Bessonov1 (1063915), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Следовательно, для схемы рис. 3.9 Е !!+ !'ь|. —— ~~С (3.31) Это уравнение позволяет найти комплексную амплитуду тока ! через комплексную амплитуду ЭДС Е и сопротивления цепи й, (оЕ и 1/еС. Метод называют символическим потому, что токи и напряжения заменяют их комплексными изображениями или символами. Так, К! — это изображение или символ падения напряжения И; й !аЫ вЂ” изображение или символ падения напряжения и = ~.—; РП <и' — ! — изображение или символ падения напряжения на конден! Ш 1 саторе — ~ йй. С Как н всякий комплекс, У можно записать в показательной форме. Модуль комплексного сопротивления принято обозначать через а. Точку над Е не ставят, потому что принято ставить ее только над такими комплекснымн величинами, которые отображают синусоидальные функции времени. Уравнение (З.ЗО) можно записать так: 1 Х = Е .
Разделим обе его части на ~Г2и перейдем от комплексных амплитуд !„и Е к комплексам действующих значений ! и Е: 1 = Е/У. ф 3.12. Комплексное сопротивление. Закон Ома для цепи синусоидального тока. Множитель Я + !ь!. — (!/ьС) в уравнении (З.ЗО) представляет собой комплекс, имеет размерность сопротивления н обозначается черезов. 1.'го называют комплексным сопротивлением: ! (3.32) Х=ге~= Й+ !ьŠ— —. ьС' Уравнение (3.30) представляет собой закон Ома для цепи синусоидального тока.
В общем случае У имеет некоторую действительную часть й и некоторую мнимую часть ~Х: У=Я+ )Х, (3.34) где Я вЂ” активное сопротивление; Х вЂ” реактивное сопротивление. Для схемы (см. рис. 3.9) реактивное сопротивление Х = ь1. — 1/ьС. ф 3.13. Комплексная проводимость. Под комплексной проводимостью У понимают величину, обратную комплексному сопротивлению Х: У = 1/Х = д — уЬ = уе р~.
(3.35) Единица комплексной проводимости — См (Ом '). Действительную часть ее обозначают через д, мнимую — через Ь. Так как 1 ! й — уХ й . Х вЂ” д — 1Ь. у ~+ р' ~2+ Л2 ~2+ у2 ~2+ у2 то (3.36) Если Х положительно, то и Ь положительно. При Х отрицательном Ь также отрицательно. При использовании комплексной проводимости закон Ома (3.33) записывают так: 1= УУ, (3.33а ) ~ или ь ! = Уд — у И~ = 7„+ 7„ ( где 7„— активная составляющая тока; 7, — реактивная составляющая тока; (/ — напряжение на участке цепи„сопротивление которого равно У, г ф 3.14.
Треугольник сопротивлений и треугольник проводимостей. Из (3.34) следует, что модуль комплексного сопротивления .ф2 + у2 (3.37) Следовательно, а можно представить как гипотенузу примоугольного треугольника (рис. 3.10) — треугольника сопротивлений, один катет которого равен й, другой — Х. При этом 1д(р = Х/Я. (3.38) Рис. 3.10 Рис.
3.11 Аналогичным об),! гом модуль комплексной проводимости в соответствии с (3.36) у = !/д2+ Ь2 Следовательно, д есть гипотенуза прямоугольного треугольника (рис. 3.11), катетами которого являются активная р и реактивная Ь проводимости: Мр = Ь/а. (3.39) ф 3.!5. Работа с комплексными числами. При расчете цепей переменного тока приходится иметь дело 4 комплексными числами: сопротивление участка цепи нли цепи в целом — это комплекс; проводимость — комплекс; ток, напряжение, ЭДС— комплексы.
Для нахождения тока по закону Ом а нужно комплекс ЗДС разделить на комплекс сопротивления. Из курса математики известно, что комплексное число можно представить в трех формах записи: алгебраической а + !Ь, показательной се!т и тригонометрической ссоз!р + ~сз!и!р. Сложение двух и болынего числа комплексов удобнее производить, пользуясь алгебраической формой записи. При этом отдельно складываются их действительные и мнимые части: (а ! + (Ь!) + (и2 + ~Ь2) + (аз — Из) = (и! + п2 + пз) + 1(Ь! + Ь2 — Ьз). Деление и умножение комплексных чисел целесообразно производить, пользуясь показательной формой записи.
Например, нужно разделить комплекс с е!т! на комплекс с2е'т2. В результате деления будет получен комплекс с!с!т! с, с е!тз = — = — е!!т! чу. 'з с ейх2 с2 2 Модуль результирующего комплекса сз равен частному от деления с! на с2, а аргумент !рз — — <р! — гр2. При умножении двух комплексов с!е!ч! и с2епг2 результирующий комплекс с е!т4 = с е!Ч'!с е!'Г2 = с с е!!т!+'Г2!. 4 ! 2 ! 2 При расчетах электрических цепей часто возникает необходимость в переходе от алгебраической формы записи комплекса к показательной или наоборот.
