Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 72

В маятнике паллографа груз Л4 подвешен на через вращаюзцийся цилиндрик О с коромыслом АОь вращающимся г; расстояние от центра тяжести груза до шарнира А равно 1; расстояние ОО,=й. Исследовать устойчивость вертикального положения равновесия маятника. Размерами груза и весом стержней пренебречь. Отлвет: При )1 гу) Ь вЂ” г положение равновесия устойчиво; при )г г1~ и — г неустойчиво. 52,17 (1178). Прямолинейный проводник, по которому течет ток силой 1'„притягивает параллельный ему провод АВ, по которому течет ток силой 1з. Провод АВ имеет массу т; к нему присоединена пружинз жесткости е; длина каждого ив проводов 1.

При отсутствии в проводе АВ токз расстояние между проводами равно а. Определить положения рзвновесия системы и исследовать их устойчивость. У к а з а и и е Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами 1, и 1а длиной 1, отстоящих ка расстоянии д друг от друга, опреде 2йаа ляется по 4юрмуле Г= — 1. 21ага! а' Ответ: При сх= — '"" ( — имеются два положения равновесию 4 а /аз а Гуз х = — — 1гг — — сх и ха= — +11 — — а хх отвечает УстойчивомУ 2 Р' 4 2 )' 4 положению равновесия, х,— неустойчивому. При а > аа14 положений равновесия нет.

При сх=аа14 имеем единственное положение равновесия, которое неустойчиво. 3 63. Малые колебания системы с одной степенью свободы 53.1 (1243). Жесткий стержень ОВ длиной 1 может свободно качаться на шзровом шарнире около конпа О и несет шарик весом О на другом конде. Стержень удерживается в горизонтальном положении посредством нерастяжнмого вертикального шнура длиной Ь. Расстояние ОА=а.

Если шарик оттянуть перпендикулярно к плоскости чертежа и затем отпустить, то система начнет колебаться. Пренебрегая массой стержня, определить период хзалых колебаний системы. 1ГЙ Ответ: Т=2п 1г ак К задаче ЬЗ.1. К задача 53 т, 33.2 (1244). Определить период малых колебаний астатического маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи колебаний почвы. Маятник состоит на-жесткого стержня длиной 1, 405 К вадаче 53.3 К вадаче 53,5 веса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника. Ответ: а ~ —; тйг 2с Т= 2в й К вадече 53.5. 53.5 (1247).

Цилиндр диаметром 5( и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жесткости с прикреплены посредине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра. .)ГЗ .Гт Ответ: Т= — ф —. иг~ с' 1+2— 406 несущего на конце массу т, зажатую между двумя горизонтальными пружинами жесткости с с закрепленными концами.

Массой стержня пренебречь и считать пружины в положении равновесия ненапряженными. 2в Ответ: Т = .~/ с 1/ 2 — —— т 53.3 (1245). Маятник состоит из жесткого стержня длиной несущего массу т на своем конце. Н стержню прикреплены две пружины жесткости с на расстоянии а от его верхнего конца; противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника. Ответ: Т= 2п .е/2сав е — +— тр 53,4 (1246). Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса т расположена выше точки под- 63.6.

Определить период малых колебаний метронома, состоящего иа маятника и добавочного подвижного груза О массы т. Момент инерции всей системы относительно гориаонтальной оси вращения изменяется путем смещения подвижного груза О. Масса маятника М; расстояние центра тяжести маятника от оси вращения О равно в;, расстояние ОО=е момент инерции маятника относительно оси вращения,/3. Оезвевг: Т = 2 Уз+лаз (Маз 7"3) В 63.7 (1249).

Тело, подвешенное на двух вертикальных нитях длиной 1 каждая, расстояние между которыми 2а, закручивается вокруг вертикальной оси, лежащей в плос- К задаче 53.5. К задаче 53Л. кости нитей и равноудаленной от ннх (бифилярный подвес). Радиус инерции тела относительно оси вращения р. Найти период малых колебаний. Ответ: Т=2к — 317 р Г! а т В' 63.8 (1260). Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжимыми нитями длиной 1 так, что плоскость обруча горизонтальна. Нити в цоложении равновесия обруча вертикальны и делят !О окружность обруча на три равные части.

Найти период малых колебаний обруча вокруг оси, проходящей через центр обруча. ГТ Ответ: Т=-2к тг7 У' 63.9 (1261). Тяжелая квадратная платформа АВСО массы М подвешена на четырех упругих канатах, жесткости с каждый, к неподвижной точке О, от- л В стоящей в положении равновесия систе- К задаче 53.3, мы на расстоянии 1 по вертикали от центра Н платформы. Наина диагонали платформы а.

Определить период вертикальных колебаний системы. Ответ: Т=2к ГМ (аз+4П) 1 1/ с 1бй Маада ' 1+— !бс(3 63.10 (1262). Уголок, составленный из тонких однородных стержней длиной / и 21 с углом между стержнями 90', может вращаться вокруг точки О. Определить период малых нож ю лебаний уголка около положения равновесия. Ответ: Т=2к —, 1/ — =7,53 1/ )/8 /У, Т „~У.=' ув' 63.11 (1263).

