Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 75

К ползуну присоединена пружина жесткости с, другой копен которой закреплен неподвижно. Определить частоты мзлых колебаний системы. / Ответ: Искомые частоты с ж о являются корнями уравнения ~ Ч + — '8=0. 64З (1303). Два одинаковых К задаче 54 4, физических маятника подвешены на параллельных горизонтальных осях, расположенных в одной горизонтальной плоскости, и связаны упругой пружиной, длина которои в ненапряженном состоянии равнз расстоянию между осямн маятников. Пренебрегая сопротивлениями движению и массой пружины, определить чзстоты и отношения амплитуд главных колебаний системы прч малых углах отклонения от равновесного положения. Вес каждо4 о маятника Р; радиус инерции его относительно оси, проходящей через нентр тяжести параллельно оси подвеся, р; жесткость пружины с; расстояния от центра тяжести мзятника и от точки прикрепления пружины к маятникам до 4 оси подвеса рваны соответственно 7 и (4. (См, чертеж к задаче 54.4.) (Р(+2саа) 6 д 4 4 з са 64.9 (1306).

Однородный стержень АВ длиНОй Е ПОДВЕШЕН ПРИ ПОМОШИ НИТИ ДЛИНОИ К задаче 549. 7= 0,5Е к неподвижной точке. Пренебрегая массой нити, определить частогы главных колебаний системы и найти отношение отклонений стержня и нити от вертикали при первом и втором главных колебаниях. Ответ: 744=0,077':~/ (; е4=2,558 )/ (; в первом главном колебании ва = 0,8473ь во втором уа = — 1,180(за, где 74 и (за — амплитуды углов, составляемых нитью и стержнем с вертикалью.

64.10 (1306). Предполагая в предыдущей задаче, что длина нити весьма велика по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения Е('(, определить отношение низшей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний математического маятника длиной А ! Ответ: 1 — — —, 4 54.11 (1307). Считая в вадаче 54.9, что длина нити весьма мала по сравнению с длиной стержня, и пренебрегая квадратом отношения 4!1., определить отношение нившей частоты свободных колебаний системы к частоте колебаний фиаического маятника, если ось вращения поместить в конце У стержня.

9 О~лает: 1 — — —. !б Ь' 4 54.12. Определить частоты главных колебаний / двойного математического маятника при условии, с что массы грузов М, и М, соответственно равны т, и т„ОМ1=1„М1М4=1„а к груду М, присоединена пружина, массой которой можно пренесд бречь. Длина пружины в ненапряженном состоя- нии равна 1е, жесткость пружины с. 44$е 0 . лз л)+л,' т- У(л! — лз)з-)-4лзл(тз„ и задаче 44.1З. з !Лз +Лаз) И+с!1 „Д а, здз - где л,'= ' ', ",= —, уж — — + 54.13 (1309). Лвойной фивический маятник состоит ив однородного прямолинейного стержня О,Оз длиной 2а и весом Рп вращающегося вокруг неподвижной горивонтальной оси О„и ив однородного прямолинейного стержня АВ весом Р„шарнирно соединенного в своем центре тяжести с концом О, первого стержня.

Определить движение системы, если в начальный момент стержень 010з отклонен на угол зр, от вертикали, а стержень АВ ванимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость юе. 01леч.'лс чр =чае соя ~~' 4 р зр — 1! ф=О)ег где ф — )1ол обра I ЗР+2рз я 4 Р,+Зрз а вуемый стержнем АВ с вертикальным направлением, 42 49 К задаче 54.13. К задаче 54.14, 54.14. Стержень АВ весом Р подвешен ва концы А и В к потолку ' на двух одинаковых невесомых и нерастяжимых нитях длины а.

К стержню АВ подвешена на двух одинаковых невесомых и нерастяжимых нитях длины Ь балка СО весом О. Предполагая, что колебания происходят в вертикальной плоскости, найти частоты главных колебаний. К ЭЛ!аяс ас,!а 423 л',+л, 'ж У(л( — л3)я+4л)л(т,',, с 2 (! — у'„) а' = Ь "=Р+0 64.16 (1312). Исследовать колебания железнодорожного вагона в его средкей вертикальной плоскости, если вес подрессоренной части вагона О, расстояния центра тяжести от вертикальных плоскостей, проведенных через оси, )т=ся=/; радиус инерции относительно центральной оси, параллельной осям вагона, р; жесткость рессор для обеих осев одинакова: с, = = са=с. О(авели ж= А а!п ()1,(+ сс), ф= = В ып ()!я!+ р), где х — вертикальное смещение центра тяжести вагона, ф — угол, образуемый полом вагона с горизонтом; А, В, а, р — по- / 2ся / 2ся!а стоянные интегрирования; Ат="1/ †' )са=- 1/ †.

'=1/ 0Р 64Л6. Исследовать малые свободные колебания груженой платформы весом Р, опирающейся в точках А и В на две рессоры одинаковои жесткости с. Центр тяжести С платформы с грузом находится на пря- л мои АВ, причем АС=а и СВ=Ь. Платформа выведена из положения С равновесия путем сообщения центру тяжести начальнон скорости пс, направ- Р ленной вертикально вниз без начального отклонения. Массы рессор и силы трения не учитывать.

