Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 22

93 ь э. сООтВетстВия '92 гл. и. Теоеия множеств С каждым множеством А сопоставляется, таким образом, семейство, образованное тождественным отображением множества А; у этого семейства множество А служит множеством индексов и множеством элементов. Допуская вольность речи, иногда обозначают какое-нибудь множество словом .семейство', при этом речь идет именно о том семействе, которое ставится в соответствие рассматриваемому множеству указанным способом. Мы говорим.

что функция у постоянна, если, каковы бы -ни были х и х' в области определения функции у", всегда у(х) = у(х'). Пусть у' — отображение множества Е в множество Е. Мы говорим, что элемент х из Е инаариантгн (или неподвижен) при (или относительно, или для) у, если у(х)= х. б. Сужения и продолжения функций Мы говорим, что две функции у и е совпадают на множестве Е, если Е содержится в областях определения функций у и е и если у (х) = е (х) для каждого х ~ Е. Две функции, имеющие олин и тот же график, совпадают на их области определения. Сказать, что у = е все равно, что сказать, что у и е обладают одной и той же областью определения А, одной и той же областью прибытия В и- совпадают на А.

Пусть у =(Р, А. В) и е=(С, С, 0) суть две функции. Сказать, что Р~С все равно, что сказать, что область определения А функции у' содержится в области определения С функции е и что е совпадает с у на А. Если, кроме того, В~О, мы говорим, что е есть .продолжение функции у (или, точнее, продолжение функции у на множество С) или что е продолжает у (на С). Когда я называется семейством элементов из (), говорят также, что у есть подсемейство семейства е.

Пусть у — функция, А — часть области определения функции у'. Непосредственно очевидно, что соотношение,х ~ А и у = у (х)" обладает графиком С по х и у, что этот график функциональный и что А есть его область определения; функцию с графиком С, имеющую ту же область прибытия, что и у, называют сужением функции у" на часть А; иногда ее обозначают через у/А.

Любая функция является продолжением любого своего сужения. Если две функции у и 'д имеют одну и ту же область прибытия и совпадают на множестве Е, то их сужения на множество Е равны. 6. Определение функции перез пгерм С64. Пусть Т и А в два терма, х и у — различные буквы. Предполагается, что х не встречается в А и что у ие встречается ни в Т, ни з А.

Пусть Ю есть соотношение „х~А и у= Т". Соотношение В обладает графином Рпо буквам х иу. .Этот график функциональный; его первая проекция есть А, а его вторая проекция есть множество обьентов вида Т д я х ~А (э 1, п'6). Каково бы ни было хЕА, всегда р(х)= Т.

В самом деле, пусть  — множество объектов вида Т для я~ А. Гогда В=)ь((х, у) цА Х В); так как анакосочетание, обозначаемое через А Х В, не содержит ни х, нн у, то В допускает график Р по буквам х иу(п' 1). Ясно, что соотношение „(х, у) ~р и (х, у') ~ р" влечет у=у', следовательно, Р есть функциональный график. Остальная часть критерия очевидна. Если С вЂ” множество, содержащее множество В предметов вида Т для х~А (причем у не встречается в С), то функция (Р, А, С) записывается также в виде х -«Т(х Е А, Т~ С); соответствующее знакосочетание формальной математики не содержит ни х, ни у и не зависит от выбора буквы у, удовлетворяющей предыдущим условиям. Когда контекст достаточно прозрачен, можно довольствоваться записью х-«Т(х~А), (Т) л или х-«Т, а иногда просто Т или (Т).

'Например, можно говорить о „функции хг", если контексг указывает ясно, что речь идет об отображении х — «хг множества комплексных чисел в себя., Примеры. 1) Если у — отображение множества А в В, то функция у равна функции х-«у(х)(х~А, у(х)~сВ), которую можно записать просто как х«у(х) или же (у„)„бл (именно при использовании этого последнего обозначения и говорят особенно часто „семейство элементов" вместо „функция"). 2) Пусть С вЂ” множество пар. Функции х — «рг,х(х~С, рг,харт,С) и х-«рггх(хЕС рггхбрггС) называются соответственно первой и второй иоо рдинат ными функциями на С; их обозначают череа рг, и ргг, когда это не вызывает путаницы. 7.

Композиция двух функций. Обрапгная функция Пгедложенне 6. Если )" — отображение множества А в В, а а — отображение В в С, то е«у есть отображение А в С. Пусть Р и С вЂ” графики у и е; покажем, что С «Р есть функциональный график. Пусть х, х, г' — такие объекты, что (х, х) ~ С «Р, (х, х')~С«Р. Существуют объекты у, у', такие, что (х, у)~Р, (х, у')~Р, (у, х)~С, (у', х')ЕС. Так как Р— функциональный график, то у=у" и, следовательно, (у, х') ~ С. Так как С вЂ” функциональный график, то из сказанного вытекает, что х=х', но это доказывает наше утверждение. С другой стороны, область определения еоу, конечно, есть А, что завершает доказательство.

Функцию й«у можно записать также в виде х — «д(у(х)) (п' 6), иногда же в виде йу. ногда это не может привести к путанице. Опгедгление 1О. Пусть у' — отображение А а В. А4ы скажем. что ~' есть ииьекция, (ипе (п/есПоп), или иньгктиьног ото . ГЛ. Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ брожение, если любые дза различных злемекта из А имею!и различные образы относительно у. Мы скажем, чао У есть еюръекция, или еюрьектиакое отображение, если у'(А)= В. Мы скажем, что у есть биекция, или биектианое отображение, если У одновременно иньектизно и еюрьектиано. Вместо „У инъективно" говорят также, что «У взаимно однозначно".

