Bessonov1 (Бессонов Л.А. - Теоретические основы электротехники), страница 10

6 и — 1,1 л — 1,2 ' л — 1,л — 1 !Рл — 1 У1! ~22 л — 1,п — 1 Ее решение (2.22б) Еще Максвеллом было установлено, что распределение токов в электрических цепях всегда происходит так, что тепловая функция системы ! Р = — '~ ~~ (Е,„— (!Р1~ — !Р )~А!~ 1Ч=1. 2, З.. =1, 2, З... минимальна. Коэффициент 1/2 обусловлен тем, что при двойном суммировании мощность каждой ветви учитывается дважды. Доказательство основано на том, что совокупность уравнений !222) является совокупностью условий минимума функции Р, „1 дР 1дР т. е.

совокупностью условий — — = О,— = 0 и т. д. «ак как вторые производные 2 дЧ'1 2дФ2 1дР 1д2Р— — = 6 )О,— — = 6 ~0 положительны, то это и является доказательством 2д2 '1 '2д2 Ф1 Ч'2 минимума тепловой функции Р. Пример 23. Найти токи в ветвях схемы рис. 2.24 и сделать проверку по второму закону Кнрхгофа.Дано:Е41' = 10 В;Е14" = бВ;Е12" = 20 В„Е21" = ЗОВ;Ез« = 14 В; Е24 = 10 В Е4з = 8 В Е23"' = 12 В; Е32' = 7 В й4!' = 1 Ом; 0 14" = 2 Ом; Й12' = 10 Ом; 1121'" = 5 Ом; йз1 = 2 Ом; 1Ь4 = 4 Ом; Й34 = 2 Ом; Я23" = 4 Ом; Я32' = 2 Ом.

Источник тока, включенный между узлами д и 2,дает ток /32= 1,5А. Р е щ е н и е Записываем систему уравнений: Ф161! + Ф26!2+ Ф3613 = 711; Ф1621 + Ф2 22 + ФЗ 23 22; Ф!631 + Ф2632 + Фзбзз 733. Подсчитываем проводимости: 1 1 1 1 1 1 + + + + — =2,4См", 11 «««ъ к+щ ю~+ !~ к+р п+й«иг+ 41 14 12 21 21 31 1 1 1 1 1 1 622 —— —, + — „+ „, + — + —, + — „= 1,4 См; 1~12 1~21 «21 1~24 1«32 «23 1 1 1 1 б = —,+ — „+ — + — =1,75См; 1~32 «23 *«31 1~43 1 1 1 6 =6 = — + — + — = — 04См 12 21 1~ и« 21 12 21 1 — = — 0,5 1=м; 1~з! 623 —— 632 — — — (0,25 + 0,5) = — 0,75 См При подсчете 622 6, и 62 учтено, что проводимость ветви с источником тока равна нул10(сопротивление источника тока равно бесконечности). Узловые токи: Е41 Е14" Е31 Е12' Е21" У = — — — + — — + — =15А '«41 «14 '«31 '«12 «21 32 Е23 Е12 21 24 ««г+ « ~~ + 1«32 1~23 1«12 !'!21 1~24 Хзз= — 3,5+ 3 — 7+ 4 — 1,5= — 5А, Система уравнений 2,4Ф1 — 0,4Ф2 — 0,5Ф3 = 15; — 0,4Ф + 1,4Ф2 — 0,75ФЗ = — 1,5; — 0,5Ф1 — 0,75Ф2+ 1,75Ф3 = — 5 имеет рещение Ф = б В; Ф2 —— О,Об В; Фз = — 1,07 В.

Заключительный этап расчета состоит в подсчете токов по закону Ома. Перед определением токов в ветвях схемы следует эти токи обозначить и выбрать для них положительные направления: Е41' — (Я~1 — Ч14) 10 (б О) 141 11 41 1 1~1"' — — „, — — — 1,185 А; 'г2 Ч'1 21 ч'З т2 + ЕЗЗ Ф4 1РЗ + Е4З ~з2 =, =2,92А;?4з —— т4,55Аит.д. ~43 Сделаем проверку решения по второму закону Кирхгофа для периферийного контура. Алгебраическая сумма падений напряжений 4 ° 1 + 1,185 5 — 2,92 2— — 4,55.2 ж — 5 В.

Алгебраическая сумма ЭДС 10 — ? — 8 = — 5 В. ф 2.23. Преобразование звезды в треугольник и треугольника в звезду. Соединение трех сопротивлений, имеющее вид трехлучевой звезды (рис. 2.25), называют звездой, а соединение трех сопротивлений так, что они образуют собой стороны треугольника (рис. 2.26),— треугольником. В узлах 1, 2,3(потенциалы их Ч11 Ч, и Ч1з) треугольник и звезда соединяются с остальной частью схемы (не показанной на рисунках). Обозначим токи, подтекающие к узлам 1, 2,8, через 1,,1, и 1,. Часто при подсчете электрических цепей оказывается полезным преобразовать треугольник в звезду или, наоборот, звезду в треугольник. Практически чаще бывает необходимо преобразовывать треугольник в звезду. Если преобразование выполнить таким образом, что при одинаковых значениях потенциалов одноименных точек треугольника и звезды подтекающие к этим точкам токи одинаковы, то вся внешняя схема «не заметит» произведенной замены.

Выведем формулы преобразований. С этой целью выразим токи 1, 1, и 1,в звезде и в треугольнике через разности потенциалов точек и соответствующие проводимости. Для звезды (2.23) 11 + 12 + 13 = О, но 11 = (% Ч1о)И1 12 = (ЧЪ гРо)И2 1з = (грз Ч'оМз* (2.24) Покажем, что основная формула (2.20) метода двух узлов получается как частный случай (2.22). Действительно, если один узел схемы (рнс. 2.23), например узел Ь, заземлить, то остается найти только один потенциал Ч1, = У,„. Для получения формулы (2.20) из (2.22) следует положить Ч11 = гр, = (?,ь; 4р2 = ~рз = Ч14 = ... = О.

