Мещерский И.В. - Сборник задач по теоретической механике (1975), страница 78

55.16 (1360). При исследовании устойчивости движения точки в предыдущей задаче принять во виимзние силы сопротивления, пропорциональные первой степени скорости: й = — рх, й„= — ~)р (р — козффицнент сопротивления). Ответ: Равновесие Устойчиво пРи Раста) тсгз. 55.17 (1361). Если у стержня, описанного н задаче 60.15, жест- ности на изгиб не равны, то резкции конца стержня, действующие на массу т, определяются выражениями В„= — стдх+ст у, от=стах — с,у. Выяснить методом малых колебаний условия устойчивости равновесия. Отаелг: При (ст,— с„)'+4стзсы) 0 равновесие устойчиво. 55.18 (1362). Уравнение движения муфты центробежного регулятора двигателя имеет вид тх+ рх+ ох=А(ы — ыа), где х — перемещение муфты регулятора, лз — инерционный коэффициент системы, р — коэффициент сопротивления, с — жесткость пружин регулятора, ы — мгновенная и ыо — средняя угловзя скорость машины, А — постоянная.

Уравнение движения мзшины имеег вид бш У вЂ” = — Вх бг ( — постоянная, У вЂ” приведенный момент инерции вращающихся ча- стеП двигателя). Установить условия устойчивости системы, состоящей из двигателя и регулятора. Омтаевж Система устойчива при АВ <,/в ср (с, р, Х А, В считаются положительными). 55.19 (1363). Симметричный волчок, острие которого помещено в неподвижном гнезде, вращается вокруг своей вертикально расположенной оси. На него поставлен второй симметричный волчок, кото- рый также врашается вокруг вертикальной оси. Острие оси второго волчка опирается на гнездо з осн первого волчка. М и М вЂ” массы верхнего и нижнего волчков, С и С' — нх моменты инерции относительно осей симметрии; А и А' — моменты инерции относительно горизонтальных осей, проходящих через острия; с и с' — расстояния центров тяжести волчков от соответствующих остриев; Ь вЂ” расстояние между остриями.

Угловые скорости волчков (5 и 50. Вывесаи условия устойчивости системы. Ответ: Система усгойчива, если все корни урзвнения четвертой степени [АА'+ МЬ' (А — Мс') [ Ха+ [А СЯ'+ СЯ (А'+ МЬ')[ У+ + [А (М с'+ МЬ) 3+ (А'+ Мйа) Мед+ СС ЯЫ[ Ья+ + [Сэс (М'с'+ МЬ) д+ С'эсМс3] Ь+ Мс (М'с'+ МЬ) ЬЛ = 0 различны и вещественны. бб.20. Деталь 1 перемещается поступательно с постоянной скоростью нэ и через пружину передает движение ползуну 2.

Сила трения между полауном и направляющими 3 ззвисит от скорости ползуна и следующим образом: Н= Н 51яп и — ап+ рва, где Н,„а, р' — положительные коэффициенты. Определить, при каких аначениях пэ равномерное движение ползуна является устойчивым. Ответ: во > —.

Зр' д аа Я К эадаче 55ЛО. К задаче 55.2К бб.2Н Агрегат, состоящий из двигателя 1 и машины 2, соединенных упругой муфтой 3 с жесткостью с, рассматривается как двух- массовая система. Н ротору двигателя, имеюшему момент инерции 11, ПрИЛОжЕН МОМЕНТ М1, ЗаВИСящнй От уГЛОВОй СКОрОСтн рОтОра Ча СЛЕ- дуюшим образом: М1 = Ма — 21 и — ыа) К валу машины, имеющему момент инерции ./1, приложен моменг сил сопротивления, зависящий от угловой скорости вала ф М2 Мэ (аэ (т 010)' Коэффициенты р, и рэ положительны.

Определить условия, при которых вращение системы с угловой скоростью ааэ является устойчивым. Ответ: (51) ря; —. ) —. аа Иа ш 65.22. Уравнения возмущенного движения имеют вид ха= — 2х, — х, — хз — хв х,= хт — х„ хз= — йхт+х — х — х„х =5хт+х +2хз+2х. Определить собственные числа и устойчивость системы. Оглвеги: Ха=Ха= — 1, Хз — Аз=О; движение устойчиво.

55.23. Уравнения возмущенного движения имеют вид х, = — 2х, — хз — хз — х„хз = хт — хв хз = 5 ха — 2хз 2хз хз — — бхт+ 2хз+ Зхз+ Зхз Определить собственные числе и устойчивость системы. Ответ: )т=Х,= — 1, лз=Х»=0; движенне неустойчиво (сравнить с ответом к задаче 55.22). гу 55.24.

