Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 76

К движущейся по заданному закону Е=Е(г) платформе подвешена на пружине жесткости ст механическая система, состоящая из массы т„к которой жестко присоединен в точке В поршень 1в демпфера. Камера демпфера, масса которой равна т, опирается на пружину К в«даве 54.2$. К в«даве 54.24. жесткости са, противоположный конец которой прикреплен к поршню. Вязкое трение в демпфере пропорционально относительной скорости поршня и камеры; р — коэффициент сопротивления. Составить уравнения движения системы.

Ответ: тахт+ Рхт — Рхя+ (с, + са) хт — свхв= стЕ (г); таха — Рха + Рхв — саха + свхв = О. 64.26 (1318). Между двумя неподвижными опорами А и В натянута упругая гибкая проволока. Натяжение осуществлено с помощью 426 груза Р, вйсйшего на свисающем конце проволоки. В точках С и О 'подвешены два маятника Л(д и Лвв, могущих колебаться в плоскостях, перпендикулярных к плоскости чертежа. Расстояния АС=СО = *=ОВ=а. Массой проволоки и нитей пренебречь и рассматривать К ввдвче Зета.

каждый маятник как материзльную точку массой т, висящую на нити длиной 5 Определить частоты свободных малых колебзний системы. Указан ив. Отношение — — считать малым. а лдя 1 Р Ответ: й = а7 — ~1 — — — -~,' в/ йl ашя1, 54.27 (1319). Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из двух валов, соединенных зубчзтой передачей. Моменты инерции масц насаженных на валы, и моменты инерции зубчатых колес относительно оси валов имеют величины ,/д — — 87500 кГслгсекв,,7в=56000 кГсмсек', 1д=302 кГсмсекв, 7' =10,5 к смсекд, передаточное число л=зд/за=5; жесткости валов при кручении сд= 316 Х Х10 ктесм, св= 115 10 кГсм, l массами валов пренебречь. Ответ: й,=54,8 сек '; Х 77в=2,38 ° 1Ов сек д.

54.28 (1320). Определить, пре- К вадвче Зе.зт. небрегая массой зубчатых колес, частоту свободных кругильных колебаний системы, описанной в предыдущей задаче. Ответ: 77=58,7 сек д. 54.29 (1323). Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длиной 7, свободно лежжцей на двух опорах и нагру- 427 1 2 женной в точках х= — 7 и л= — 1 двумя равными грузами веса Я. 3 3 Момент инерции поперечного сечения балки 1, модуль упругости Е.

Массой балки пренебречь. Ответ: 54=5,69 ~/ —,; ГЕ;Гй - ГЕУЛ А,а' й =22,04 у —,к; — ', = 1; Аа — '„= — 1; формы главных ко- А,а лебаний указаны на чертеже. 54 30 (1324). Найти частоты и формы главных поперечных колебаний балки длиной опертой по концам и несущей /' 4)аг' два груза О, =О и Оа=05О, равноудаденных от опор на 1 расстояние — Е Массой балки 3 пренебречь.

Огпвет: /га=6,55 ~/ — ~; па=27,2 )/ — й; К задаче 54.вь —,',, = 0,95; А а„= — 2,09; формы главных колебаний указаны на чертеже. 54.31 (1325). Найти частоты и формы главных колебаний двухпролетной балки, несущей в середине каждого пролета по одному грузу; веса 3 грузов и длины пролетов оди- наковы: Оа = Яв = Ф К задаче а4.ак = (а= 5 Массой балки прене- бречь. Ответ: й =6,93 1Г, =; й =10,46 "гг — формы главных ГЕ~~ ГЕ.Гя У' 0н ' 1' Е*' колебаний показаны на чертеже.

54.32 (1326). Найти частоты и формы главных колебаний двух одинаковых грузов Ц, закрепленных на концах горизонтальной консольной балки на равных расстояниях Р от ее опор. Балка длиной 31 свободно лежит на двух опорах, отстоящих друг от друга на рас- 426 стоянии 7; момент инерции поперечного сечения балки l; модуль Юнга материала балки Е. Массой балки пренебречь. Ответ: Ь,= 1à — —; Ь = ау 2 —. Гб ехд - Г еУк У 5 06' з )г 0Р' 54.33 (1327). Однородная прямоугольная пластинка массой т закреплена в конце А балки длиной 1, другой конец которой заделан неподвижно.

Система находится в горизонтальной плоскости ! ~ | ! г 4 г 4 — г К задаче За.зи К задаче За.за и совершает в этой плоскости свободные колебания около положения равновесия. Определить частоты и формы этих колебзний. Размеры пластинки: а = 0,2У, Ь =- 0,16 Массой балки пренебречь. Указание. Сила 0 и момент М, которые должны быть приложены к хоицу А балки, чтобы создать в этой точке прогиб 1 и поворот касательной к изогнутой оси балки у, определяются формулзми р0+ЭМ, гр=с0+4М, причем в рассматриваемом случае однородной балки, заделанной одкин га 1 и концом, р= — д=- — з= —.

ЪЕз ' ЕХ' 261 ' Ответ: Частоты главных колебаний равны соответственно 0,804~/ и' 207~/ з' первое главное колебание можно рассматривать как колебание поворота вокруг точки Оэ, расположенной на оси балки слева от точки А на расстоянии О,А = 0,6126 второе в вокруг точки Оз, расположенной на продолжении оси балки на расстоянии ОзА = 0,1061 справа от точки А. 54.34 (1328). К первому из двух первоначально неподвижных дисков, соединенных упругим валом жесткости с, внезапко приложен постоянный вращающий момент М; моменты инерции дисков Х Пренебрегая массой взла, определить последующее движение системы.

