Бурбаки - Книга 1. Теория множеств (Бурбаки Н. - Начала математики), страница 20

Если г — пара, то соотношения Ду) (г = (х, у) ) и (1х)(г =(х, у) ) являются функциональными по х и у соответственно, как это сразу же следует из АЗ, Термы е (Ду)(г=(х. у))) и т ((1х)(г=(х, у))) обозначаются соответственно символами рг,г и ргаг и называются соответственно первой координатой (первой проекцией) и второй координатой (зторой проекцией) (от) г. Если г — пара, то соотношение Яу)(г =(х, у)), стало быть, эквивалентно х= рг, г, а соотношение (шх)(г=(х, у)) — у=ргег (гл. !, э" 5, п' 3). Соотношение г=(х, у) эквивалентно соотношению „г есть пара и х= рг, г и у = ргег', в самом деле. это последнее соотношение эквивалентно (Зх')(шу')(Зхя)(Зу")(г=(х', у') и г =(х, у") и г=(х", у)); согласно АЗ,,г = (х', у') и г = (х, у") и г = (х", у)" эквивалентно „г = (х, у) и х = х' и х = х" и у = у' и у = у""; следовательно, „г есть пара и х = рг, г и у = рг, г" эквивалентно.

согласно СЗЗ (гл. 1, 2 4, п' 3), г = (х, у) и Дх') (Бу') (:-1х") („=!у") (х = х' и х — — х" и у=у' и у=у"), что доказывает наше утверждение. Очевидно, что рг, (х, у) = х, рг (х, у) = у и что соотношение г = (рг, г, рг2 г) эквивалентно „г есть пара". Пусть 721х, у! — соотношение, где х и у — две различнь1е буквы, встречающиеся в А'. Пусть г — буква, отличная от х и у и не встречающаяся в )с. Обозначим череа 81г ~ соотношение (Бх)(шу)(г=(х, у) и 241х, у1); это соотношение содержит одной буквой меньше, чем )с, и эквивалентно соотношению „г есть пара и А11рг1 г, рг г(". Дело обстоит так в силу того, что г=(х, у) эквивалентно „г есть пара и х=рг,г и у=ргаг' и критериев СЗЗ (гл.

1, 2 4, п'3) и С47 (гл. 1, 2 5, п'3). Отсюда сразу же вытекает, что зс)х, у! эквивалентно $1(х, у)1. а сяедовательно, и (!г)(г=(х, у) и 8 !г~) согласно критерию С47. Это означает, что соотношение между предметами х и у можно интерпретировать как свойство пары, образуемой этими объектаии. 2. Произведение двух множеств Теогемл 1. Соотношение <ЧХ)(ЧУ)(:-!2)(1б )((г~2)фф(:-!х)(яу)(г=(, у) х~х у~У)) верно. Иначе говорю, каковы бы ни были Х и У. соотношение,г есть пара и рг,г~Х и ргегЕУ" является коллективизируюи(им по г.

В самом деле, обозначим через Аг множество предметов вида (х, у) для х~Х (ср. Э 1, п'6, критерий С53). Пусть Я есть соотношение г~ А . эквивалентное (шх)(г =(х, у) и х ~Х). Ясно, что соотношение,1гу)(БА)(1бг)()1=э(г~А)) верно в силу 35 (гл.

1, 3 4, п'2). Тогда из 58 вытекает, что соотношение (шу)(у~У и К) является коллективизирующим по г. Но это соотношение эквивалентно с Ях)(„-!у)(у~У и х~Х и г=(х, у)), а отсюда следует теорема. Опгеделение 1. Пусть даны два множества Х и У. Тогда множество $,((!х)Яу)(г =(х, у) и х~Х и у ~У)) называется произведением множеств Х и У и обозначается символом ХХУ. Соотношение г ~Х э(У эквивалентно, таким образом, соотношению „г есть пара и рг,гЕ.Х и ргзг~У". Множества Х и У называются первым и вторым множителем (или сомножителем) произведения Х Х У. Пгедложение 1.

Если А'. В' — непустме множества, то соотношение А' Э( В' с А э( В эквивалентно,А' с А и В' с В". Прежде всего соотношение г ~ А' э( В' эквиваяентно „г есть пара и рг,в~А' и ргагЕВ'"; стало быть, без каких-либо предположений об А' и В' соотношение,А' с А и В' с В" влечет А' к', В' с А э( В. С другой стороны, покажем сначаяа, что если ВчФь И (без предпояожений об А'), то соотношение А'Э(В'сАу(В влечет А' с А. Пусть х — элемент множества А', так как В' Ф И, то существует предмет у, являющийся элементом множества В', поэтому (х, у) Е А'+ В'.

