Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 71

считая, что вращение последнего происходит вокруг поступательно перемещающейся оси, проходящей череа его центр масс. Ось вращения маховика совпадает с осью вращения аппарата; У и .та — моменты инерции маховика и аппарата (вместе с маховиком) относительно общей оси вращения, Оррраврэ. А о ° о - ° Ьао (,Р— 0 — 2 Р о б1.10. Считая, что статор электромотора системы, описанной в вадаче 51.9, создает вращающий момент Мар — — Мо — дар, где М, и к — некоторые положительные постоянные, найти условие, необходимое для того, чтобы торможение вращения космического аппарата проиаошло ва конечное время, Предполагая, что это условие выполнено, определить время Т торможения.

Ответ: Мо)а(4 —.1)Яь Т= — 1п ' ' „где , рИ, о У "Р(йо 0' 51.!1. Определить угол ф, на который повернется космический аппарат аа время торможения вращения, если оно осуществляется способами, описанными в вадачах 51.9 и 51.10. Яо Мо — а (ро — У) Яо Орлвет: ф — ' ', ' '1п М, а' (Уо — Р) Мо — а (Ро — 0 "о ' 51.12. Лля поворота корпуса космического аппарата испольвуется электродвигатель-маховик, уравнение движения которого на вращающемся аппарате имеет вид и + ор,рТ = и, где и — относительная угловая 898 скорость маховика, Т вЂ” его постоянная времени, и-управляющ напряжение, принимающее значения,.+:и. Определить длительность гт разгона (и=и,) и торможения гя(д = — и,) маховика, если первоначально невращающийся корпус при неподвижном маховике требуется повернуть на заданныи угол и остановить.

Ось вращения маховика проходит через центр масс космического аппарата; движение считать плоским. Моменты инерции маховика и аппарата относительно общеп оси вращения соответственно равны .I и .lа. о °: ь — +т ~ И -~~ г:=*ч. 1а=Т1п(1+)/1 — е — ~г) где т ~~'Р ы т' ГЛАВА Х!!! УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ СИСТЕМЫ, ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ, УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ 6 62. Определение условий равновесия системы.

Устойчивость равновесия 62.1 !1 162). Ось вращения АВ прямоугольной пластины наклонена под углом в к вертикали. Определить момент сил Я относительно оси АВ, который нужно приложить к пластине для ее поворота на угол О. Вес пластины Р; расстояние от центра тяжести О пластины до оси АВ равно а. Ответ: М = Ра з!и за!п 0.

к заяачс аал. к заааче аал, 62.2 (1168). Шарнирный шестиугольник, состояший из шести равных однородных стержней весом р каждый, расположен в вертикальной плоскости, Верхняя сторона шестиугольника АВ неподвижно закреплена в горизонтальном положении; остальные стороны расположены симметрично по отношению к вертикали, проходяшей через середину АВ, Определить, какую вертикальную силу О надо приложить в середине горизонтальной стороны, противоположной АВ, для того чтобы система находилась в безразличном равновесии, Ответ: !я'= Зр.

400 62.3 (1164). Е однородному стержню АВ длиной 2а и весом О, подвешенному на двух нитях длиной ! каждая, приложена пара сил с моментом .М. Точки подвеса нитей, расположенные на одной горизонтали, находятся на расстоянии 2Ь друг от друга. Найти угол Ь, определяющий положение равновесия стержня. Огпвет: В положении равновесия угол Ь находится из уравнения М )/ Тз — (а — Ь)' — 4айз!п —, = лайз!пЬ. 2 62А (1166). !1рямолннейный однородный стержень АВ длиной 2! упирается нижним концом А в вертикальную стену, составляя с ней угол ч>.

Стержень опирается также на гвоздь С, параллельный стене. ~"'. зе — — а'а— с >2 К зада~е 52.3. К задаче 52.Е К задаче 52,$. и, наконец, в третьем положении равновесия 1 ! у>=уз=О, х>= 2 (Š— 2) ле= 2 (Е+2). К задаче 525. 62.7 (1168). Концы однородного весомого стержня длиной 1 могут скользить без трения по кривой, заданной уравнением у(х, у)=0. 40! Гвоздь отстоит от стены на расстоянии а.

Определить угол в по ложе ни и р а вно вес и я стержня. дав /а Ответ: 5!пе>= 2> —. У ! 62.6 (1166). На гладкий цилиндр радиуса г опираются два однородных весомых стержня, соединенных шарниром А. Длина каждого стержня равна 2а. Определи~ь угол 26 раствора стержне, соответс>вующий положению равновесия. Отвелп Угол Ь определяется из уравнения а !626 — г !626 — г= О. БХ6 (1167).

На нсрастяжимой нити, перекинутой через бесконечно малый блок, висит невесомый стержень, к концам которого прикреплены грузы Р, и Ре. Длина стержня Е данна нити Е. Определить У положения равновесия системы. Одпвелт: В одном положении равновесия ОЛ В а=!) и — '= —,'; в другом положении рзвновесия з 1 ! уз=уз=О, дг> — — 2 (6+1), хз= 2 (Š— 1)з Р Определить положения равновесия стержня (Ось у направлена по вертикали вверх, ось х — по горизонтали вправо,) Ответ: Координаты концов стержня, отвечзющие положениям равновесия, будут решениями системы (х,— х,)'+(у,— ув)в — Р=О„У(хь у,)=0, Дхь ух)=0, 2 (у, — у,) — — = (хх — хг) !! — а — + — — !. дУ дУ Г дУ дУ дУ д/т дл; дх, (дх, у, ду,дх,)' 62.8 (1169). Однородный весомый стержень длиной 7 может скользить своими концами без трения по параболе у=ахв.