Исследовать устойчивость устзновившегося к ззяв»з ьа.зс движения (5=сопз1, ф =сопя() сферического маят ника относительно величин 0, 6 и ф. У к а з а и не. Воспользоваться ливейиой связкой интегралов. Оглвелз: Движение устойчиво. 6 56. Нелинейные колебания соры тн; коэффициенты жесткости рессоры гт и сз. Написать уравнения свободных колебзний рессоры для первой половины полного периода колебаний и найти полный период з 3 ь х — т — — —— , с с ! колебаний Т. Олзвевн Прн возвращении рессоры в положение статического равновесия х=х соз лзг; при отклонении от положения статического равновесия х= — ха — 'з!п~йт1 — — — '~; Т=за~ — + — ~; -у" с, .й ~ / сй 56Л (1291).

При испытаниях рессор была получена чтреугольная» характеристика изменения упругой силы. При отклонении рессоры от положения стзтического равновесия имеет место верхняя ветвь (с,) характеристики, при возвращении — нижняя ветвь (гз) характеристики. В начальный момент рессора отклонена от положения статического равновесия на хз и не имеет ~Г начальной скорости.

Масса рес! 56.2 (1292). Определить закон убывания амплитуд свободных колебаний рессоры, рассмотренной в предыдушей аадаче. Прн ваписи свободных колебаний был получен следующий ряд последовательно убывающих амплитуд; )3,0 лслд, 7,05 лдлс, 3,80 лглд, 2,05 лдлд и т. д. Определить согласно данным виброграммы отношение коэффициентов жесткости сд/с,, соответствующих верхней и нижней ветвям «треугольной» характеристики.

Ответ: Последовательные значения амплитуд череп каждые полпериода колебаний убывают по л закону геометрической прогрессии со анаменателем /дд/лд', сд/с«=3,4. Ю 66.3. Масса т колеблется на пружине, коэффициент жесткости которой с. На одинаковых рас- д стояниях сд от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры проис- к» л«««ажз. ходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить закон движения системы при периодических колебаниях с частотой вд. Найти возможные аначения оь Ответ: х= — в1пй~/ — — ) при О~/~ — ~/д = — ~ и/ с) ап 'д 2 / -ы', мп— 2яд 56.4. Решить предыдушую вадачу в предположении, что имеется только нижний упор. Л /л йп Ответ: х= — — соз) — — /) при 0~/~ — ' И~ю~2/с. па ~ы / ) савв 56 б.

Определить аависимость амплитуды первой гармоники свободных колебаний от их частоты в системе, уравнение движения которой имеет вид тх+ г'я япп х+ сх=О 4г» Ответ: ад= н (тяд» - с) ' 56.6. движение системы описывается уравнением х+)хд+/ддхл — а') х+Аах=О. Определить амплитуду автоколебательного процесса, воаникйошего в системе; исследовать его устойчивость. Ответ: а=а//д; автоколебания устойчивы в большом. 56.7 Выявить условия, прн которых в системе, рассмотренной в вадаче 55.20, могут возникнуть автоколебания, блиакие к гармони/ с ческим колебаниям частоты /г= а/ —, где с — коэффициент жесткою кости пружины, лд — масса ползуна. Определить приближенно амялитуду этих автоколебаний.

а д сс, 4/сс Ответ: 0333< п»д(33, а*='ад ~33 — и»). 443 66.8. Предполагая, что в системе, рассмотренной в задаче 55.20, сила трения Н постоянна и равна Нв при о~~О и равна Н, при м=О («трение покоя»), определить период автоколебаний, Принять, что масса ползуна равна т„а коэффициент жесткости пружины с.

Ответ; Т=(г+ — (1 — соаИ,), где а=, А="~/ 1+я' (Н,— Н)В / е гв» (г — наименьший корень уравнения я в!п лгг = сов аг, — 1. 66.9. Мзсса т связана с неподвижным основанием прувкнной с жесткостью с и демпфером сухого трения, величина силы сопро- тивления в котором не эаиисит от скорости и равна Н На одинако- вых расстояниях Ь от положения равновесия установлены жесткие упоры. Считая, что удары об упоры происходят с коэффициентом восстановления, равным единице, определить значение Н, при котором вынуждающая сила гч соа ы! не может вызвать субгармонических, резонансных колебаний, имеющих частоту ы/з (» — целое число). У к л з в и и е.

Определить . условия существования периодического режима, близкого к свободиым колебаниям системы с частотой я/в. Отлет: Дли четного з Н) 0; для нечетного з Н' Р ., с!6 — ( — > А). 66.10. Бентр однородного кругового цилиндра, катящегося беэ скольжения по горизонтальной плоскости, соединен пружиной с непод- вижной точкой О, нзходящейся на одной горизонтали с центром диска, Масса цилиндра равна т, коэффициент жесткости пружины с.

В положении равновесия пружина не деформирована, длина ее равна ». Определить зависимость периода малых колебаний цилиндра около положения равновесия от амплитуды а, сохранив в уравнении движе- нив члены, содержащие третью степень перемещения. а в К вЂ” полный эллиптический интеграл первого рода. 66.11. Методом малого параметра определить амплитуду а и период Т автоколебаний, возникающих в системе, движение которой определяется уравнением г+ г! х = !ь 1(Ф вЂ” х ) х "(дл!.