Bessonov1 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 15

»»'2»~2 (3.12) чае 1 = 8 А, »1» = 20'. Следовательно, 1 = 8е»~»»' А. Пусть ком плексная амплитуда тока 1 = 25е»зо А. 3а»»ищем выражение для мгновенного значения этого тока. Для перехода от комплексной амплитуды к мгновенному значению умножим 1 на е» ' и возьмем коэффициент при мнимой части от полученного произведения1см, формулу (3.10а)]: 1 = 1гп25е»зо'е»"' = 1п»25е»<"' зо' = 2581п(Ы вЂ” 30'). Пример 29. Записать выражение комплекса действующего значения тока 7,»» = 8е» А. 2»»е — .2»»а Р е ш е н и е. Комплекс действующего значения тока 1=8е~ Я2=5,67е» А. ф 3.5.

Сложение и вычитание синусоидальиых функций времени на комплексной плоскости. Векторная диаграмма. Положим, что необходимо сложить два тока(1» и 12) одинаковой частоты. Сумма их дает некоторый ток той же частоты: + 1яъ 1» = 1»рдып(о)1 + '»р»)1»2 = 1дщэ!П(»»»1 + Фд)» 1=1 э»п(о»|+ ф). Требуется найти амплитуду 1 и начальную фазу»1» тока ~. С этой целью ток 1» изобразим на комплексной плоскости (рис. 3.4) вектором 1, =1, е'~», а ток1 — вектором 1„= 1~ е'~~. Геометрическая сумма векторов1, и1 даст комплексную амплитуду суммарного тока 1,„= 1 е»'~, Амплитуда тока 1 определяется длиной суммарного вектора, а начальная фаза т1» — углом, образованным этим вектором и осью+1.

Для определения разности двух токов (ЭДС, напряжений) следует на комплексной плоскости произвести не сложение, а вычитание соответствующих векторов. Обратим внимание на то, что если бы векторы 1,, 1 и 1 стали вращаться вокруг начала координат с угловой скоростью го, то взаимное расположение векторов относительно друг друга осталось бы без изменений. Векторной диаграммой называют совокупность векторов на комплексной плоскости, изображающих синусоидально изменяю»циеся функции времени одной и той же частоты и построенных с соблюдением правильной ориентации их относительно друг друга по фазе.

Пример векторной диаграммы дан на рис. 3.4. (3.13) р =и~, где р — функция времени. Перед тем как приступить к изучению основ расчета сложных цепей синусоидального тока, рассмотрим соотношения между токами и напряжениями в простейших цепях, векторные диаграммы для них и кривые мгновенных значений различных величин. Элементами реальных цепей синусоидального тока являются резисторы, индуктивные катушки и конденсаторы. Протеканию синусоидального тока оказывают сопротивление резистивные элементы (резисторы) — в них выделяется энергия в виде теплоты — и реактивные элементы (индуктивные катушки и конденсаторы) — они то запасают энергию в магнитном (электрическом) поле, то отдают ее. Рассмотрим поведение этих элементов.

ф 3.7. Резистивный элемент в цепи синусоидального тока. Как говорилось в ф 1.8, резистивный элемент — это идеализированный схемный элемент, учитывающий выделение теплоты в том или ином элементе реальной электрической цепи. Его характеризуют зависимостью напряжении и на нем от протекающего по нему тока Цвольтамперной характеристикой) или сопротивлением Я = иф На схемах его изображают, как и резистор, в виде прямоугольника (рис. 3.5, а). Положительные направления отсчета и и г совпадают. $3.6. Мгновенная мощность.

Протекание синусоидальных токов по участкам электрической цепи сопровождается потреблением энергии от источников. Скорость поступления энергии характеризуется мощностью. Под мгновенным значением мощности, или под мгновенной мощностью, понимают произведение мгновенного зна«' чения напряжения и на участке цепи на мгновенное значение тока ~, протекающего по этому участку. Пусты = 1 з)пь|. По закону Ома, и=®=К! з1пЫ= У яппи!; (3.14) Векторная диаграмма комплекса тока ! и совпадающего с ним по фазе комплекса напряжения У показана на рис.

3.5, б. На рис. 3.5, в даны кривые мгновенных значений тока 1, напря!/ ! жения и и мощности р = !l ! яп~ь| = — (1 — соь2ь!). Мгновенная мощность р имеет постоянную составляющую !!т!т !l ! — и составляющую ~оаы, изменяющуюся с частотой 2в. 2 2 Потребляемая от источника питания за время Юэнергия равна р1!.

