Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 73

Покавать, что пря е Ра маятник, рассмотренный в предыдущей аадаче, будет иметь не менее трех положений равновесия. Найти также период малых колебаний. Ответ: При ф = 0 неустойчивое положение равновесия, Устойчивые положения равновесия будут при ф=фа)0, ф> фо(0> с где ф,— корень уравнения юпф= — ф. Ра Т=2п офо Ра соа фо рйфо — >Го) ' 63.22 (1263).

Стержень ОА маятника при помощи шатуна АВ соединен с маленькой стальной рессорой ЕВ жесткостя с. В ненапряженном состоянии рессора аанимает положение ЕВ;, известно, что к рессоре нужно приложить силу Рм направленную по ОВ, чтобы привести ее в положение ЕВ„соответствующее равновесию маятника; ОА=АВ=а; массой стержней пренебрегаем; расстояние пентра тяжести маятника от оси вращения ОС=?; вес маятника О. С мелью достижения наилучшего ваохронвама (невависимость периода колебаний от угла первоначального отклонения) свстема отрегулирована так, чтобы в уравнении движения маятника ф=йф) = — ))ф+". первый иа отброшенных членов был порядка фа. Установить, какая вависимость к зацаче 53.22. должна для этого иметь место между постояннымв О, Ра, е, а, 1, и вычислить период малых колебаний маятника. Ответ: Ф вЂ” 2аРо — — 12аае; Т=2и 1,>— Г1 63.23 (1264).

Показать, что прв условии предыдущей вадачи увеличение периода колебаний при отклонениях маятника от положения равновесия на угол фа=45' не превышает 0,4~. Каково будет при этих условвях изменение периода простого маятника? Ответ: Сохраняя в уравнении движения маятника член ф', получим Т 2 )>> — ~1+Я); (~! 41! для простого маятника при отклонении на угол 45' изменение периода составляет 4»г», 53.24 (1265). При условиях задачи 53.22 маятник отрегулирован так, что СиЕ= 2аРь Найти период малых колебаний маятника при отклонении его от положениЯ РавновесиЯ на Угол 7» 1 Ответ: Т = — )/ — ~ = 5,24 — ~/ —, о 63.26 (1266).

В маятнике паллографа груз М маятника повешен на стержне, свободно проходящем через вращающийся цилиндрик О и шарнирно соединенном в точке А с коромыслом АОь качающимся вокруг неподвижной оси Оь При каком условии вертикальное положение стержня ОМ маятника будет положением устойчивого равновесия? Найти период малых колебаний маятника около этого положения, Размерами груза и весом стержней пренебречь. (Размеры стержней указаны на чертеже к задаче 52.16.) Отвея: Ь вЂ” г с" 'к' г1; Т = 2« (Ь вЂ” г + I) )гг — (д — г)»]л' 63.26 (1267).

Пренебрегая массой стержней, найти период малых колебаний маятника, изображенного на чертеже, Пентр тяжести груза находится на продолжении шатуна шарнирного четырехзвенника ОАВО1 прямолйнейно-направляющего механизма, В положении равновесия стержни ОА и ВС вертикальны, шержень О,В горизонтален: ОА = =АВ=а; АС=а. г Ответ: Т = 2я »+а , ° )' й(» — а) 63.27 (1268). Определить период колебания груза весом Р, подвешенного на пружине с закрепленным к»»двч»»з.»». верхним концом, если коэффициент жесткости пружины равен с, вес пружины Р».

в/ Р+, Р» Ответе Т=2я~' »я 63.28 (1269). На нижнем конце вертикального цилиндрического упругого стержня с закрепленным верхним концом прикреплен в своем центре горизонтальный диск с моментом инерции е относительно вертикальной оси, проходянгей через центр; момент инерции стержня относительно его оси равен ./»', коэффициент жесткости стержня при закручивании, т. е.

момент,, необходимый для ззкручивания нижнего конца стержня на один радиан, равен с. Определить период колебаний системы. 1 1 г+ ° 7» 3 Ответ: Т = 2я в » 63.29 (1270). Груз весом Я укреплен посредине балки, свободно опертой на концах; длина балки 1, момент инерции поперечного сече- 412 ния У, модуль упругости материала Е. Определить, пренебрегая весом балки, число колебаний, совершаемых грузом в минуту. и Ответ: и= 2080 1. —, причем за единицу длины принят сантиметр.

у 0га' 53.30 (1271). Грув весом О укреплен посредине свободно опертой на концах балки; длина балки 1, момент инерции ее поперечного сечения У, модуль упругости материала Е, вес балки Он Определить (приближенно) число свободных колебаний, совершаемых грувом в минуту. Е/ Ответи л=2080 ., причем аа единицу длины при- ~+ 35) ият сантиметр. 63.31 (1272). Подмоторный груз прямоугольного сечения нагружен посередине грузом О=600 кГ и оперт концами.

Момент инерции поперечного сечения бруса а'= 210 сма, его погонный вес о = 11 кГ)м, длина 1= 200 см; модуль упругости материала бруса Е= 2 1Оа кГ/сма. Определить частоту колебаний бруса с учетом и без учета его массы. Ответ; Фа=63,4 сек а; Аа — — 64,0 сек а. 63.32 (!273). Подкрановая балка с погонным весом д=49 кГГм, с моментом инерции поперечного сечения а'= 8360 см', длиной 1= 1О м нагружена посредине грузом О=700 кГ и оперта по концам; модуль упругости материала балки Е= 2 1Оа кГ/сма.