М Отвеиц фт= — 1З+ — 11 — соз 1гг 2--11; 4Г 4с~ у)' фз = — ез — — ~ 1 — соз ~у 2 — К1. 47 4с1 р у т1' 54.36. Лвухъярусная шарнирно-стержневая система удерживается в вертикальном положении тремя пружинами, как это показано на чертеже. Стержни абсолютно жесткие, однородные; вес на длину 7 равен О, Полагая коэффициенты жесткости пружин равными са — — ся = !ОО = —, определить устойчивость равновесия системы, а также частоты н формы Л и уя главных колебании системы. Массой пружин пре- небречь; 71=7я=7. Ответ: Равновесие устойчивое; 5,— 0,412 ~/ ф, 7г — — — 1,455, 54.35.

Грув весом О укреплен на вершине стоики, жестко свяванной с балкой АВ, свободно лежащей на двух опорах. Полагая, что момент инерции попереч7с 7г эа Ее ного сечения 1, а модули упругости Е балки и стоики к валаче 54.%. к эвлаче аьаа. одинаковы, определить частоты главных изгибных колебании системы. Весом балки и стойки пренебречь. Ответ: 51 — — 0,497 "1/ —,д1 да=1,602 1г/ —,9, 54.37 (1329). Фундамент магиины весом Р| —— 100 г, установленный на упругом грунте, совершает вертикальные вынужденные колебания под действием вертикальной возмущающей силы, меняющейся по аакону Е=10 а1п и1, С целью устранения резонансных колебаний, обнаруживающихся при угловой скорости вала машины и=100 сел ', на фундаменте установлен на упругих пружинах гаситель в виде тяжелой рамы.

Подобрать вес рамы Ря и суммарную жесткость пружин ся гасителя так, чтобы амплитуда вынужденных колебаний фундамента при вышеукаваннои скорости вала обратилась в нуль, а амплитуда колебаний гасителя не превосходила А=2 лглс, Ответ; Ря — — 4,9 г; ся — — 5 ° 10а т~л. 430 б4.38 (1330). Определить уравнения вынужденных колебаний системы дисков, описанной в задаче 54.2, при действии на средний диск возмущающего момента М = М, з1пр1.

Ма (с — 2Ра) Ответ фа=...,, гйпр1, М,с ф' =1~ (ра — Ла) (ра — Л~) ""Р где Ь1 и Ьа — частоты главных колебаний системы. б4.39 (1331). Электромотор весом От закреплен на упругом бетонном фундаменте (в виде сплошнобо параллелепипеда) весом Оа с коэффициентом жесткости са, установленном на жестком грунте. Ротор весом Р насажен на упругий горизонтзльный вал с коэффициентом жесткости при изгибе сб эксцентриситет ротора относительно вала г; угловая скорость вала пь Определить вынужденные вертикальные колебания статора электромотора. Учесть влияние массы фундамента путем присоединения одной трети его массы к массе статора.

с,Рргар ип аат Ответ: у сасада — ~ (са+са) Р+са (Ц + — Оа)1 йиа+Р ~0а+ — О ) а)а~ где у — отклонение статора от положения равновесия. 34.40. В точке А балки АВ (см. задачу 34.14) приложена сила Р=раз)прг(ра и р= постоянные), составляющая все время с нитью ОА прямой угол и расположенная в плоскости движения балки. Какова должна быть длина Ь нитей, на которых подвешена балка СЦ чтобы амплитуда вынужденных колебаний балки АВ равнялась нулю? Ответ: Ь = —,. Ы р б4.41 (1334). Для поглощения крутильных колебаний к одной из колеблющихся масс системы прикрепляется маятник.

На чертеже К аааааа аа. чь схематически изображена система, состоящая из двух масс 1 и 11 вращающихся с постоянной угловой скоростью пь Ко второй массе прикреплен маятник. Моменты инерции масс относительно оси вращения ./з н ./з; момент инерции маятника относительно осн, параллельной оси вращения системы и проходящей через центр тяжести маятника, Расстояние между осью вращения системы и осью подвеса маятника ОЛ=/; расстояние между осью подвеса и параллельной осью, проходянзей через центр тяжести маятника, АС=а; масса маяпзика т.

Коэффициент упругости (жесткость при кручении) участка вала между массами сз Ко второй массе приложен внешний момент М =Мзз(пазд Написать дифференциальные уравнения движения обеих масс системы и маятника При составлении выражения для потенциальной энергии системы пренебречь потенциальной энергией маятника в поле силы тяжести.

Оглвет: ./зйз+ сз (уз — ~з) = О' (/з (- т/з) йз+ та/йз сов (йз — йз)+ + та/ф' тп(рз — 9з)+ сз (тз — В)= =Мзазпм/1 (/з+ та') 6з+ + та/йз сов(рз — йз) — таф',з!п(9з — Рз) = О. 64.42 (1336). Бак, имеющий форму куба, К задаче за аз опирается четырьмя нижними углами на че- тыре одинаковые пружины; длина стороны куба 2а.

Жесткости пружин в направлении осей, параллельных сторонам куба, равны с„, с, с,; момент инерции куба относительно главных центральных осей Х Составить уравнения малых колебаниИ и определить нх частоты в случае с = с . Вес бака равен Р. Ответ: тУ+с„х — с„пуз=О, тР+с„у+с а:рз=О, т2+ сгв = О, ./2з+ с„ау+ с азгуз+ сгаззз — — О, ./уз+ с аз(зз — с ах+ с,азеаз — — О, ./6з+ с„а'~з+ с„аззз = О, где х, у, х — координаты центра куба, уз, (зь зз — углы поворота куба относительно координатных осей. Если с =сн то -~/ с Е --~// 2г иг дз(ег + гг) аз + е / „+ т/ а' +с с,— — =О.