Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 27

видт с помо1цью тваттольн. пввовглзов. 119 120 квьделтичные еоемы и зтоеой диевеенциал (гл. гт Сравнивая оба полученные выражения для и,, получаем А =— ВВ б э и т. е. при выполнении условия все Ь ф О, все й, ф О. Окончательно, форме А можно придать такой видг А г' — у =г — () ь~ ). ь=г Из формулы (35') следует снова достаточность условий теоремы Сильвестра для положительности формы А. (35') ф 25.

Достаточные условия экстремума. Минимаксы Займемся теперь приложением добытых выше результатов к теории экстремумов функций. Безусловный экстремум. Пусть нам дана функция а=у(хп хг..-., х„), У У.. Л» г»», 1»»»»» ' ' ' Л»»» ° ° ° были лоложилгельны. ТЕОРЕМА 2. Для лшго чтобы в то'исе А функция / достигла минимума, необходимо, чтобы все олределители: Ь„Ь„..., Ь„ были неотрицательны.

Для доказательства достаточно вспомнить, статочно, чтобы форма что лля минимума у до- дгУ= —. ~) У'„~Ь,Ь (36) ц была положительно определенной, и необходимо, чтобы эта форма была неотрицательной. Применяя к форме (36) теорему Сильвестра, получим теоремы 1 и 2.

Дополнения, 1. Если одно илн несколько собственных значений формы аь/ равны нулю, а остальные положительны (отрицательны), т. е. если выполнено только необходимое условие экстремума, то вопрос, непрерывная вместе со всеми частными производными до второго порядка включительно, и пусть точка А (х..~ есть стационарная точка для иь етой функции. Обозначим через ~ значение — в точке А.

При дУ хг»1 ех~дхг этих условиях имеем следующие теоремы: ТЕОРЕМА 1. Для пило чтобы в стационар>шб ливиса А функция достигала своего относительного минимума, достаеючно, ииобы все диагональные миноры оиределителя 1~„, ~ $25] достлточныв услОВия экстгвмумл. минимаксы 121 будет ли данная точка А давать минимум (максииуи) или нет, рассмотрением квадратичной формы дгГ решен быть не может.

Так же как при и=2, для разрешения поставленного вопроса необходимо обратиться к изучению следующих членов разложения в ряд Тейлора, что в свою очередь приводит к изучению форм высших степеней. Этого вопроса мы здесь затрагивать не будем. 2. В начале этой главы мы дали для случая и= 2,3 полную геометрическую характеристику различных типов стационарных точек. Втз характеристика основана на структуре областей, определенных неравенством: ДР) ) ~(А), где А — изучаемая сгационарная точка, Р— произвольная точка области. Аналитически тип стационарной точки определяется числом отрицательных собственных значений квадратической формы. Эта теория может быть распространена на случай функции и переменных. Относя геометрическую часть втой теории на второй том, мы ограничимся здесь ензлитическиии определениями.

Мы считаем, что стационарная точка А есть етаггионарная тоиса к-го порядка, если форма 2 ~лр~ЛИУ г г 1 имеет к Отрицательных и и — и положительных собственных значений. Применяя ланную выше обобщенную теорему Сильвестра, мы получаем следующий реаультат. Для того юпобы етаиионарная точки А была порядка я, необходимо и доелиипочно, чтобы в последовательности было й перемен знаков, где, как и раныае, Усиовиый экстремум. Лля того чтобы возможно было наглядно представить геометрическую природу достаточных условий условного экстремума, мы разберем сначала случай фуннции трех переменных. Разберем отдельно случаи: 1. Ищется иннимум при одном условии.

и. Ищется минимум при двух условиях. Случай А Пусть точка А (х~ ~, х~~~, х~ ~) есть условно-стационарнаи точка функпии: и = у(хп хз, ха), (37) при условии з (х„х, хз) = О. (33) Мы во всем дальнейшем будем предполагатгп что О обладает непрерывныии частными пронзводныии до второго порядка включительно; кроме квлдгатичныя еогмы н втовой диевтинцилл 1гл. г"тг гого, мы допустим, что точка А есть правильная точка поверхности р = О, и будем предполагать, что в точке А ре,Фр,+Р,,Ф О- При этих условиях существует число Х такое, что точка А является бевусловно-стационарной точкой для функции ф (хг, хт» хз) =У+ лрз так что в точке А дф дт дг — — = — = О.

