Bessonov1 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 13

2.35 ного контура, а столбцы — номеру ветви. Главные контуры при составлении матрицы [К,1 обходят в направлении стрелки на ветви связи соответствующего контура. Если при таком обходе контура направление стрелки на какой-либо ветви этого контура совпадает с направлением обхода контура, то в соответствующую ячейку [К„1 ставят 1, если не совпадает, то — 1, если ветвь не обходится, то О. Для контуров 4, 5, б рис.

2.35: Ветви Б общем виде матрица [К,~ может быть представлена в виде двух подматриц и имеет следующую нумерацию строк и столбцов. Контуры 1-(У вЂ” 1) У-в к,: к У Так как номер строки(номер контура) в[К,Д определяется номером его ветви связи и обход контура осуществляется в соответствии со стрелкой на ветви связи, то каждая строка подматрицы [К,,] имеет только один элемент 1, расположенный на ее главной диагонали, т. е. [К,,1 представляет собой единичную матрицу [1$ а [Ю='[К,:1 1. ф 2.32.

Запись уравнений по законам Кирхгофа с помощью топо- логических матриц. Совокупность уравнений по первому закону Кирхгофа может быть записана следующим образом: [А1[Ц = О, где [Ц вЂ” матрица-столбец (транспони рова иная м а три ца-строка) токов ветвей. Для графа рис. 2.33, г Контуры 1 2 3 о 5 Π— 1 б ! 1 — 1 456 1ОО О1О оо ! 00-! 0-1 — 1!0 0 ! 0 00 ! 0-! (РА~з~4Ь5Ч' = 0. где ~0,) — матрица-столбец(транспонированная матрица-строка) напряжения ветвей.

Для графа рис. 2.33, г 0 !00 0 — 1 1 010 (Ю!Ц0зЦИзЮ6! = О. ! 1 — 1001 $2.33. Обобщенная ветвь электрической цепи. В литературе, использующей матрично-топологическое направление теории цепей, вводят понятие обобщенной ветви электрической цепи (рис. 2.36). Она образована двумя параллельными ветвями. Первая состоит из сопротивления ветви Й, (проводимость д,) и источника ЭДС Е„вторая — из источника тока У„. Для принятых на рис. 2.36 положительных направлений токов ток через сопротивление Й, равен /, + У„. Напряжение между точками а и Ь ветви обозначим ~l,.

Тогда, по закону Ома для участка цепи с ЭДС, О, + Е„=- И„,(! + Х„) (2.48) или (1„+ У„) = д„(0„+ Е,) (2.49) $2.34. Вывод уравнений метода контурных токов с помощью топологических матриц. Уравнение (2.48) справедливо для любой обобщенной ветви схемы, а также и для совокупности ветвей, входящих в любой главный контур. Запишем совокупность уравнений (2,48) для всех ветвей, входящих во все главные контуры: РЧ РЛ + ГК,ИЕ.) = ГК,1 ИМРЕ + [УЛ, где й! 1~2 Ж,)= — диагональная матрица сопротивлений ветвей Учтем, что по второму закону Кирхгофа сумма напряжений любого замкнутого контура электрической цепи равна нулю, поэтому Совокупность уравнений по второму закону Кирхгофа может быть записана так: [К„Ц~I„~ =О, (2.47) [К„) [У„[ = О.

Кроме того, матрица-столбец токов ветвей [Ц может быть записана через матрицу-столбец контурных токов [1„] и транспонированную матрицу главных контуров [К„['. И=РЧ'[1 1- (2.51) При этом полагаем, что контурный ток каждого главного конту- ! ра направлен в соответствии со стрелкой на ветви связи этого контура. Контурные токи 1,„1, 1, схемы рис. 2.34, г показаны на рис. 2.35. Для этой схемы !44 ~66 ~66 Отсюда 11 = 144+ 1м* 12= 144 166+ 166 13 — 166 166 14 144' 16 166> 16 166 Подставив (2.51) в (2,50), получим [К,) ИЛ [К Х[1ьЛ = [К,ИЕ.) — РЧ ИЛ1.4.

