Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 28

Так как Р касается много- образия (39) и имеет с иим одно и то же число измерений, то, следо- вательно, расстояние от любой гочки 8, до многообразия 8— бесконечно малая второго порядка по сравнению с е. Кроме того, на ль сфере (41) все частные проиаводные — суть бесконечно малые того же ал, порядка, что и е; следовательно, какова бы ни была точка В, много- образия 8ы существует точка В многообразия 8 такая, что ~ф(В,) — ф(В)~ <сез, (43) где с — константа, остающаяся ограниченной на сфере 8. Сопоставляя (42) и (43), заключаем, что в каждой точке В„при- надлежащей многообразию (39) и находящейся в достаточно малой окрестности точки А, имеем: ф(В) — ф(А)>0 ).

Но так как на многообразии (39) ф=~', то /(В) — г(А) )~0; точка А есть точка условного минимума. Докажем теперь справедливость необходимого условия. Итак, допу- стим, что формаУ не есть неотрицательная на многообразии Р. Втаком случае можно из точки А выпустить прямолинейный луч г., принадле- жащий Р и такой, что в каждой точке В луча будем иметь: ./ ~ с'ее, где е — расстояние от А до В и с' — отрицательная константа. Отсюда, как раньше для достаточно малого е: ф(В) — ф(А) < с"ее, (44) где с — новая отрицательная константа. С другой стороны, так как луч Е касается многообразия 140), то аналогично предыдущему на многообразии (40) найдется точка В„для которой ~ф(в,) — цв)~< "'Ф (45) Сопоставляя (44) и (45), заключаем, что в любой окрестности точки А имеется точка В, многообразия (39), в которой ф(В,) < ф(А), и так как на многообразии (39) г=ч, то ДВ,) </(А); точка А не есть точка минимума.

~) Знак равенства имеет место только тогда, когда В совпадает с А $25) достаточньж головня экстеамяма. минимаксы 12т Вполне аналогично доказывается справедливость условий для максимума. Используя теорему Сильвестра, доказанной теореме можно придать аналитическую формулировку. Произведен над переменными Ь< ортогональное преобразование п Ь,= ~~и у л1=1, 2,..., л), 5 < так, чтобы и — Ь координатных осей расположились на многообразии Р. Уравнения Р в новых координатах получатся приравниванием нулю 5е новых переменных.

Пусть уравнения Р будут: у „,=у„,,=... =у„=о. При переходе к координатам у форма 5 примет вид: у=~я<',а, у<уз, <,5 дф где коэфициенты а выразятся через — — и через а 5. Условие, чтобы и дх<дх5 форма у была определенно положительной (неотрицательной) иа линейном многообразии Р, приводится к тому, чтобы усеченная форма е — ь 5 =~~~~а<5У<У5 <,5 была определенно положительной (неотрицательной). Отсюда, используя теорему Сильвестра, получаем аналитическое, условие для относительного минимума: для <лого чтобы стационарная точка А давала условиыб минимум, две<ваточно, чтобы аса диагогиигьяил минора оирвдяаииаая ~а, ~ были положительны, и необходимо, чтобы эльи миноры были неол<рицательны. Заканчивая рассмотрение условиЯ дла условного минимума, отметим ыце один интересный результат.

Пусть Л„Л,..., Л„суть собственные значения формы Х, расположенные в порядке возрастания: л (л (...(л,„ При этих обозначениях имеет место следую<лая теорема: ТЕОРЕМА. Для того чтобы условно-стационарная точка А давала условный минимум функций,Пхм хз,..., х„) лри Ь условиях в<=О 11=1,2,...< Ь), необходимо> чтобы ири 1>Ь числа Л были нмэтрица<лелы<ы. < В самом деле, обозначая через Л,' (Лв' (... (Л„„собственные значения усеченной формы у, в случае минимума все числа Л „должны быть иеотрицательны. Отсюда, применив теорему Куранта, получаем: 11 > Ь). л л >о Теорема доказана. квлдвлтичные еотмы к втовой дневгвнинлл (гл. !У 128 Геометрическая характеристика точек минимакса. Биркгоф (В1гкпо() вьшелнл случай, когда второй диференциал в стационарной точке кмеет одно отрицательное собственное значение.

Такие стационарные точки названы им лючкамп миии.какса. Точки мннимакса обладают следующим свойством, найденным уже нами для случая двух н трех переменных ($18): область меньших значений в окрестности точки минимакса несвязна. Пусть точка А есть точка минимакса функции у. Мы будем считать начало координат помещенным в точке А и оси координат (у„у,..., у„) направленными по главным осям второго днференциала л2у ~ч~~ 1уз «г т причем 3,= — и(0; Х,) 0 прн 1) 1. Пусть точка В(у„ут,...,у„) лежит в достаточной близости точки А, Пренебрегая членами порядка выше р(А, В)з, пишем: 1(В) — дА) = — тту,з+ 'я Х,у,з.