Вместо,У сюръективно" говорят также, что У есть отображение множества А на В или что У есть параметрическое представление множества В посредством множества (или через множество) А (в последнем случае А называется множеством пароме!проз этого представления, а элементы из А носят название параметров).

Если у' биективно, говорят также, что у уетиназлизает взаимно однозначное соответствие между А и В илн приводит А и В зо взаимно однозначное соответствие. Биекцня множества А на А называется также перестановкой множества А. Примеры. !) Если А!=В, то отображение множества А в В, графиком которого является диагональ в А)(А, инъективно и называется каноническим отображением или канонической иньекцией (илн просто инъекцией) множества А и В. 2) Пусть А — множество.

Отображение х — ь(х, х) множества А в диагональ йл множества А )!, А есть биективное отображение, называемое диагональным отображением множества А. 3) Пусть С вЂ” множество пар. Отображение рг, (соответственно рг ) множества С в рг, С (соответственно ргаС) сюръективно; для инъективности отображения рг, необходимо и достаточно, чтобы С было функциональным графиком. 4) Пусть С вЂ” множество пар. Отображение г — ь(рта г, рг, г) мно- -1 жества С в С есть биекция (называемая канонической).

5) Пусть А — множество, Ь вЂ” объект. Отображение х — ь (х. Ь) множества А в А )( (Ь) есть бнекцня. ПРедложение 7. Пусть у' — отображение множества А з мко- -1 жестзо В. Для того чтобы У было функцией, необходимо и достаточно, чтобы отображение У было биективным. — 1 В самом деле, если У есть функция, то ее область отправления В равна ее области определения, т. е. У(А) С другой стороны, пусть х и у суть два элемента иэ А, такие, что У(х)=У(у).

Если Р— гра— 1 -1 -1 фик для У. то (У(х), х) С Р и (У(у), у) ~Р; следовательно, (У(х), у) ЕР; значит х =у. Таким образом, отображение у инъективно, а потому — ! и биективно. Обратно, если у' биективно, то сразу же ясно, что Р есть -1 функциональный график и что область определения для у равна В. Ь 3.

СООТВЕТСТВИЯ 95 — 1 Когда У биективно, У называется отображением, обрати м -1 — 1 ы к У; У биективно, У оу есть тождественное отображение множества А — 1 и у ° у есть тождественное отображение множества В. Если перестановка тождественна с обратной перестановкой, то она называетсл инволютивной. Замечание.

Пусть у — отображение множества А в В; для всякой — ! части Х множества А мы видели (п' 3), что Хг:у(у(уг)). Кроме — 1 того, для всякой части !' множества В справедливо у(у(у)) с.у: — 1 в самом деле, соотношение у чу(у(у)) эквивалентно соотношению (Зх)((3г)(гй'!' н г=у(х)) и у=у(х)), а потому влечет соотношение (3г) (гЕ'!' и у =г) и, следовательно, соотношение у Е '!'. — ! Если У вЂ” гюрьекция, то У(У(У)) = !' для всякой части Х множествз В, нбо соотношение у Е Т ~ В влечет, по предположению, соотношение (3х) (у у(х)), а следовательно, и (3х) (у й у ну = у(х)); но „уЕУ и у=у(х)" влечет (3г)(гч'!' и г=у(х)), откуда и следует наше утверждение. Если У вЂ” инъекция, то для всякой части Х множества А с — ! справедливо у (у (Х)) = Х.

действительно, соотношение х б у (у (Х)) эквивалентно соотношению у(х) Еу (Х), а следовательно, н соотношению (3г) (г Е Х и у(г) =у'(х) ); но наше предположение означает, — ! что у (г) = у (х) влечет г = х; следовательно, х Ь у (у (Х)) влечет х Е Х, 8. Ретракциа и иссеценин Пгедложение 8. Пусть У вЂ” отображение множества А а В. Если существует такое отображение г (соответственно з) множества В а А, что г о У (соответственно У о з) есть тождественное отображение множества А (соответственно В), ао У иньектизно (соответственно сюрьективно).

Обратно, если У еюрьективно, то существует такое отображение з множества В а А, что Уоз есть тождественное отображение множества В. Если У икьекаизно и А + О, то существует такое отображение г множества В з А. что гоУ есть тождественное отображение множества А. В самом деле, если существует отображение г множества В в А, такое, что гоУ есть тождественное отображение множества А, то равенство У(х)=у(у), где х!«А и у~А, влечет х=г(У(х))= = г (у (у) ) = у; следовательно, У инъективно.

Если существует отображение з множества В в множество А, тако, у е, что у'о з есть тождественное отображение множества В, то В =У(з(В))!=У(А)~В; следовательно, у' сюръективно. Если у' сюръективно, обозначим через терм т (у ~ А и У(у) = х); тогда У (Т) = х для х ~ В; если обозначить через з отображение х-ьТ(х~В, Т~А), то Уоз есть ГЛ. Н. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ тождественное отображение множества В. Наконец, предположим, что отображение у" инъективно и А+ И.