откуда (х, у) ~ А э( В и, следовательно, х ~ А; это показывает, что А' с А. Аналогично можно увидеть, что ГЛ. !!. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ в з, соответствия если А'чь И, то соотношение А' Х В' г= А Х В влечет В' ~ В, откуда вытекает наше предложение. Пгедложение 2. Пусть А и  — два множества. Соотношение А Х В = И эквивалентно „А = И или В= И".

В самом деле, соотношение в~А )( В влечет рг! в~А и ргтг~ В; следовательно, А Ф И и В Ф И. Обратно, соотношение „х Е А и у ЕВ' влечет (х, у) ЕА Х В, а следовательно, и А )(В Ф Й. Иначе говоря, соотношение А Х В ~ И эквивалентно,А ~ И и В Ф И", откуда и вытекает наше предложение. Если А, В, С вЂ” множества, мы полагаем (АХ В) ХС = А)(ВХ С '); элемент ((х, у), г) из А Х В Х:С записывается также в виде (х, у, г) и называется тройкой. Аналогично, если А, В, С, П вЂ” множества, мы полагаем (АХВХС)Х В=АХ ВХСХП и т. д.') Упражнения 1) Пусть й)х, у1 — соотношение, х н у — различные буквы; пусть г — буква, отличная от х и у и не встречающаяся в )г)х, у1.

Показать, что соотношение (Вх) (Ву) й)х, у ! эквивалентно (Эг) (г есть пара и )1)рг, е, ргтг)) и что соотношение (мх) (т!гу) Ю)х. у! эквивалентно (уг) ((г есть пара) 4ь А(рг, в, рта г1). 2) а) Показать, что соотношение ( (х), (х, у) ) = ( (х ) (х у 1) эквивалентно ах= х' и у = у". б) Пусть т'ь — теория множеств, а,T, — теория, имеющая те же схемы и явные аксиомы, что н,7„зз исключением аксиомы АЗ. Показать, что если ,T! непротиворечнва, то и у'р непротиворечива (исполъзовать аЦ.

В 3. Соответствия г. Графики и соотвегнствия Опгеделение 1. Говорят, что С есть график. если каждый элемент в 6 есть нара, или, иначе говоря, если справедливо соотношение (чх) (г ЕС=>(г есть пара)). ') Употребление здесь автором знака .=* может привести к путанице, поскольку в данном контексте этот знак вовсе не есть тот реляционный специальный знак рассматриваемой вгалитарной теории, о котором сообщая лось в й 1, п'1 н ранее в гл. 1, й 1, и'1. Знак „=" в данном его употреблении относится к математике (см..Введение' ) и означает, что запись АХ ВХС мы уславливаемся использовать вместо (АХВ) ХС (т. е. для изображения того же знакосочетаниа, которое, соглзсно определению 1, изображается посредством (АХ В) Х С).

— Прим. ред. ') Элемент (иь..., и„) произведения Е, Х ... ХЕ„называется — при произвольном п — кортежем. — Прим. ред. Если 6 — график, то соотношение (х, у) ~ 6 выражается еще с помощью слов: „(объект) у соответствует (объекту) х по (илн „посредством" или „относительно") С'. Пусть )г)х, у~ — соотношение, х и у — различные буквы. Пусть б — буква, отличная от х и у и не встречающаяся в )г. Если соотношение (=10) ((г есть график и (!!гх)(!!гу) ()гфф((х, у) ~ б))) верно, то мы говорим, что )ч обладает графином по буквам [или (относительно букв) х и у). Тогда график О единствен в силу аксиомы экстенсиональности и называется графином соотношения )с' (или представляющим множеством соотношения И) по (относительно) х и у.

Пусть л буква, отличная от х и у и не встречающаяся в )г. Если соотношение (--1е') (Ух) (1!гу) (И =!ь ( (х, у) Е Е') ) верно, то )1! обладает графиком; в самом деле, достаточно принять за этот график множество таких пар и, что х~Е и Аь)рг!», рггв) (где и — буква, отличная от х. у, л и не встречающаяся в эг). Это условие выполнено, если мы внаем какой-либо терм Т, в котором ие встречаются ни х, ни у, и притом такой, что верно )г=?ь((х, у) ~ Т). Пгедложение 1. Пусть С вЂ” графшс. Существуют единственное множество А и единственное множество В, удовлетворяющие следующим условиям: 1) соотношение Ду)((х, у) ~С). эквивалент но соотношению х Е А; 2) соотношение (3х) ((х. у) ~ С) эквивалентно соотношению у ~ В '). В самом деле, достаточно принять за множество А (соответственно за В) множество объектов вида рг, г (соответственно вида рггг) для ХЕ С (8 1, п' б); говоря точнее, А'=$„((Ву)((х.