Найти частоту колебаний балки с учетом в бев учета ее массы. Ответ: к,=4,56 сек ', Ад=5,34 сек '. 63.33 (1274). Лвутавровая балка с моментом инерции сечения а'=180 см', длиной 1=4 м лежит на двух одинаковых упругих опорных пружин х, жесткость которых с=150 кГ(см, и несет посредине грув весом О=200 кГ. Пренебрегая весом балки, определить период свободных колебаний системы. Модуль упругости материала балки Е=2 1О' кГ)с.яа.

Ответ: Т = 0,238 сек. К аадааа аа За. К аадааа аа.аа. 63.34 (1275). На конце В горизонтального стержня 4В длиной 1, наделанного другим концом, находится грув весом О, совершающий колебания с периодом Т. Момент инерции сечения стержня относительно центральной оси сечения, перпендикулярной к плоскости колебаний, равен 2. Определить модуль упругости материала стержня.

Ответ: Е = 4 да~ Ца ийт' 413 К задаче Ьт,за 6336. Диск массы /И н радиуса г может катиться без скольжения по горизонтальной прямой, К диску жестко прикреплен невесомый стержень длиною 6 на конце которого находится точечная масса т ! Найти период малых колебаний системы. — — Гг / Э!Ига+ 2т!а Ответ: Т=2к1/ 2 1 +!) . 63 36. На шероховатый круглый полупи. ' линдр радиуса гс положен призматический бру- ' сок массы М с прямоугольным поперечным сечением, Продольная ось бруска перпендикук задаче азлк лярна к оси цилиндра.

Длина бруска 21, высота 2л. Концы бруска соединены с полом пружинами одинаковой жесткости с. Предполагая, что брусок не скользит по цилиндру, найти период его малых колебаний, Момент инерции бру- ска относительно поперечной горил зонтальной оси, проходяшей через центр тяжести, равен /е, !2 'а Ответ: Т =2к1/" Ила+/а Мл ()ч — а) + 2«р (1276) Острота резонанса системы с одной степенью свободы при действии силы трения, пропорциональной скорости, характеризуется «половинной шириной» резонансной кривой.

«Половинная ширина» резонансной кривой измеряется разностью между двумя частотами, для которых'алзплнтуда колебаний равна половине амплитуды, соответствую!цей резонансу, Выразить «половинную ширину» резонансной кривой гз через «коэффициент настройки» я=аз)/а и через приведенный коэффициент затухания а=л/л. Дать приближенную формулу для случая А а «1 (в — частота вынуждаюшей силы, л — частота собственных колебаний; при резонансе з = 1). а Ответ: «Половинная ширина» ! кривой резонанса равна Га=л — лл= — Я = )/1 — гйе-~-26 У 3+ив ! — + д или, если 6~1, ц 2)/33.

6338 (1277). В вибрографе, упо- требляемом для записи вертикаль.ных колебаний, стержень ОА, соединенный с пишушим пером прибора„может вращаться вокруг горизонтальной оси О. Стержень ОА ' на конце А несет грув ь! и удерживается в горизонтальном положе- 4!4 нии равновесия спиральной пружиной. Определить относительное движение стержня ОА, если виброграф укреплен нз фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону г=2з)п 251 мм. ((оэффициент жесткости пружины с=0,1 кГ~)см, момент инерции стержня ОА с грузом О относительно О равен У=0,4 кГсм сек', Яа=10 кГсм.

Собственными колебаниями стержня пренебречь. Ответ: ф = 0,0051 а)п 251. 63.39 (1278). В вибрографе, описанном в задаче 53.38, стержень снабжен электромагнитным тормозом в виде алюминиевой пластины, колеблющейся между полюсами неподвижно закрепленных магнитов. Возникающие в пластине вихревые токи создают торможение, пропорциональное первой степени скорости движения пластины и доведенное до границы апериодичности. Определить вынужденные В колебания стрелки прибора, если последний закреплен на фундаменте, совершающем вертикальные колебания по закону г=)аз1пр1.

Ответ: х=гвр= ып(р( — е); 0ал /й ~1+ —,~ 2~Г— 16 е= 1 рг с Г,а 63.40 (1280). Вертикальный двигатель весом О закреплен на фундаменте, имеаощем плошадь основания 8; удельная жесткость ! грунта равна )ь Длина кривошипа двигателя г, длина шатуна ), угловая скорость вала еь вес поршня и неуравновешенных частей, К аааача юла.

совершающих возвратно-поступательное движение, равен Р, вес фундамента О; кривошип считать уравновешен« ным при помощи противовеса. Массой шатуна пренебречь. Определить вынужденные колебания фундамента. У к а з а н н е. Прн расчетах пренебречь всеми членами, содержащими малое отношение г/1 в степенях выше первой. Ответ: Смешение центра тяжейти фундамента от положения равновесия (Ц+б) (И вЂ” ма) + Т (Я+О) (йа — 4ма) где 63.41 (1281). Рассчитать вес фундамента под вертикальный двига- тель, весящий О = 10 г, таким образом, чтобы амплитуда вынужден- ных вертикальных колебаний фундамента не превосходила 0,26 мм.

416 Площадь основания фундамента 8= 100 ме, удельная жесткость грунта, находящегося под фундаментом, ).=50 тума. Длина криво. шипа двигателя г=30 см, длина шатуна /=180 ем, угловая скорость вала ы=240 об)мин, вес поршня и других неуравновешенных частей, совершающих возвратно-поступательное движение, Р= 250 нГ, кривошип считать уравновешену ным прн помощи противовеса. Мзссой шатуна пренебречь. У к а з а я и е.