и„,=и =и= — е, ;Сл едо ва тел ьно, и = ьЫ яп(Ы + 90') = У э1п(со! + 90'); (3.16) У =ьЫ. Произведение в~ обозначается Х„, называется индуктивным сопротивлением и измеряется в омах(Ом): Х,=ь|.. (3.17) ф 3.8. Индуктивный элемент в цепи сииусоидального тока. Ин,дуктивный элемент позволяет учитывать явление наведения ЭДС„ изменяющимся во времени магнитным потоком, и явление накопления энергии в магнитном поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризуют зависимостью потокосцепления ф от тока ~ (вебер-амперной характеристикой) или индуктивностью Е = ф/1. На электрических схемах индуктивный элемент изображают, как показано на рис.

3.6, а. На схеме замещения реальную индуктивную катушку можно представить в виде последовательно соединенных индуктивного и резистивного элементов. Выделим индуктивный элемент (рис. 3.6, а). Положительные направления тока г через него, ЭДС самоиндукции е~ и напряжение на нем и„указаны на рис. 3.6, а. Если г = У з1пь|, то й е~= — !.— = — ыЫ совы= а!.! яп(ь| — 90'). Определим разность пой Ю О$ тенциалов между точками а и Ь.

При перемещении от точки Ь к точке а идем встречно ЭДС е, поэтому ~р„= гр, — е, и й и„~ = ~р — Ч>, = — е! = 1.—. В дальнейшем напряжение на индука а Ь тивном элементе будем обозначать и или, просто, и без индекса (3.15) Таким образом, индуктивный элемент (индуктивная катушка, у которой й = О) при синусоидальном токе обладает сопротивлением, модуль которого Х~ = ьЕ прямо пропорционален частоте ь ~см.

~3.16)) — на рис. 3.6, 6 вектор напряжений У опережает вектор тока 1 на 90'. Комплекс ЗДС са моиндукции Е~ находится в противофазе с комплексом напряжений К Графики мгновенных значений ~; и, р изображены на рис. 3.6,8. Мгновенная мощность проходит через нулевое значение, когда через нуль проходит либо г, либо и. За первую четверть периода, когда и и ~ положительны, р также положительна.

Площадь, ограниченная кривой р и осью абсцисс за это время, представляет собой энергию, которая взята от источника питания на создание энергии магнитного поля в индуктивной катушке. Во вторую четверть периода, когда ток в цепи уменьшается от максимума до нуля, энергия магнитного поля отдается обратно источнику питания, при этом мгновенная мощность отрицательна. За третью четверть периода у источника снова забирается энергия, за четвертую отдается и т.

д. Следовательно, энергия периодически то забирается индуктивной катушкой от источника, то отдается ему обратно. Падение напряжения на реальной индуктивной катушке равно сумме напряжений на Е и на И (рис. 3.6, д). Как видно из этого рисунка, угол между напряжением У на катушке и током 7 равен 90' — 6, причем 1д6 = Й/ьЕ = 1/1',1~, где 1~ — добротность реальной индуктивной катушки. Чем больше (,1~, тем меньше о. то по синусоидальному закону будет меняться и заряд д конденсатора: д = Си = СУ яппи|, т.

е. конденсатор будет периодически перезаряжаться. Периодическая перезарядка конденсатора сопровождается протеканием через него зарядного тока: 1 1= — = озСЬ соьв1= яп(Ы+90 ). М ~ 1/о>С (3.19а) Из сопоставления (3.19) и (3.19а) видно, что ток через конденсатор опережает по фазе напряжение на конденсаторе на 90'. Поэтому на векторной диаграмме (рис.

3.7, б) вектор I опережает вектор напряжения У на90'.Амплитуда тока/ равна амплитуденапряжения У, деленной на емкостное сопротивление: 1 (3.20) ~~С' (3.21) Емкостное сопротивление обратно пропорционально частоте. Единица емкостного сопротивления — Ом. Графики мгновенных значений и, г, р изображены на рис. 3.7, в. Мгновенная мощность и ~ (3.22) р = яп2ь|. 2 За первую четверть периода конденсатор потребляет от источника питания энергию, которая идет на создание электрического ф 3.9.

Емкостный элемент в цепи синусоидального тока. Емкостный элемент — это идеализированный схемный элемент, позволяющий учесть протекание токов смещения и явление накопления энергии в электрическом поле реальных элементов электрической цепи. Его характеризует зависимость заряда О от напряжения и (кулон-вольтная характеристика) или емкость С =д/и. Графическое изображение емкостного элемента такое же, что и изображение конденсатора — рис. 3.7, а.