у)~6)) и В =З! ((Зх)((х, у)Е6)) ~; ') Эта формулировка доставляет наглядный пример того .двусмысленного стиля" Бурбаки, о котором говорилось нз стр. 8 — 9. Ее можно истолковывать двояко: как содержательное утверждение .наивной теории множеств" о существовании и единственности двух множеств с определенными свойствами и как образованную в соответствии со сделанными ранее соглашениями словесную запись некоторого знакосочетания (прнчем — поскольку эта запись идет вслед за словом .предложение" — утверждается, что соответствующее зиакосочетзние есть теорема рассматриваемой теории).— Прим. ред. ') Знак равенства может пониматься здесь в одном из следующих двух смыслов: !) кзк знак исследуемой эгалитарной теории; в таком случае А н В следует рассматривать как вспомогательные константы (см. б 1, п'4 и гл.

1, й 3, п'3), вводимые соотношениями (ь); 2) как метаматематический знак (см. ГЛ. !! ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ г 4 Э. СООТВЕТСТВИЯ йт эти множества называются соответственно первой и второй проекцией графика С или областью определения и областью значений графика С; онн обозначаются через рг,(6) и ргг(С) (или через рг, С и рг С, когда это не приводит к путанице). Нетрудно видеть, что С с=(рг, 0) )((рггС): всякое множество пар есть, таким образом, часть некоторого произведения, и обратно. Поэтому, если одно из двух множеств рг, С, ргг С пусто, то С = И (3 2, предложение 2). Замечание. Соотношение х = у не обладает графиком, нбо первая проекция этого графика, если бы он существовал, была бы множеством всех объектов (ср.

6 1, и' 7, .Замечание' ). Опгеделение 2. Соотаететэием между множеством А и множеством В назыааетея тройка Г=(6, А, В) '), где С— график, такой, что рг,0 с А и рггС с В. Мы говорим, что С есть график еоотзететзия 1', А — область отправления и В— область прибытия соответствия. Если (х, у) ~ С, мы говорим, что,(объект) у соответствует (объекту) х при соответствии (по, согласно соответствию, посредством, в силу соответствия) Г'. Для всякого х~ргг0 мы говорим, что соответствие Г определено для предмета х, а рг, С называем областью определения соответствия Г; для всякого у~рггО мы говорим, что у есть значение, принимаемое соответствие.и Г, .а рггС называем областью значений еоогпэететэия Г. Если Ю(х, у( — соотношение, обладающее графиком 6 (по буквам х н у), и если А и  — два множества, такие, что рг, 6 с= А н рг,6 с В, го мы говорим, что Ю есть соотношение между элементом множества А и элементом множества В (относнтельно букв х н у). Мы говорим, что соответствие Г = (6, А, В) есть соответствие между А и В, определяемое соотношением Ю (по х и у).

Пусть С вЂ” график и Х вЂ” множество. Соотношение „х~Х и (х, у) ЕС влечет (х, у)~ О и, следовательно, обладает графиком 6'. Вторая проекция этого С', очевидно, состоит из всех объектов, которые соответствуют относительно графика С объектам из Х. Опгеделение 3. Пусть С вЂ” график и Х вЂ” множество. Множество обьектоз, которые соответствуют элементам множеетза Х относительно графина С, яазызаетея образом примечание на стр. 84), при помощи которого энакосочетанна Е„((Зу)((х, у) 6 0)) н Оэ((йх) ((х, У)60)) УславливаютсЯ (быть может, вРеменно) изобРажать посрелством А и В (предвосхнщая тем самым соглашение о прекращении использования полужирных курснвных букв, которое будет сделано в первом абзаце э 6).

— Прим. ред. ') Знак равенства употреблен здесь в математическом смысле (см. примечание на стр. 84), означающем, что тройка (6, А, В) обозначается здесь через Г. Аналогичные случаи математического употребления знака равенства, а также случаи двусмысленного его употребления (см. предыдущее примечание) будут встречаться и впредь, н мы не будем больше их оговаривать.— .Прим. ред. множества Х по графину С (или относительно графика С или при графике С) и обозначается через С(Х) или С(Х). Пусть Г=(С, А, В) — соответствие, а Х вЂ” часть мкожеетза А. Множество С(Х) обозначаетея еще через Г(Х) или Г(Х) и назызаетея образом части Х по соответствию (или относительно соответствия или при соответствии) Г.