Приращение ДВ) — г(А) распадается на отрицательный член — шву~я и положительную форму Линейное многообразие У,=О лежит вне области меньших значений функции г" по сравнению с ДА). Лля всякой точки С(0, Уз,..., у„) етого многообразия, достаточно близкой к А, ~(С) ~У(А)* причем равенство наступит лишь прн С=А.

Наоборот, все точки о'н у, (в окрестности А), кроме точки А, лежат в области меньших значений. В самом деле, если В(Уп О,..., 0), у, фО, лежнт достаточно близко к А, то у'(В) — у'(А) = — гну,з ( О. Многообразие У,=О делит область меньших значений на две части: на точки втой области, в которых У, ) О, н точки, в которых у, (О. Так как само многообразие У,=О лежит вне области меныних аначений, то, значит, зта область в окрестности точкн А, т. е. точка мниимакса, несвязна. Многообразия (,поверхности уровня") у(у~ уя ° ° ° у )=У(А) — й~ суть обобщенные „двухполостные гиперболоиды". 2 26) пгивлиашнноа нахождение точек минимлмл 129 5 26.

Приближенное нахождение точек минимума Пусть задана в пространстве Ю (х„х„..., х„) функция у, непре- рывная вместе со всеми частными производными первых двух порядков. Назовем выпуклую ') ограниченную область е<' в пространстве Р„ выпуклой областью минимума, если: а) для всякой точки А области <У н ее границы форма Х,, ~~(11 ЬЬ дх,дх. < У есть форма положительно определенная. Ь) Существует по крайней мере одна точка А области Ц для которой У(А) (с, где с — нижняя граница значений у на границе с<. Например, пусть н и У'= ~~Р~ а<лх<хл+ 'Я Ь,х„ <,ь <=< где а ., Ь,— константы, фоРма У=-')Раих,хл положительно опРеделен- ная, т.

е. ~~~~а,„х,х„) 1<'~',х<з, где Х ) О, есть наименьшее собственное аначение формы Х На сфере радиуса г вокруг начала форма У не меньше, чем Хгч а линейная форма ~ч~~д<Х< по абсолютной величине есть вели- чина не выше первого порядка относительно г, следовательно, при г-+ ооформа л, а вместе с ней и ~ стремятся к положительной беско- нечности. На границе такой сферы достаточно большого радиуса, функция у как угодно велика и превзойдет во всякой точке та- кой сферы значение / например в начале координат.

Кроме того, «= а.<л Ь<Ь< — — 2 ~ ааЬ,Ь< есть форма положительно определенная. -< длу(А) дх, дху Итак, сфера достаточно большого радиуса есть выпуклая область ми- нимума лля функции,г Свойства области минимума. 1. Внутри выпуклой области мини- мума У не суп)ествует более одного ста<1иоиарногп ЗНаЧеНия функЦии Г.

В саном деле, пусть А(а,) и В(Ь,) — две стационарные точки функ- ции, лежащие в области В. Имеем: У(А) — Г(В) = — ) ~ д (а — Ь<) ( а Ь<) где точка С есть какая-то внутренняя точка отрезка АВ. В силу вы- пуклости области В точка С принадлежит <<; по свойству „а" областей минимума получим поэтому: У(А) — /(В) ) О. Аналогично докажем также обратное неравенство: У'(В) — У'(А) ) О. Итак, гипотеза о существовании на В двух стационарных точек приводит к противоречию.

<) О выпуклыл областях см. дополнение 1. квадРАтичныв ФОРмы н ВТОРОЙ дичвгвнпнлл (гл. 1Ч 2, В области 0 существует одна стационарная точна функции у'. В силу теоремы Вейерштрасса существует точна А, в которой функ- ции у достигает минимума своих значений на области У с ее границей. По определению области минимума А есть внутренняя точка области 11 н, следовательно, есть стационарная точка. 14так, система уравнений: ду — =О (а=1, 2,..., и), дх, имеет в области 11 единственное решение.

3, Существует такая положительная константа Л, что во всякой точке В области 0 (46) В самом деле, обозначим через Л(В) наименьшее собственное значение формы у Р— О-Ь,Ь~. Из экстремального определения собс.гвеиного знакч даЛВ) 21дх,дх, чения следует, что ) (В) есть непрерывная функция точки В; в силу свойства „а" для всех точек В области Еl и ее границы Л(В) Р О.