Рис. 2.25 Рис. 2.26 Подставим (2.24) в (2.23) и найдем фо: ф!И1+ фЫЬ+ фаз фо(И! + й'2+ Из) = О откуда «Р1Ы! + «Р2Й2 + «РФЗ И1+ Ю2+ ~З Введем ф, в выражение (2.24) для тока 1!. 1«Р1(Й2 + М «Р2Й 2 «РФ3101 ~! = («р! «ро)и!— "1+ к2+кз (2.26) Для треугольника в соответствии с обозначениями на рис. 2.26 ~1=Г!2 — ~З1=(р! — р2)а12 — (рз — р1)а«з= р1(а12+а1З) — рза1З вЂ” р2а12. (2.27) а =а!а2/(а +а2+М 013 Й !ИЗ/(И! + И2 + ИЗ)- (2.28) (2.29) Аналогично, (2.ЗО) Д'2З = Д'2ЯЗ~(Я1+ И2 + ЙЗ) Формулы (2.28) — (2.30) дают возможность определить проводимости сторон треугольника через проводимости лучей звезды. Они имеют легко запоминающуюся структуру: индексы у проводимостей в числителе правой части соответствуют индексам у прово- Так как ток 7! в схеме рис.

2.25 равен току 7! в схеме рис. 2.26 при любых значениях потенциалов ф„ф2, фз, то коэффициент при ф2 в правой части (2.27) равен коэффициенту при ф2 в правой части (2.26), а коэффициент при ф в правой части (2.27) — коэффициенту при ф в правой части (2.26).

Следовательно, димости в л~вой части; в знаменателе — сумма проводимостей лучей звезды. Из уравнений (2.28) — (2.30) выразим сопротивления лучей звезды К! = 1/д1;Й =1/д иЙ =1/д' через сопротивления сторон трЕуГОЛЬНИКа: Я12 = 1/д12 Я23 = 1/я23' Я13 = 1/я!3.

С этой целью запишем дроби, обратные (2.28) — (2.30): ! ~М2+ ~Р3+ ~Р! + + ~1 ~12 ~3 '!1~1~2~3 И! ~! 12 ~11 ~2 йф~ (2.31) где (2.32) (2.33) (2.34) ~п = ~1~2 + ~21~3 + ~Р1ь ~23 ~/ 1~1' ~13 /~2' Подставив (2.31), (2.33) и (2.34) в (2.32), получим ! 1 2%12 + !~23+ ~31 т=,п + + =т ~2Р13 ~13~12 ~12~23! ~12~~23~131 2 Следовательно, %1Р23~31 !~12+ ~23 + ~131 Подставив т в (2.33), найдем (2.35), И (2.3б), ЙГЯ31 Й!2+Й23+13! Аналогично, !~23~12 й2 —— 1 ~!2+!~23+~31 (2.37) %1Р23 Р ~12+ ~! 23+ ~ 31 Структура формул (2.35) — (2.3?) аналогична структуре форм ул (2.28) — (2.30).

Преобразование треугольника в звезду можно пояснить, рассмотрев, например, схему рис. 2.27, а, б. На рис. 2.27, а изображена схема до преобразования, пунктиром обведен преобразуемый треугольник. На рис. 2.2?, б представлена та же схема после преобразования. Расчет токов произвести для нее проще (например, методом двух узлов), чем для схемы рис. 2.27, а. В полезности преобразования звезды в треугольник можно убедиться на примере схем рис. 2.27, в, г. На рис.

2.2?, в изображена схема до преобразования, пунктиром обведена преобразуемая в а,) Рис. 2.27 треугольник звезда. На рис. 2.27, г представлена схема после преобразования, которая свелась к последовательному соединению сопротивлений'. Пример 24. Найти значения сопротивлений 1сь Я2, Ю в схеме рис. 2.27, б, если сопротивления Яю й~з, йз2 в схеме рис. 2.27, а равны соответственно 2,3,5 Ом. Р е ш е и и е. По формуле (2.35), 1с1 — — 2 3/(2+3+5)=0„6 Ом; по формуле (2.36), 1т2 — — (5-2)/10=1 Ом; по формуле (2.37), йз — — (3 ° 5)/10=1,5 Ом. ф 2.24.

Перенос источников ЭДС и источников тока. На участке цепи рис, 2.28, а между узлами а и Ь имеется источник ЭДС Е, Этот источник можно перенести в ветви 1 и 2, а узел а устранить и в результате получить участок на рис. 2.28, б. Эквивалентный переход поясняется рис.

2.28, в. Точки с, д, Ь имеют одинаковый потенциал и потому могут быть объединены в одну точку Ь. Рис. 2.28 ! В $3.31 рассмотрен еще один вид преобразований — преобразование последовательно-параллельного соединения в параллельное. 63 Участок аос на рис. 2.28, г, между крайними точками а и с которого включен источник тока, может быть заменен участком рис. 2.28, д, отличающимся от участка рис. 2.28,г тем, что источник тока между точками а и с заменен на два источника, присоединенных параллельно А', и Й,.

Эквивалентность замены следует из неизменности значений токов в каждом из узлов. Ток в узле Ь не изменился, так как в этот узел добавили и вычли ток У. Практически источники переносят при преобразованиях схем с целью их упрощения и при записи уравнений по методу контурных токов и узловых потенциалов в матрично-топологической форме записи (см. ~ 2.33). ф 2.25.