Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 77

аз'/ К задаче за аз. 6443 (з336). Однородная гори- зонтальная прямоугольная пластина со сторонами а и Ь опирается своими углами на четыре одинаковые пружины жесткости с; масса пластины М. Определигь частоты свободных колебаний, Ответ: Ьз — — ~//4 — „аз=аз=1 !2 —, М' 64.44 (1337). Три железнодорожных груженых вагона весом Оз, Яе н Яз сцеплены между собой.

Жесткости сценок равны с, и г,, В начальный момент два вагона находятся в положении равновесия, К задаче 44.44. а крайний правый вагон отклонен на хе от положения равновесия. Найти частоты главных колебаний системы. Отвелг: из=0, а йе и лз сУть коРни УРавнениа Б4.4Б (!338). При условиях предыдущей задачи найти уравнения движения вагонов и построить формы главных колебаний для случая вагонов равного веса Яз=О4=Од=Я, соединенных сцепками одинаковой жесткости с, = се — — с, Ответ: хз = — — — соа Иаз+ —. соз азС хе — — 3 — — соз '!зд Хе Хе ле Ка 3 2 6 ' 3 а ха = — + — соа 141+ — соз йз(; йе — )зз, че — ф формы главных колебании изображены на чертеже. (42 6 ((а К задаче 44 ед К задаче 5444.

64.46 (1339). Найти частоты и формы главных колебаний системы, состоящея из трех одинаковых масс лз, закрепленных на балке на одинаковых расстояниях друг от друга и от опор. Балку считать 4М К задаче зглт К ладане ылэ свободно положенной нз опоры; длина балки б момент инерции поперечного сечения г', модуль Юнга материала балки Е, Ответ: Йг=-4,93)гг — „; ггз=19,6~' —,; Аз=41,8~/ — „, -гЕУ -/Еу / ЕУ Формы главных колебания показаны на чертеже.

34.47 (1340). Система л одинаковых масс «г, соединенных пружинзми жесткости с, образует механический фильтр для продольны колебаний. Считая заданным закон поступательного движения левой масс х=хзз!пег, показать, что систем гл т м . и' а является фильтром низких частот, е в в в т. е. что после перехода частоты ю через определенную границу змплитуды вынужденных колебаний отдельных масс изменяются в ззвисимости от номера массы по экспоненциальному закону, а до перехода — по гармоническому. Ответ; Фильтр пропускает колебания с частотой 0 <ю < 2 "гг .вГс 34.48 (1341). Фильтр крутильных колебаний схематиэируется в виде длинного валз с насаженными на него дисками.

Считая заданным закон движения левого дискз в форме б = = ггз4п зг1, определить вынужвенныв колебания системы и вычислить амплитуды колебаний отдельных с в с с с дисков. Моменты инерции дисков,l, жест- К задаче Ялэ. кости участков вала между дисками одинаковы и равны с. Исследовзть полученное решение и показать, что система является фильтром низких частот.

Ответ: дь =(Ь, сов )гА+с з1п )ггт) э1п юг', э1п "- = — 1гг —, где г)ь — угол поворота Й-го диска, сг — постоянная, определяемая из граничного условия нз втором конце вала; первыи диск имеет нулевой номер; частота ю должна заключаться в пределах О« 21/ †. у 2 ' 54.49 (1342). Механическая система, образующая полосовой фильтр для продольных колебаний, состоит нэ звеньев, каждое иэ которых Ш т Ш с с образовано массой и, соединенной с массой следующего звена пружиной жесткости с. Пзраллельно с этой пружиноп к массе присоединена пружина жесткости с;, связывающая массу гп с неподвижной точкой. Закон пРодольных колебаний левой массы х=хасбпоМ вздан. Б5.2 (1347). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки, ха а иэогнутой по эллипсу —, + —,= 1, вращающемуся вокруг вертикальной оси Оа с постоянной угловой скоростью гэ (ось Ог направлена вина). Определить положения относительного равновесия шарика н исследовать их устойчивость.

Ответ: ПРи юа ( л сУществУют два положениЯ Равновесин: а) х=О, а=с (устойчивое); б) к=О, а= — с (неустойчивое). йа При гэа) —; существуют три положения равновесия: а) х= О, йгз а=+с (неустойчивое); б) х=О, я= — с (неустойчивое); в) а= й, (устойчивое). ББ.З (1348). Весомый шарик находится в полости гладкой трубки, изогнутой по параболе ха = 2ра и вращаюшейся с постоянной угловой скоростью ю вокруг оси Оа.

(Положительное направление оси Оа — вверх.) Определить положение относительного равновесия шарика и исследовать его устойчнвосгь. Отвею Существует единственное положение равновесия г = О; оно устойчиво при ю' « у/р и неустойчиво при оР ~ л/р; при юа = и/р — безразличное равновесие. 65.4 (1349). Материальная точка может двигаться по гладкой плоской кривой, вращающейся вокруг вертикальной оси с условой скоростью ю. Потенциальная энергия У(а) точки эадана и эависит только от ее положения, определяемого другой а, отсчитываемой вдоль кривой; «(а) — расстояние точки от оси вращения. Определить частоту малых колебаний точки около ее относительно~о положения равновесия.