Треугольник сопротивлений дает графическую интерпретацию связи между модулем полного сопротивления а и активным и реактивным сопротивлениями цепи, треугольник проводимостей — интерпретацию связи между модулем полной проводимости д и ее активной и реактивной составляющими. е) Пусть задано комплексное число а + уЬ = сеУт. Здесь с=~а~-)- ь~,!щ= ь/и,а = сс~щ,ь= з~пр. Чтобы не совершить ошибку при записи показательной формы комплекса, рекомендуется сначала качественно изобразить заданный в алгебраической форме комплекс иа комплексной плоскости, что позволит правильно выразить угол <р между осью + 1 и вектором. Углы, откладываемые против часовой стрелки от оси + 1, считают положительными, по часовой стрелке — отрицательными.
Пример 30. Перевести в показательную форму следующие комплексы: а) 3 + +2у; б)2 + Зу; в)4 — 5у; г) — 6 — 2у; д) — 0,2+ 0,4у; е) 10 — у0,8. Решение пояснено на рис. 3.12, а — е: а)3+ 2у = 3,6е~~ ~~; б) 2+ Зу = 3,6еУ в)4 — 5у'=6,4е У~~ ~;г) — 6 — 2у =6,32е Ую~ ~ =6,32еУ~;д) — 0,2+0,4у = 0 448еУпь зь', е) 10 0 8у 10е — У4 4о ф 3.16. Законы Кирхгофа в символической форме записи. По первому закону Кирхгофа, алгебраическая сумма мгновенных значений токов, сходящихся в любом узле схемы, равна нулю: 0 (3.40) Подставив вместо у'„в(3.40) У,еУ"' и вынеся еУ ' за скобку, получим еу""» у„= О.
Так как еу"' не равно нулю при любом 1, то ~3.40а) Уравнение 13.40а) представляет собой первый закон Кирхгофа в символической форме записи. Для замкнутого контура сколь угодно сложной электрической цепи синусоидального тока можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов, напряжений и ЭДС. Пусть замкнутый контур содержит п ветвей и каждая й-ветвь в общем случае включает в себя источник ЭДС е,, резистор й„индук-.
тивный ~.„и емкостный С элементы, по которым протекает ток ~,, Тогда по второму закону Кирхгофа, и п ! "'~ЦЙ„+ Е~ — + —,~! Ж) = ~е,. й= ! Ф=! (3.41) Но каждое слагаемое левой части уравнения в соответствии с ~ 3.12 можно заменить на 1,Х,, а каждое слагаемое правой части— на Е,. Поэтому уравнение (3.41) переходит в л л ~~,г„=~ Е,. й= ! й=! Уравнение(3.41а) представляет собой второй закон Кирхгофа в символической форме записи. 96 $ 3.! 7. Применение к расчету цепей синусоидального тока методов, рассмотренных в главе «Электрические цепи постоянного тока». Для анализа и расчета электрических цепей постоянного тока разработан ряд методов и приемов, облегчающих решение по сравнению с решением системы уравнений при непосредственном ис-' пользовании законов Кирхгофа.
Из гл. 2 известно, что к числу таких методов относятся методы контурных токов, узловых потенциалов, эквивалентного генератора и т. д. Известно также, что окончательные расчетные формулы этих методов получают в результате выводов, в основу которых положены первый и второй законы Кирхгофа. Поскольку первый и второй законы Кирхгофа справедливы и для цепей синусоидального тока, можно было бы записать уравнения для мгновенных значений величин цепей синусоидального тока, перейти от них к уравнениям в комплексах и затем повторить вывод всех формул гл. 2 для цепей синусоидального тока. Понятно, что проделывать выводы заново нет необходимости. В том случае, когда отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока не связаны между собой магнитно, все расчетные формулы гл.
2 пригодны и для расчета цепей синусоидального тока, если в этих формулах вместо постоянного тока 1 подставить комплекс тока 1, вместо проводимости д — комплексную проводимость У, вместо сопротивления Я вЂ” комплексное сопротивление У и вместо постоянной ЭДС Е вЂ” комплексную ЭДС Е. Если же отдельные ветви электрической цепи синусоидального тока связаны друг с другом магнитно(это имеет место при наличии взаимоиндукции), то падение напряжения на каком-либо участке цепи зависит не только от тока данной ветви, но и от токов тех ветвей, с которыми данная ветвь связана магнитно. Расчет электрических цепей синусоидального тока при наличии в них магнитно- связанных ветвей приобретает ряд особенностей, которые не могут быть учтены, если в формулах гл. 2 непосредственно заменить Е на ~, Я на У и Р на У. Особенности расчета магнитно-связанных цепей рассмотрены в ~ 3.36, ф3.18.
Применение векторных диаграмм при расчетеэлектрических цепей синусоидального тока. Ток и напряжения на различных участках электрической цепи синусоидального тока, как правило, по фазе не совпадают. Наглядное представление о фазовом расположении различных векторов дает векторная диаграмма токов и напряжений. Аналитические расчеты электрических цепей синусоидального тока рекомендуется сопровождать построением векторных диаграмм, чтобы иметь возможность качественно контролировать эти расчеты. Качественный контроль заключается в сравнении направлений различных векторов на комплексной плоскости, которые получают при аналитическом расчете, с направлением этих векторов исходя из физических соображений. Например, на векторной диаграмме напряжение сl должно опережать ток 1 на 90', а напряжение Ус— отставать от тока / на 90 .
Если аналитический расчет дает результаты, не совпадающие с такими очевидными положениями, то, следовательно, в него вкралась ошибка. Кроме того, векторную диаграмму часто используют и как средство расчета, например в методе пропорциональных величин. Пример 31. В схеме 1рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