Опреде- лить возможные положения равновесия, (Ось у направлена по верти- кали вверх, ось х — по горизонтали впрзво.) Ответ: Первое положение равновесия: 1 !в Ха — — — хв= ч., ув=ув=а-д-, Второе положение равновесия со с=~ а! по формулам 1 Хг= — е 1 в определяется нз уравнения ! 1 ! ув=4— е хв= — е ув= -в! 1 % 4а ' 2а 4а 62.9 (1 170). Решить зздачу 62.7 в предположении, что кривая является эллипсом (7(х, у)= †, + †, — 1 =О), а длина стержня удовлетворяет условию 1( 2а. Определить возможные положения равновесия стержня. У к в з в н н с. Вместо декартовых координат следует ввести координату т (знсцентрнчесную аномалию) с помощью соотношений х = асов 0 у = ь мп ч. Ответ: Положения равновесия отвечают значениям энсцентрических аномалий, определяемым из уравнений: .Г! а) рв=2н — Рь а!прв= 1,' — (сУшествУет пРи ! =2ф, б) а!п — = у —, сов —,= 2а (существует при Фв — % в ! тв+тв 2 г' 2а' 1 —— а, У к а з а н и е.

Положение колечка А следует характеризовать центральным углом т= ~ВОА. Надо отдельно рассматривать равновесие колечка на верхней н нижней полуокружностлх. 402 а) Ь н 1(2а). 62.10 (1171). По гладкому проволочному кольцу радиуса )с, расположенному в вертикальной плоскости, может ' скользить без трения колечко А. К этому колечку на нити подвешен груз весом Р; другая нить, перекинутая через ничтожно малый блок 8, расположенный на конце горизонтального диаметра большого кольца, имеет на конце С другой груз весом Я. Определить положения равновесия нолечка А и исследовать, какие из них устойчивы, кзкие нет. Ответ: На верхней полуокружности (О (у (к) при любых значениях Св(Р существует положение неустойчивого равновесия з!и-= 41 у —;,+8 — — 1, причем 0(<~ес я(2.

на нижней полуаокружности (к(р(2и) при Я(Р =-1 существует положение устойчивого равновесия з. ь - -'( ф' з' Ч. з .1. '~, Зз причем к( ре( —,. К задаче 52.11 403 52Л! (!172). Однородная квадратная пластинка может вращаться в вертикальной плоскости около оси, проходящей через угол О; вес пластинки Р, длина ее стороны а.

К углу А пла- К задаче 22 Ю, стинки привязана нить длиной (, перекинутая через малый блок В, отстоящий на расстоянии а по вертикали от точки О. На нити висит груз веса Я=-~- Р. Определить у'л положения равновесия системы н исследовать их устойчивость. В Олгввт: Положения рзвновесия отвечзют следующим значениям угла (л ф1 = и(б, фа — к(2, ра=3к(2. Второе и третье положениа равновесия устойчивы.

0 Ф Б2.12 (1173). Однородный весомый стержень АВ длиной 2а опирается на криволинейную на- 4 прзвляюшую, имеюшу1о форму полуокружности з радиуса й. Определить, пренебрегая трением, положение равновесия и исследовать его устойчивость. Ответ: В положении равновесия стержень наклонен к горизонтальной линии под углом пе, определяемым из уравнения соз уе — — — [а + К' а'+ 32йз1 [предполагается, что 1 — Я(а(2Я), Это по- 3 ложение равновесия устойчиво. 62ЛЗ (1174). Подъемный мост ОА схематически изображен на чертеже в виде однородной пластины весом Р и длиной 2а, К середине края кзалачегалх плзстины прикреплен канат длиной 1, перекинутый через малый блок, лежащий на вертикали на расстоянии 2а над точкой О. Другой конец С каната соединен с противовесом, скользящим без трения по криволинейной направляющей, Определить форму этой направляющей и вес противовеса О так, чтобы система находилась в безразличном равновесии.

При горизонтальном положении моста противовес С находится на прямой ОВ. В Отвели О ==. уравнение направляющей Р 1'2 ' в полярных координатах г, бч / Р гз = 2 (а — 2 )Г2 а соз б) г + 4 )7 2 а1 — зч — Заз. ае — — о а 62.14 (1176). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия «обрак д тлз. щенного» двойного маятника, изображенного на чертеже. Маятник может быть схематизирован в виде двух материальных точек масс тт и тм связанных стержнями длиной 12 и 12.

В вертикальном положении равновесия пружины (жесткосги их с, и еД не напряжены. 12 с Ответ: Условия устойчивости з имеют вид К задаче 52 15. К задаче 52.!Е, 4Ь, второго ЗЬ и третьего 2Ь. М пружин одинаковы н соответственн прикрепления пружин от центров 12 11 К задаче 52,17. К задаче 52.15, стержне ОМ, свободно проходящем и шарнирно соединенном в точке А около оси Ом Длина коромысла сз'1) зиье; 1(11+ ез) язв — (та+та)е) (гД вЂ” тза)) 511112.

62.16 (1176). Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия системы маятников, изображенной на чертеже; длина стержня первого маятника ассы всех маятников и жесткости о равны т и с. Расстояния точек тяжести масс равны И. Массой стержнеи пренебречь, а массы «з рассматривать как материальные точки; когда маятники находятся в вертикальном положении, пружины не напряжены. Ответ: Условия устойчивости имеют вид 1З«Ь2 — 4теЬ О; 495'Ье — 59тееЬз + 12гнзааЬ2 '-» О; ЗбезЬз — 153теезЬ5+ + 130тзеееЬ« — 24тзблЬз) О. 62.16 (1177).