Bessonov1 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 17

3.12, а) е= 141з1пга| В; Я~ = 3 Ом; )~д =2 Ом; Е = 0,00955 Гн. Угловая частота в = 314 рад/с. Определить ток и напряжение на элементах кепи. р е ш е н и е. Запишем уравнение для мгновенных значений дк 1(Й, + Й~)+ Š— = е. 01 Перейдем от него к уравнению в комплексах: /()~, + Ю,,) + / и = Е и = Е, где 2 = Р~ + йа + /соЕ = 3 + 2 + /314 0,00955 = 5 + Зу = 5,82е1з1 Комплекс действующего значения ЭДС Е = 141/~2 = !00 В.

Ток 7 = Е/Х = 100/5,8е~ 1 = !7,2е ~ ~ А. Напряжения на 1~~ 1/я|=Бпь=!К~=51,бе 1' В, на й~ ущ=1/а,=%~=34,4е 1 В; — )з1 — 'а1' "а Е 1/с = 17,д = уьЕ/ = 3/ ° 17,2е ~ = 51,бе) В. Векторная диаграмма изображена на рнс. 3 13, б. Вектор Е направлен пооси + 1.

Вектор тока 1 отстает от него на 31'. 4 зак. с4з Рис. 3 !3 Пример 32. Решить задачу примера 31 методом пропорциональных величин. Р е ш е н и е. Зададимся током в цепи в 1 А и направим его на векторнойдиаграмме(рис. 3.13, и) по оси+ 1(У = 1). Напряж ние на Я( совпадает по фазе с током и численно равно! .3 = 3 В. Напряжение на Р~ также совпадает с током и равно 2 В. Напряжение на Е равно 3 В иопережает ток на90'. Из и ямоугольного треугольника следует, что прн токе 1 = 1 А на входе Е = 5 + 3 = 5,82 В. Так как на входе действует ЭДС в 100/5,82 = 17,2 раза больше, то все токи и напряжения должны быть умножены на коэффициент 17,2. На рис.

13.3, в все векторы повернуты на 31' против часовой стрелки по сравнению с соответствующими векторами на рис. 3.13, б. Ясно, что взаимное расположение векторов на диаграмме при этом не изменилось. Пример 33. В цепи рис. 3.14, а Я = 4 Ом; (О =!О рад/с. Определить емкость конденсатора С, если Е = 10мВ,7 = 2мА. Р е ш е н и е. Комплексное сопротивление цепи Х = хх' — 1/ь3С, его модуль л = 1131 + (1,~~ Е По закону Ом а 1 = Е/а, отсюда а = — = 10. 10 З/2 10 з = 5 Ом, Слаловаа л но, Хо 1Х~С=Я' — Ю~ =ф~ — а' =3 Ом; С 1,'(10 3(— = 1/(10 . 3) = 3,33 мкФ.

Векторная диаграмма изображена на рис. 3.14, б. Пример 34. На участке аб разветвленной цепи рис. 3.15, а параллельно включены индуктивное сопротивление Х~ — — (аЕ и активное сопротивление )х(, численно рав ное Х~. Показание амперметра А2 — — 5 А. Определить показание амперметра А,. полагая сопротивление амперметров настолько малыми, что их можно не учитывать. Рис. 3.15 Рис. 3.14 Рис. 3.16 Р е ш е.н и е. На рис. 3.15, б качественно построим векторную диаграмму. Напряжение 0 ь совпадает по фазе с током 1~. Ток 7, отстает от тока Iх на 90' н равен ему по величине. Ток в неразветвленной части схемы 1з= 7~ + 1~.

Модуль тока 7 =5~г2 = 7,05 А. АмпеРметР Аз покажет 7,05 А. Пример 35. Построить векторную диаграмму токов и напряжений для схемы рис. 3.16, и, если 1! — — 1 А, й! —— 1О Ом, ы7.! — — 10 Ом, 1/ыС = 14,1 Ом; в7з — — 20 Ом, Я~ — — 2,5 Ом. Р е ш е н и е. Обозначим токи и примем положительные направления для ннх в соответствии с рис. 3.16, а.