Положительные направления отсчета и и г совпадают. Если приложенное к конденсатору напряжение и не изменяется во времени, то заряд о = Си на одной его обкладке и заряд — д на другой (С вЂ” емкость конденсатора) неизменны, и ток через конденсатор не проходит (~ =дд/Ф =О). Если же напряжение на конденсаторе изменяется во времени, например по синусоидальному закону (рис. 3.7, а): и = У япсо1, (3.19) поля в нем. Во вторую четверть периода напряжение на конденсаторе уменьшается от максимума до нуля, и запасенная в электрическом поле энергия отдается источнику (мгновенная мощность отрицательна).

За третью четверть периода энергия снова запасается, за четвертую отдается и т. д. Если проинтегрировать по времени обе части равенства дй ~=С вЂ”, И* то получим (3.24) 1( и= — ( ЙИ. С3 Равенство (3.24) позволяет определить напряжение на конден-: саторе через ток по конденсатору. Ток через реальный конденсатор, пластины которого разделены твердым или жидким диэлектриком, ~ в котором имеются тепловые потери, обусловленные вязким трением дипольных молекул и другими причинами, в.

расчете. можно учесть по схеме (рис. 3.7, г). Результирующий ток ! = 1, + 1,. Ток 1, опережает У на 90, а ток 7~ совпадает с У по фазе (рис. 3.7, д). Угол б называют углом потерь;1~Ь = 1/~с, где ~с — добротность конденсатора, 1~ф зависит от типа диэлектрика и от частоты и изменяется от нескольких секунд до нескольких градусов. (3.25) — ~ = 1 ° е — /®' = е — ~~о. (3.26) Тогда А~ = Ае~~ае~® = Ае~~~а+о>; — Ау = Ае~~ е ~" = Ае~~~а — "о ).

Из (3.27) следует, что вектор ~А, по модулю равный А, составляет с осью +1 комплексной плоскости угол ~р, + 90', т. е. повернут против часовой стрелки на 90' по отношению к вектору А. Согласно (3.28) умножение вектора А на — у дает вектор, по модулю равный А, но повернутый по отношению к нему на 90' по часовой стрелке. 90 ф З.Ю. Умножение вектора иа у и — у. Пусть есть некоторый вектор А =Ае'~а (рис. 3.8), Умножение его на ~ дает вектор, по модулю равный А, но повернутый в сторону опережения (против часовой стрелки, по отношению к исходному вектору А на 90 . Умножение А .а — ~ поворачивает вектор А на 90' в сторону отставания (по часовой стрелке) также без изменения его модуля. Чтобы,; убедиться в этом, представим векторы у и — у в показательной форме: Рис.

3.9 ф 3.11. Основы символического метода расчета цепей синусоидального тока. Очень широкое распространение на практике получил символический, или комплексный, метод расчета цепей синусаидального тока. Сущность символического метода расчета состоит в том, что при синусоидальном токе можно перейти от уравнений, составленных для мгновенных значений и являющихся дифференциальными уравнениями1см., например, (2.29)~„к алгебраическим уравнениям, составленным относительно комплексов тока и ЭДС. Этот переход основан на том, что в уравнении, составленном по законам Кирхгофа для установившегося процесса, мгновенное значение тока ~ заменяют комплексной амплитудой тока 1; мгновенное значение напряжения на резисторе сопротивлением Й, равное Ж,— комплексом И, по фазе совпадающим с током 1; мгновенное значе- Й ние напряжения на индуктивной катушке и = А — — комплексом и 7 уюЕ, опережающим ток на 90', мгновенное значение напряжения 1 г„ ! на конденсаторе ис = —.~~и — комплексом (, отстающим от то— С ьС ка на 90; мгновенное значение ЭДС е — ко плексом Е .

Справедй ливость замены и = ~ — на 1 (ь1. следует из 5 3.7 и 3.8, д и В $ 3.8 было показано, что амплитуда напряжения на Л равна произведению амплитуды тока на Х~ = ь~.. Множитель ~ свидетельствует о том, что вектор напряжения на индуктивной катушке опережает вектор тока на 90 . Аналогично, из ф 3.9 следует, что амплитуда напряжения на конденсаторе равна амплитуде тока, умноженной на Хс= 1/ыС. Отставание напряжения на конденсаторе от протекающего по ней тока на 90' объясняет наличие множителя — ~. Например, для схемы рис, 3 9 уравнение для мгновенных значений можно записать так и+и+и =е, нли (3.29) Запишем его в комплексной форме: ! К+! !шЕ+! — =Е . Вынесем 1„за скобку: (3.30) ! Я+!ьŠ— — =Е .