(2*52) Произведение Щ Щ[К„[' = ٠— это матрица контурных сопротивлений метода контурных токов. Так как контуры нумеруем от у до в,то !~уу ~у,у+ ! ... ~у,в !~у+ 1,у ~у+ 1,у 11". ~у+ 1,в '!~в,у ~в,у+1 ' ~в в где Й вЂ” полное сопротивление т-контура; Я „— сопротивление ветви (ветвей) смежной между т- и и-контурами; берется со знаком плюс, если контурные токи 1 и 1„„текут через смежную ветвь согласно, и со знаком минус, если встречно. Для рис. 2.34, г, полагая сопротивления ветвей Й! — Й„имеем ~! + !~2+ ~4 ~!2 й! + Я2 ~2 !~2+ ~!6+ ~3 Ж2+ ~3) ~1 (~2+ ~13) ~! + ~2+ ~3+ !~б !~44 ~46 ~46 Я= !~64 !466 ~66 !~64 ~66 ~66 Запишем решение (2.52) относительно [1, [: [1. Ъ = [[К1И.1 [К Г) ' [К,К[~„[ — И„1 [1Л.

(2 53) 1! 12 16 16 о 1 — ! 1 О 1 — ! о о о ~ о а о ф2.35. Вывод уравнений метода узловых потенциалов с помощь)о топологических матриц'. Совокупность уравнений (2.49) для 1 узлов схемы заменим матричным уравнением [А И1„]+ [А ИУ.] = [А ИаЛ ~1.]+ [А Иа.ИЕ.]. По первому закону Кирхгофа, [А] [Ц = О. Матрицу-столбец напряжений ветвей [У,] можно записать через транспонированную матрицу [А1и матрицу-столбец потенциалов незаземленных узлов Я, т. е. в виде [ У„] = [А]'[гр].

Для рис. 2.34, г, полагая узел 4 заземленным, имеем Действительно, 'р2 Ч'3 ~4= 'Р~ )р . Таким образом, система уравнений метода узловых потенциалов запишется так: (2.54) [АИаЛА]'[)р] = — [АИаЛ Е„]+ [А1[ У,], где[А] [д,][А]" = [6] — матрица узловых проводимостей метода узловых потенциалов. При заземленном и-узле 6п 6гз [6] = 621 622 ° 62,у — 1 6 6 "6 у — 1) у — 12 ''' у — 1у — 1 Для рис. 2.33, б 611 612 613 621 622 623 631 632 633 в!+Ю4+вб в) Й) В)+в2+аз вз — Ив — й'3 Из+ Из+ Иа $2.36.

Соотношения между топологическими матрицами. Полагаем, что при составлении матриц [А], [ф.], [К~] выполнены условия, оговоренные в $2.31. Тогда Ветви 1...д — 1р...Ь Ветви 1...Ь вЂ” «,у...~ Узлы [А] = 1 Сечения 1 %,]= Ь 1) '11 '12 1) 1 )~2 Ь вЂ” 1) 1 1)1а)рично-тополи) ические методы систематизированы в [18[. 61 22 63 4 ~/ 6в 1-1 1 о о о — о о о — о 1 ... (у — !) : у ...

Ь Контуры [К„1= К,: 1 Представим матрицу-столбец токов ветвей [/ ] в виде подматрицы токов ветвей дерева [!д] и подматрицы токов ветвей связи [Ц ! Р.] = Матрицу-столбец напряжений ветвей также представим в виде подматрицы напря- жений ветвей дерева[Од]и подматрицы напряжений ветвей связи [141 ['] (2.56) = [[][~ ]+1~2][~е]= О- По второму закону Кирхгофа, [К,] [О„] = О, поэтому ° ] (2.57) =[К~][0х]+[!]!Я=О .

и, Учтем, что столбец [К,] соответствует строкам [ГЦ, если элементов изменить знаки. Следовательно, [К~] = — %А' и %~1 = — [К~]'. у всех ненулевых (2.58) Обозначим (2.59) [Ц=[К,[= — [д ]'. Тогда (2.60) (2.61) !Кг] 1~! ~1 %„1 = [1,' — ~'1. Умножив(2.%) слева на[А] 1, получим !~„1 = — [АгГ !А2][Ч- (2.62) По первому закону Кирхгофа [А][7 1= О или [А,] [/„1+ [Ав] [Ц = О. Алгебраическая сумма токов в любом сечении схемы равна нулю, поэтому [Щ [Ц = О. Следовательно, Но из(2.56) имеем [11[/д[ = — [Щ Щ, поэтому [Щ = [А [-'[А,].