дхг дхт дхв Отсюда, пренебрегая бесконечно малыми порядка выше второго, в бесконечно малой окрестности точки А функцию ф можно представить в виде квадратичной формы: Ге1 где ф есть значение в точке А, Ь,= и, — хт (1 = 1, 2, 3). Пусть р, )~рв)~ рз †собственн значения формы рассмотрим отдельно четыре основных случая: 1) р, > О, р, > О, рз > О. В этом случае у является положительно определенной, и множество ( В) точек, где ф(В) < у'(А), имеет точку А в качестве изолированной точки; функция с достигает в точке А безусловного минимума. Так как на поверхности у= О имеем О=у; то, следовательно, точка А будет точкой относительного условного минимума функции у ма поверкности у= О. 2) р,>о, рв>О, ра<О. В этом случае, как мы виделн в р 18, область Э, где ф(В) <ф(А), несвязна и ее граница в точке А касается конической поверхности второго порядка. Всякий луч '), выходящий нз А н принадлежащий конусу У < О в достаточной близости от А, будет лежать в Р; аналогично всякий луч, выходящий из А и лежаший вне у~< О, будет принадлежать области, где ф(В) )~ф(А).

Лля Решения вопроса, будет ли точка А давать условный минимум, провелем через точку А плоскость Р> касательную к поверхности ~р в точке А: ..й,+ р.а,+ „аз=о. Ясли в пересечении плоскостью Р конической поверхности Т мы получим изолированную точку А, то очевидно, что в достаточно малой т) Мы рассматриваем все тачки луча, отличные от А. $251 достаточныв головин экстеемгма.

минимаксы 123 окрестности А на поверхности ~р= О будем иметь: ф(В) ~ ф(А); знак равенства достигается только при совваденнл В с А. В таком случае для тех же точек В будем иметь: /(В) )~у(А), т. е. в точке А функция г" достигает условного минииума. Если в пересечении Р и Т мы получим две различных прямолинейных образующих конуса, то, очевидно, в любой окрестности точки А будут существовать точки В поверхности в=О где НВ) >Ф(А), и будут существовать точки В поверхности о=О, где ф(В) < ф(А).

Но так как на певерхиости в=О функции Г" и ф совпадают, то е разбираемом случае получается, что в любой окрестности А на и.— "О существуют точки, где Г"(В) > Г(А), и точки, где у(В) <у(А). Следовательно, в точке А нег ни минимума, ни максимума. 3) р, > О, рз < О, ра < О. Этот случай можно исследовать аналогично предыдущему. Здесь область, где у(В) > ф(А), будет иметь ту же структуру, что и область ф(В) < ф(А) разобранного случая. Если пересечение плоскости Р с конусом Т дает изолированную точку, то мы имеем максимум; если пересечение Т с Р дает пару различных образующих, то нет ни минимума, ни максимума. 4) р,<о, р,<о, „,<О Аналогично случаю 1 имеем максимум. Заметим в заключение, что если одно из неравенств, определяющих разобранные нами различные случаи, заменить равенством, то вопрос, будет ли точка А давать минимум или максимум, рассмотрением квадратичной формы разрешить нельзя; е этом случае нужно обращаться к формам высшего порядка.

Реаюмируя проведенное аналитическое исслелование, по,тучнм. "для глгмо чтобы еталионаряая главка А давала оеносиглелеяый условный лгилимум (максимум), достаточно. чглобы Форма У была ла лиоаообразии (38) лаложиглельяо определенной (отрицательно определенной), и необходимо, чтобы У иа (38) была леодтридательиой (неположительной). случай и.

пусть теперь точка А(хге1, хв6Ф, хзйэ) есть условно- стационарная точка функции а=/(хм хз, х ) при двух условиях: т! (хп хы хз) — О, тз(х» ХФ ха) = О. квадватнчныв еогмы и второй диевгвнциал (-. Функции у; «рп ~рв удовлетворяют прежним условиям непрерывности; кроме того, как раньше, мы будем считать точку А правильной точкой линии т: е, = О, ря — — 0 и будем предполагать, что в точке А матрица 19Ь д'и дтг дхг дхт дха две две гзге дх~ дхх д хе имеет ранг, равный двум. Пусть опять )ч н 1 суть множители Эйлера- Лагранжа, так что для функции ф(хп ха хз)=У+~з~г+)в.в точка А является безусловно-стационарной точкой. Обозначая череа В точку, бесконечно близкую к А, и сохраняя бесконечно малые только низших порядков, получим: ф(В) — ф(А) =-,~,'ф... Ь,йп р гле ф И,йр имеют прежний смысл.