а 1 (РЬ' а Г лг1 Оевегп: на= — ~ — — — ~жг — ~юа~, где з определяется нэ лг ~ лая Иа ~ ла~ ~~ ы' уравнения ББ.Б (1360), Материальная точка с массой лг описывает окружность радиуса г под действием центральной силы притяжения, пропорциональной и-й степени расстояния: г'=аг'*. Найти условия, при выполнении которых траектория воэмущенгого движения близка к исходной окружности. Отэеэг: При и( — 3 движение неустойчивое, а при и) — 3 устойчивое. ББ.Б (1351).

Твердое тело свободно качается вокруг горизонтальной оси /ч' Т, вращаюшейся вокруг вертикальной оси Ог с угловой скоростью ю. Точка О в центр инерции тела; плоскость КТО является плоскостью симметрии, ось ОΠ— ~лавной осью инерции. Ось К/. параллельна /ьгТ, ось ЕВ проходит через точку О и перпендикулярна к д/Т и ОО. Моменты инерции тела относительно осей ОО, К/. и ЕО равны соответственно С, А и В; й — длина отрезка 00; М вЂ” масса тела. Определить возможные положения озносительного равновесия н исследовать их усгойчивость. Ответ: Возможным положением относитель- г ного равновесия отвечают слелукппие аначення угла отклонения линии 00 от оси Ож ЙВ а) «р=О (устойчнво, если В< С; пря В~С мал оно устойчиво, если оР ~ †, и неустойчиво при  — С' 0 б) «р = и (неустойчиво, если В) С; при В(С Мва оно устойчиво, если оР - †, и неустойчиво С вЂ” В' при оР е ).

мйо « С вЂ” В)' А' к ааааче аа.а. в) р=агссоа о~ а (существует, если «о > В С; устойчиво при В) С и неустойчиво при В е С). Меа 66.7. При условии задачи 48.29 исследовать малые движения системы вблизи положения равновесия а=О, «р= — и выяснить, устой- 2 чиво это положение равновесия илн нет. Ответ: Положение равновесия а=О, «р в «ув = — неустойчиво.

2 66.8 (1362). Определить положения относительного равновесия маятника, подвешенного с помощью универсального шарнира О к вертикальной оси, враща«ощейся с постоянной угловой скоростью ох маятник симметричен относительно своей продольной осн; А и С— его моменты инерции относительно главных центральных осей инерции $, т) и ь; Ь вЂ” расстояние центра тяжести маятника от шарнира. Исследовать устойчивость положений равновесия маятника и определить период колебаний около среднего положения равновесия.

Ответ: Положения равновесия и их устойчивость определяются формулами, данными в ответе к вадаче 65.6 (в них нужно положить В=А колебаний ч / (А+Мт) (А+ММ вЂ” С) а«(А+Мое С)а «оа — Майааа' К ааааее аа.а. + А()«а). Период 66.9 (1863). Вертикальная ось симметрии тонкого однородного круглого диска радиуса г и весом О может свободно вращаться вокруг точки А. В точке В оно удерживается двумя пружинамн. Осв аат Ответ: Значения Ь=Ь,=сопз1 находятся ив уравнения (1+ з соз Э,) = — ~ с(3 Ьь где и= — „, ~1 = —,; 9=м=сопз1. Это уравнение допускает два ьг существенно различных решения: ; «Э,«О, —, -Ь,« .

Движение, соответствующее первому решению, устоичиво, второму— неустойчиво. 56.12 (1366). Исследовзть устойчивость движения обруча, равномерно катящегося с угловон скоростью и по горизонтальной плоскости. Плоскость обруча вертикальна; радиус обруча а. Отвеин Движение устойчиво, если ма ) ~ .

4а' 56.13 (1367). Колесо с четырьмя симметрично расположенными спицами катится по шероховатой плоскости. Плоскость колеса вертикальна. Ободья колеса и спицы сделаны из тонкой тяжелой проволоки. Радиус колеса а, скорость центра его в исходном движении о.

Исследовать устойчивость движения. я+2 Ответ: Движение устойчиво при и') 4 ак. „( 4~ 55.14 (1353). Исследовать устойчивость движения однородного обруча радиуса а, вращающегося вокруг вертикального диаметра с угловоп скоростью и. Нижняя точка обруча соприкасается с горизонтальной плоскостью. Ответ: Движение устойчиво при ма ) — ~ . 3 а' к авдаче ааль. 55.15 (1369). На материальную точку массы т, отклоненную от положения равновесия, действуют: сила Г по величине пропорциональная отклонению ОМ=г = р' Р+у' из этого положения и 439 направленная к нему; сила Вт, перпендикулярная к первой (боковая сила), по величине тоже пропорциональная отклонению г: )Г,)=сыт, В =с„г. Исследовать методом малых колебаний устойчивость равновесного положения точки.

У к а з а н и е. В таких условиях будет находится точечная масса, закрепленная на свободном конце сжатого и скрученного стержня (с одннаковычн главнымн жесткостями на изгиб), нижний ионец которого заделан. Прямолинейной форме стержня соответствует состояние равновесии. Коэффициенты сы, с„зависят от сжимающей силы, скручивающего момента, длины стержне н от жесткостей на изгиб и кручение. Овгвет: Равновесие неустойчивое.