Определить период малых свободных колебаний маятника веса Я, ось вращения которого образует угол р с горизонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно оси врагцения /, расстоянле центрз тяжести от оси вращения в. К задаче 63ЛЗ. Ответ: Т=2к ~/— а)зсемз ' Б3.12 (1264). В приборе для регистрации вертикаль ных колебаний фундаментов машин грчз весом Я, закрепленный на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой е„ шарнирно соединен со статически уравновешенной стрелкой, выполс,.

ненной в виде ломаного ры- чага с моментом инерции Ь относительно оси вращения Π— О н отжимаемой к равповеснор) му положению горнзонгальной пружиной с коэффициентом жесткости сз. Опредевить период свободных колебаний стрелки около ее вертикально- К задаче 63Л2, го рзвновесного положения, если ОА=а и ОВ=Ь. Размерами грузз и влиянием первоначального натяжения пружины пренебречь. Ответ: Т=2к вг/ / хд+ф~ л (саа' ч сзвз)' 63.13 (12ББ). Амортиззционное устройство может быть схематизнровано в виде материальной точки массы т, соединенной и пружинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус окружности, описанной около многоугольника, Ь. Определить частоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположенной в горизонтальной плоскости.

Указание. Для вычисления потенциальной энергия с точностью да величин второго порядка малости включительна следует определить удлинение пружин с той же степенью точности. 1/ 26'— а Ответ: 6=1/ --— 2т Ь 408 63Л4 (1267). В предыдупгей задаче определить частоту колебань и„ перпендикулярных к плоскости многоугольника. Силами тяжести пренебречь. / ле (Ь-а) Ответ: (3= та, тЬ 63.16 (1268). Определить частоту малых вертикальных колебаний материальной точки Е, входящей в состав системы, изображенной на К задаче 33.!3. К задаче 33 !3, чертеже.

Масса мзтериальной точки т. Расстояния АВ= ВС и ОЕ=ЕЕ; жесткости пружин е„ез, ез, е, заданы. Бруски АС и ОЕ считать жесткими, не имеющими массы. ! Ответ: й = а Я ' Я а т 4 ~! ! 1 !)' 63.16 (1269). На нерзстяжимой нити длиной 4а находятся К задаче Юле. ьри груза, массы которых соответственно равны т, М, т. Нить симметрично подвешена за копны так, что ее начальный н конечный участки образуют углы а с вертя- калью, а средние участки — углы р. Груз М совершает малые вертнькальные нолебания.

Определить частоту свободных вертикальных колебаний грува Л1. Ответ: в (соьз 1 яп 3 -(-соьз а яп е) л= о соь 1 соь а яп (б — а) соь(1 — е) л М яп (р — а) при этом 2т = ял асыка 63.17 (1260). Вертикальный сейсмограф Б. Б. Голицина состоит из рамки АОВ, на которой укреплен груз веса О. ~ — а Рамка может вращаться вокруг горизон- Х задаче 33.!т. тальной оси О.

В точке В рамки, отстоящей от О на рзсстоянив а, прикреплена пружина жесткости с, работающая нз растяжение. В положении равновесия сгержень ОА горвзонтален. 409 Момент инерции рамки и груза относительно О равен 3, высота рамки Ь. Пренебрегая массой пружины и считая, что центр тяжести груза и ранки находится в точке А, отстоящей от О на расстоянии 1, определить период малых колебаний маятника.

1 /сва — Раь ~1 — — ) О!ивет: Ь= 'у' ,г где Ра= Я вЂ” — натяжение а пружины в положении равновесия, 1.-длина пружины в положении равновесия. 63.18 (1261). В вибрографе, предназначенном для записи колебаний фундаментов, частей машин и т, пч маятник веса чг' удерживается под углом а к вертикали с помощью спиральной пружины жесткости с; момент инерции маятника относительно оси вращения О равен У, расстояние центра тяжести маятника от оси вращения в.

Определить период свободных колебаний вибрографа. ,г Ответ: Т=2паг чга соа я+ с ' К аахача бала. К аалача 53.19. 63.19 (1262). В вибрографе для записи горизонтальных колебаний маятник ОА, состоящий нз рычага и груза, может качаться вокруг горизонтальной оси О около вертикального положения устойчивого равновесия, удерживаясь в этом положении собственным весом и спиральной пружиной. Зная максимальный статический момент веса маятника Оп=4,5 кГсм, момент инерции относительно оси О 1 = = 0,03.

кГ ем сека и коэффициент жесткости Р пружины с= 4,5 кГ1см, определить период в собственных колебаний маятника при малых углах отклонения. Ответ: Т=0,364 сек. 63.20. Найти, при каком условии верхнее к аалача аз.аа. вертикальное положение равновесия маятника является устойчивым, если свободному вращению маятника препятствует спиральная пружина жесткости с, установленная так, что при верхнем вертикальном положении маятника она не 410 напряжена. Вес маятника Р. Расстояние от пентра тяжестя маятника до точки подвеса равно а. Найти также период малых колебаний маятника, если его момент инерпив относительно оси вращения равен 4„ Ответ: е ) Ра„Т = 2п 1I — ' е — Ра ' 63.21.