< р Обозначая через р„ра, рз собственные значения формы. разберем опять различные случаи: 1) р, > о, р, > о, р, > о. Как и раньше„в точке А имеем условный минимум. 2) р,>о, р,>о, р,<о. Строим коническую поверхность второго порядка Т: У=О. Граница области В, где ф(В)<ф(А), будет касаться конуса Т в точке А, и область В, как раньше, в окрестности А с точностью до малых высших порядков будет совпадать с внутренней частью конуса з < О.

Построим касательную Р к линии Г в точке А: — й+ — д+ — й =о, дт, дрг дат дхг г дхе дхз т. й, + дФ2 ргз+ две й О дтг дх ' дх З дх Если Р будет лежать вне конуса У <О (исключая точку А), то линия Г в достаточно малой окрестности точки А будет лежать вне области В; точка А является точкой условного минимума. Если Р будет лежать внутри конуса з < О (исключая точку А), то в достаточно малой окрестности точки А линия Г будет также лежать внутри области,0 (кроме точки А), точка А является точкой условного максимума 3) р,>о, р,<о, р,<о. Здесь роль конуса Х < 0 будет играть конус У > 0; в зависимости от того, будет ли касательная Р лежать внутри конуса У > 0 или вне конуса У< О, мы будем иметь минимум или максимум. 4) р,<о, р,<о, р„<о. Точка А есть точка максимума. $2б1 достАточные условия экстРенумА.

мнннмАксы 12б Резюмируя наше исследование, получаем: для того чглобы слннигокарнап точка А была точкой минимума (максимума), досльатовно, чтобы форма у на «рямой Р была положительно определенной (отрицательно одределенной), и необходимо, чтобы Хна Р была неотрицалыльной (неположительной). Общий случай. Оставляя пока в стороне геометрический анализ условно-стационарных точек функции и переменных, дадим для этого случая достаточные условия экстремума и отметим одну общую теорему, вытекающую из доказанной выше теоремы Фишера-Куранта. Итак, пусть точка А(х,~ь>, х 1ь>,..., х„66) есть условно-стационарная точка функции у(хм хв,..., х„) при й (й1( и) условиях: - ) — О (1 = 1, 2,..., й).

(ЗЭ) Будем предполагать, что г" и р удовлетворяют обычным условиям непрерывности, и, предполагая, что точка А — правильная точка и — й-мерного многообравия (ЗЭ), будем считать, что ранг матрицы (-.";,) (',=".:.—.'.) в точкеА равен й. Обозначая через Хн )ч,..., Хь множители Лагранжа, положим: ф(хп хя,..., х„) =г'+;5',1,он так что в точке А — '=О. дх~ ТЕОРЕМА. Для того чтобы точка А была точкой условного мининУма (максимУма) фУнкции У на многообРазии оь = О (1 = 1, 2,..., й), досгиаточно, чтобы форма у =2 ХЬххьйФ3 (й~=хь — хь ) была положительно определенной (отрицательно опредеяеиной) на л — й-мерном многообразии Р: ~~фУ~,=О (ь.=1,2,...„й), (4О) ЗА.Ь и необходимо, чтобы у на Р была неотрицательной(неположительной). Докажем сначала справедливость достаточного условия.

Если форма Х положительно определенная на Р, то в силу прежних рассмотрений на сфере 3 (л — й — 1) измерений, получаемой пересечением сферы ~(х,— х,(ь>) = еь (41) с многообразием Р, имеем: у~сев, где с — положительная константа, не зависящая от е (за с можно принять наименьшее собственное значение У нар). Но так как приращение 12Е квлдватичныв еоемы и втовой диеееянцилл [гл. 1Ч функции ф: ф(В) — ф(А), отличается ото на бесконечно малые порядка выше второго, то при всех достаточно малых е на сфере 8 имеем: ф(В) — ф (А) ) с ее, (42) сч где с,— новая константа (например с,= 2 ь Рассмотрим теперь (л — й — 1)-мерное многообразие 8„получаемое пересечением многообразия (39) сферой (41).