А равна его области определения рг, Р. Иначе говоря, соответствие г =(Р, А, В) еснсь функция, если для каждого х, принадлежащего к области отправления А соответствия 7', соотношение (х, у) ~ Р является функциональным по у (гл.

1, Е 5, и'3); единственный предмет, соответствующий иредмету х при соответствии 7', называется значением функции 7" для элемента х из А и обозначается через 7' (х) или У„(или Р(х), илн Р ). Если 7 — функция, Р— ее график и х — элемент области определения функции 7, то соотношение у =г" (х), стало быть, эквивалентно (х, у) ~Р (гл. 1, 3 5, п'3, критерий С46). Замечание. Необходимо остерегаться путаницы, которая может возникнуть при одновременном употреблении обозначения у(х) и обозначения У(Х) (синонима к обозначению У (Х)), введенного в определении 3 (ср. упр. 11).

а 3. сООтВетстВия Пусть А и  — два множества; назовем отображением множества А в множество В функцию 7", у которой область отправления (равная области определения) равна А, а область прибытия равна В; говорят также, что такая функция оиределена на А и принимает свои значения в В. Вместо того чтобы сказать: .пусть У есть отображение А в В", часто говорят: .пусть дано отображение У: А -> В" или даже просто: „пусть у: А -+ В*.

Чтобы облегчить чтение рассуждений, гле встречается несколько отображений, мы будем пользоваться диаграммами, такими, как ехч ~! С А — + В Е, и'ВВ '! где, например, группа знаков А — + В означает, что у есть огобра- У жение А в В. Говорят еще, что функция 7", определенная в А, преобразует х в 7 (х) (для каждого х !- А), или что 7" (х) есть траксформат объекта х по (или относительно, или при) у', или (вольность речи), чтб 7" (х) есть образ обаекта х по (или относительно, или при) 7. В некоторых случаях функциональный график называется также семейством; область определения называется тогда множеством индексов, а область значений называется — как вольность речи— множеством влементов семейства. В этом-то случае и используют особенно часто индексную запись 7"„, чтобы обозначить значение функции 7 для элемента х.

Когда множество индексов есть произведение двух множеств, часто говорят. что мы имеем дело с двойным семейством. Аналогично функция, областью прибытия которой является множество Е, называется иногла семейством элементов множества Е. Когда каждый элемент из Е есть часть множества Р, то говорят также, что имеется семейство частей множества Р. В дальнейшей части трактата мы часто будем употреблять слово ,функция" вместо слов .функциональный график". 77римеры функций.

1) Пустое множество есть функциональный график; всякая функция, у которой график пустой, имеет в качестве области определения и в качестве области значений пустое множество; та из этих функций, у которой область прибытия есть пустое множество ]т. е., иначе говоря, функция (И, И, И)], называется пусто!Е функцией. 2) Пусть А — множество; тождественное соответствие для А (п' 3) есть функция, называемая тождественным отображением множества А.