Выберем масштаб для токов т~ — — 0,5 А/см и для напряжений щ = 4 В/см. Ток!! направим по оси+ 1(рис. 3.16, б). Падение напряжения бя! — — 10 В и по фазе совпадает с током 7п Падение напряжения в индуктивном сопротивлении в7. также равно 10 В, но опережает ток 7! на 90'. Геометрическая сумма ()я, + О~, по модулю равна !0~!2 = 14,1 В. Емкостный ток /, опережает это напряжение на 90'. Модуль тока 7 = 14,1/14,1 = 1 А. Ток в неразветвленной части цепи равен геометрической сумме токош !з = /~ + 7~. Модуль его равен 0,8 А (найден графически).

Падение напряжения на сопротивлении йз равно 2 В и совпадает по фазе с током 7з. Падение напряжения на индуктивности 7.з опережает ток 7з на 90' и численно равно 0,8-20 = 16 В. Напряжение на входе схемы равно ЭДС и составляет около 18,3 В. Пример 36.

Решить задачу, обратную рассмотренной в примере 35. В схеме рис. 3.16, а опытным путем найдены значения токов /и 7~ и 7з (в ветви схемы'включили амперметры и записали их показания), 1! —— 1 А, l~ — — 1 А, Уз — — 0,8 А и определены три напряжения: напряжение на входе схемы 0 = Е = !8,3 В, напряжение на конденсаторе 0 = 14,1 В (оно же напряжение на первой ветви) и напряжение на третьей ветви (на Яз и 7.з) Уз ж 16 В. Напряжения были определены путем подключения вольтметра поочередйзо к зажимам а и е, а и с, е и с. По опытным данным (по значениям трех токов и трех напряжений) построить векторную диаграмму.

1' е ш е н и е. На рис.3.16, в отложим вектор (/с, по модулю равный 14,4 В. Для сопоставления с рис.3.16, б расположим его на диаграмме так же, как он расположен на Рис. 3.16, б. Изобразим на диаграмме ток 7. Он на 90' опережает напряжение У н по модУ~ю Равен 1 А. После этого постРоим на диагРам ме токи 7! и 7з, воспользовавшись тем что три тока (7~ (з и 7з) образуют замкнутый треугольник (рис. 3.16, б). Для построения треугольника потрем сторонам (т.

е. фактически для определения третьей вершины его) из конца вектора тока (из одной вершины треугольника) подведем дугу радиусом, равным току 1и а из начала вектора тока 1~(т. е. из второй вершины треугольника) проводим дугу радиусом, равным току 1з. Точка пересечения этих дуг дает искомую третью вершину треугольника, т. е, точку, в которой оканчиваются векторы токов 1з и 1п После того как диаграмме определено положение вектора тока 1з, можно изобразить на ней векторы напряжения (1з и ЭДС Е. Напряжения Ус 11з и ЗДС Е также образуют замкнутый треугольник.

Его построение осуществляется аналогично построению треугольников токов. Йз конца вектора Ос проводим дугу радиусом, равным (/з, а из начала вектора 11с — дугу радиусом, равным Е. Дуги пересекаются в точках е н 1. Так как напряжение Оз представляет собой падение напряжения от тока 1з на последовательно соединенных 1«з и Ез„то оно по фазе должно опережать ток 1з, а не отставать от него. Поэтому из точек е и 1 выбираем точку е (если бы выбрали точку 1, то.в этом случае напряжение 11з — пунктир на рис. 3.16, в — отставало бы от тока 1з, а не опережало его). В заключение отметим, что в треугольнике токов дуги тоже пересекаются в двух точках, но вторая (лишняя) точка на рис. 3.! б, и не показана. ф 3.19.

Изображение разности потенциалов на комплексной плоскости. Потенциалы цепи переменного тока являются комплексными числами. На комплексной плоскости комплексное число можно изображать либо точкой, координаты которой равны действительной и мнимой частям комплексного потенциала, либо вектором, направленным от начала координат к данной точке плоскости. На рис. 3.17 представлены два вектора, изображающие собой комплексные потенциалы: «р, = — 2 + 51 и «р» = 4 + 1.