(2.63) дадим обоснование еще одному соотношению Зч [А[[7(,[' = О. (2.64) Рнс. 2З7 В каждой строке этого матричного произведения складываются произведения элементов (-строки ан на элементы й-столбца Ьц. Произведение анЬа не будет нулем, если 1 ветвь подходит к узлу( н входит в контур й (рис. 2.37). Но в контуре Ь узел ~ соединен не с одним, а с двумя узлами ветвямн т и /, поэтому всегда будет еще ненулевое произведение аьдЬд,д, отвечающее ветви лч, независимо от того, как направлены стрелки на ветвях и каково направление обхода контура й. Следовательно, каждая строка (2.64) анЬц + аадЬьд = О. Соотношения между топологическими матрицами существенны для формализации расчета цепей на ЭВМ. Например, записав [Я = — [Ц', определяем [Р[ и по ней — Щ.

ф 2.37. Сопоставление матрично-топологического и традиционного направлений теории цепей. В ф 2.29 указывалось, что основными методами расчета электрических цепей являются МУП и МКТ. Оба эти метода могут быть применены в своей традиционной форме записи: 16~~ср3= ~У „[ для МУП и Я~~1„~1= ~Е~„Д для МКТ либо в матрично-топологической в виде уравнений (2.52) и (2.54). Для задач, встречающихся в курсе ТОЭ, составление систем уравнений традиционным способом (см.

ф 2.13; 2.22), осуществляемое непосредственно по схеме, значительно проще, быстрее, удобнее и надежнее. Проще и быстрее выполняется и проверка составленных уравнений. Что касается решения составленных уравнений, то системы с относительно небольшим числом уравнений, записанные в традиционной форме, могут быть решены с помощью микрокалькулятора (или логарифмической линейки. Системы с большим числом уравнений в том и другом случае решают с помощью ЭВМ.

Положительная сторона матрично-топологического направле,,ния теории цепей заключается в большой степени упорядоченности составления систем уравнений. Если ввести определенную иерар(,хию ветвей электрических цепей по наличию и отсутствию в них источников питания, индуктивных и емкостных элементов, индук,тивных сечений и емкостных контуров, то могут быть составлены алгоритмы, позволяющие не только составлять системы уравнений с помощью ЭВМ, но и осуществлять с их помощью так называемое 1'машинное проектирование. Под машинным проектированием понимают числовые расчеты на ЭВМ относительно сложных систем на оптимальный атом или ином смысле режим их работы.

Совокупность вопросов, относящихся к машинному проектированию, в настоящее время усиленно разрабатывается, однако многие из них 79 выходят за рамки курса ТОЗ и составляют предмет специальных курсов. В заключение можно сказать, что традиционное и матрично-топологическое направления теории цепей дополняют друг друга и потому студент должен владеть обоими направлениями. ]]ри выполнении повседневных инженерных расчетов и решении задач, встречающихся в курсе ТОЭ, целесообразнее пользоваться уравнениями теории цепей в их традиционной форме записи, при машинном проектировании — матрично-топологической форме. Вопросы дпя семопрояерин 1.

Определите понятия "электрическая цепь", "электрическая схема'*, "узел", "устраиимый узел'*, "ветвь", "источник ЭДС" и "источник тока". 2. Как выбирают положительные направления для токов ветвей и как связаны с ними положительные наоравления нанряжений на сопротивлениях? 3. Что понимают иод ВАХ? 4. Нарисуйте ВАХ реального источника, источника ЭДС, источника тока, линейного резистора. 5. Сформулируйте закон Ома для участка цени с ЭДС, первый и второй законы Кирхгофа.

Запишите в буквенном виде, сколько уравнений следует составлять яо первому и сколько по второму закону Кирхгофа. Для двух законов Кирхгофа лайте но две формулировки. 6. Чем следует руководствоваться нри выборе контуров, для которых следует составлять уравнения по второму закону Кирхгофа.