Момент инерции платформы относительно горизонтальнои поперечной оси, проходящей через центр тяжести платформы, равен ус=0,1 (аа+Ьа) —.Колебания про- 2 в исходят в вертикальнои плоскости, За обобщенные координаты пРинять: у — отклонение центра тяжести от положения равновесия вниз, ф — угол поворота платформы вокруг центра тяжести. Олтвелж у= "' ~ — а!плт! — — 'а!пйа!), =),х,(Ь, ° Яф, солт / 1 1 ф = — ( — а!и Ат! — — а!и )гя!), а, (Ьт йа Яя )); = — ф~ (! ~ )// 1 — 0,278 —,~, ), Р Р 2с — й'„ 2с — — й1 с(Ь вЂ” а) ' с(Ь вЂ” а) 54.17 (1308), Платформа тележки опирается в точках А и В нз две рессоры одинзковой жесткости с, расстояние между осями рессор АВ=6 центр тяжести С платформы расположен нз прямой АВ, являющейся осью симметрии платформы, на расстоянии АС=а=ВЗ от точки А (см.

чертеж к задаче 64.!6). Радиус инерции платформы относительно оси, проходящей через ее центр тяжести перпендикулярно к прямой АВ и лежащей в плоскости платформы, принять равным 0,21; вес платформы равен Я. Найти малые колебания платформы, возникающие под действием удара, приложенного в центре тяжести платформы перпендикулярно к ее плоскости. Импульс удара равен Ю. Ответ: Пусть а — вертикальное смешение центра тяжести платформы, (р — угол поворота ее вокруг оси, указанной в условии задачи (та и другая координаты отсчитываются от положения равновесия центра тяжести плагформы); найдем: л=)/ -~--о ~0 738 з!п 1,330ф/ -'-г+000496 ып 3 758 )дд ей Г)( рв= Ъг(-6 В О 509 юп 1 330 1/ Яй 1 — О ! 80 ып 3 758 1~~!). 54.18. Лве одинаковые материальные точки А!т и М весом О каждая прикреплены симметрично на равных расстояниях от концод к на(янутой нити, имеющей длину 2(а+Ь); на(яжение нити равно р.

Определить частоты главных колем баний и найти главные координаты. 1Хр 1Хд 1 — — т — — — - —, Г рй е га е ! Ответ: лт=1гд —, =Р' 0 к ваддче ь .(а. с "= 1~'- ~-+ ь1- д~ +ь! ! ! Главные координаты: 6( — — 2 (ха+ха) ба= 2 (ха хд). 64.19 (1314). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки, колеблющейся около положения равновесия на гладкой поверхности, обращенной вогнутой стороной кверху; главные радиусы кривизны поверхности в точке, отвечающей положению равновесия, равны рт и ра.

Ответ: лд= ~/ —: дгз= р' / д 54.20 (1315). Определить частоты малых колебаний тяжелой материальной точки около ее положения равновесия, совпадающего с наиболее низкой точкой поверхности, вращающейся с постоянной угловой скоростью ч( вокруг вертвкальной оси, проходящей через агу точку.

Главные радиусы кривизны поверхности в ее наинизаей точке р, и р,. Ответ: Частоты малых колебаний являются корнями уравнения й ~Ъ»+8+6~да+( * — й-)~м — — ''~=О. 64.21 (1316). Круглый однородный диск радиуса г и массы М связан шарниром со стержнем ОА длины 1, могущим поворачиваться около неподвижной горивонтальной оси.

На окружности диска закреплена материальная точка В массы т. Определить часготы свободных колебании системы. Массой стержня пренебречь. Диск может вращаться в плоскости колебаний стержня ОА. Ответ: Частоты свободных колебаний являются корнями уравнения Ь вЂ” — 41+2 — — 1 — Ь— М+т Г . т ~-~-П я 2т(М+т) — — =О. М+Зт~ М г (д 1 М(М+Зт) (г 64.22. На проволочную окружность радиуса К плоскость которои горизонтальна, наде4ы два одинаковых колечка, соединенные пружинон жесткости с, имеющей в не-. напряженном состоянии длину 1в К эадаче а4.22.

К эадаче Ь4.24. Определить движение колечек, приняв их аа материальные точки массы т, если в начальныя момент расстояние между ними равнялось 1) 1„а начальная скорость равнялась нулю. Ответ еуд=~(1,— соа124 — 1), 4у =2а+~(1+сов ф' — с(), 1 . 1 — 1 а = агса)п — -, р'= агса( п —. 214' 214 64.23.

Определить малые колебания математического маятника длиною 1 и весом Р„подвешенного к вертикально движущемуся ползуну А веса Р„прикрепленному к пружине жесткости с. Ползун при своем дви- (д женин испытывает сопротивление, пропорциональное его скорости (Ь вЂ” коэффициент пропорциональности). Найти условия, при которых в случае Ь=О главные частоты данной системы будут равны между собой. Ответ: 1) ж=Аде ~га(п()/Ь,' — Ь21.+ад), 42=Ада(п(Ь21+аэ), где Ад, А, ад, а,— посгоянные интегрирования, 2(Рд -ь Ра) д Р Рд+ Рэ 2) Главные частоты будут одинаковы (при Ь=О), если Ра+Рв 54.24. Два одинаковых жестких стержня длины й имеют общую точку подвеса О.

Стержни могут вращаться в вертикальной плоскости вокруг точки подвеса независимо друг от друга. К концам стержней прикреплены два одинаковых груза А и В весом Р каждый, соединенные между собой пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии равна !е. Пренебрегая весом стержней, найти уравнение для определения частот главных колебаний около устойчивого положения равновесия грузов. Ответ: йв — (и,'+ л2) Ав+лтла — узам =О; 1 44 1+сшв «в4с +Рсоа а, 1Я' 1' РК мпв «42 у2 = — ! сйасоа" а+ — — 1 14 Рава 2 сваг ! Г Р гг=агсз1п — ° а1~аходится ив уравнения У«=4~1+ с )' 4Ю вЂ” 1в! 54.25 (1317).