По определению, разность потенциалов ~l„= «р, — «р» = = — 6+ 4у; У„изобразится вектором, направленным от Ь к а. Первый индекс у напряжения (в нашем примере индекс а) указывает, к какой точке следует направить стрелку вектора напряжения. Естественно, что ~l„= — с/ ф 3.20, Топографическая диаграмма. Каждая точка электрической схемы, в которой соединяются элементы схемы, имеет свое значение комплексного потенциала. Совокупность точек комплексной плоскости, изображающих комплексные потенциалы одноименных точек электрической схемы, называют топографической диаграммой.

Термин «топографическая» объясняется тем, что диаграмма напоминает топографическую карту местности, где каждой точке местности отвечает определенная точка карты. Расстояние между двумя точками на местности можно определить, измерив расстояние между одноименными точками на карте. Аналогичные измерения можно проводить и на топографической диаграмме. Напряжение между любыми двумя точками электрической схемы, например между точками а и Ь, по значению и направлению определяется вектором, проведенным на топографической диаграмме от точки Ь к точке а, 100 Рис.

3.19 Рис. 3.18 Рис. 3.17 При построении топографической диаграммы, как и потенциальной (см. ф 2.10), потенциал любой точки схемы может быть принят равным нулю. На диаграмме эту точку помещают в начало координат. Тогда положение остальных точек схемы на диаграмме определяется параметрами цепи, ЭДС и токами ветвей. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 37. По данным примера 35 построить топографическую диаграмму для схемы рис. 3,16, а. Р е ш е н и е. Обозначим буквами а, Ь, с, ... точки схемы рис. 3.16, а, которые хотим отобразить на топографическои диаграмме, Примем потенциал точки и равным нулю: г)~ = О. Выразим потенциал точки Ь через потенциал точки а: Фб Ч'а + УР1 Ч'а + !О. Знак плюс перед слагаемым У!К, обусловлен тем, что при переходе от точки а к точке Ь перемещение происходит навстречу току У! (при этом потенциал увеличивается на У!й!). Точка Ь на диаграмме имеет координату по оси абсцисс + 10. Аналогично, ~р = ~рб+ У|уо)У.1 — — 10+ у10; Ч'! = Чс+ указ' Ч~е = %1 + узуыу-3 Совокупность точек а, Ь, с, д, е на комплексной плоскости (рис.

3.18) представляет собой топографическую диаграмму схемы рис. 3.16, а. По ней удобно определять напряжение между любыми двумя точками схемы и сдвиг по фазе этого напряжения относительно любого другого напряжения. Пример 38. Найти токи в схеме (рис. 3.19) методом узловых потенциалов. Положительные направления ЭДС указаны на схеме стрелками, е~ — — 120~!2з!пыу В; ез = 1001~2соз(ьУ вЂ” 120') В; й = 2 Ом; 1/ыС~ — — 1О Ом; ~У з — — 5 Ом.

Р е ш е н и е. Запишем ЭДС в комплексной форме: Е, = 120, Е =!ООе Выберем положительные направления для токов в ветвях к узлу а. Определим проводимости ветвей: У, = 1/7. = 1/2 = 0,5 См; У2 — — 1/Ез —— 1/( — 10у) = О,Ц См; "з = 1/7з —— 1/(5у) = — 0,2у См. Заземлим точку Ь, Уравнение по методу узловых потенциалов Ч'а! аа уаа' 120'05+ 100е У 02е У вЂ” уа 0,5 + 0,1у — 0,2у 101 Если ток 1=1 з!п«о|, напряжение на участке цепи ц — Ц З1П(«о|+«Р), тО 1' Р = — ~ Т 0 в1п«э|в1п(«э|+ «р)Ю = — сов«р = Ысоа«р. о (3.43) Активная мощность физически представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени' в виде теплоты на участке цепи в сопротивлении Р.