Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Следовательно, нижняя граница Л(В) на Области У с границей, которую мы обозначим через Л, положительна: Л(В))~Л > О. Тем самым докавываегся неравенство (46). Иэ (46) следует (полагая Ь =О при у'ф1): дзУ(В) (46') 4, Пусть А (а<) — точка абсолютного минимума. Для любой точки В области 11 имеет место неравенство: г(А, В) ~-„ ~/ ~ Ь,Я, где Ь = —. дг(В) дх, Это неравенство показывает квадратическую погрешность, которую мы делаем„ааменяя решение системы уравнений — „= О решением д/ приближенной системы уравнений — = ЬР и может служить для оценки дУ дх, = точности этого приближения.
В самом деле, если Ь, суть координаты точки В, то у(А) — у(В)= «~Ь,(Ь,— аД+ 2 «ад ух (д~ О4) А па)' дх, ху Ю еи где С вЂ” некоторая точка отрезка АВ. Так как С приназлежит области СУ, то форма в правой части нашего равенства положительна н больше ~д' Л (а,— Ь,)э=Л (г(А, В))э.
Но А(а„а,..., а„) есть точка абсолютного минимума: Д(А) — /(В) ( О, $ 26) пгивлиженнОе нахождение тОчек минимумА ?З1 н член ~",й,(дт — а,), очевидно, отрицателен и превосходит по абсо- лютной величине Л(г(А, В))а; в силу неравенства Шварца Ь,(Ь, — а,) ~ ~( ~/~ й,аг(А, В).
?,(г(А, В)]Е.С г(А, В)()l ~~~й,а. Итак, б. Есин для последовательности точек или: прн фиксированных всех остальных координатах, совпада)оших с координатами Ап (1+1)-я координата х +,— — х+, точки А, выбирается так, чтобы функция у достигала в точке (х,"~, х('), ..., х('), х, „х';, ..., х„) своего минимума. Аналогично определяются последовательйо точки: А+„А+,...,А„,...,А, где 1 (г(л, а Й пробегает натуральный ряд. Именно: если мы уже определили точку А „,(х„, ..., «„), то точку А„„+, мы определим, (ь) )ь)1 положив все ее координаты х =- х при 1 ° 1, координату же (в) А,, Аз, ..., А„ из области (У все частные производные " стремится к пул)о при дУ(А ) д«, т-Р оо, то последовательность Аи сходится к точке минимума А.
Это следует из свойства 4; йепосредственно это вытекает из того обстоятельства, что для всякой точки сгущения последовательности — = О дУ д«, т. е. точка сгушения совпадает с А. Метод Либмана решения системы уравнений — = О. Пусть ду дхт Ао(х~~~) есть произвольная точка области (У, в которой У(А ) меньше нижней границы значений У на границе (У.
Построим точку А, у ко- торой все координаты, кроме х„совпадают с координатами точки А, а кооРлината х,=х выбРана так, что У(хп х, ..., х~, У пРи пеРе(о) меннон координате х, и фиксированных остальных координатах дости- гает при х, = х, своего минимума на (У; число х, ) определяется из (т) 6) ду( (н о) (о)) уравнения ' ' = О.
В силу свойств 1 и 2 области СУ мы д«т убеждаемся, что это уравнение имеет в области (У единственное решение. Определим последовательно точки А, (т = 1, 2, ..., Ут) следующим образом: если (,, ..., х, х +„..., «„)сутькоординаты точки А, г (О (О (о) (о)т то координаты Аг + , совпадают с координатами Ап кроме У + 1, которая определяется из условия: О) «(+ ( т т ! 132 квлдгатичныв еогмы и втовой диевтвицилл [гл. 1ч х =х~'"'+П определим из требования, чтобы лля этого значения х, при 1 1 фиксированных остальных координатах у достигал минимума на 4У или ду(Аьв+,) Точно так же, определив точку А в+„(г ( и), мы можем определить точку Аав+„+, считая, что прн < юг+1 координаты точек Ав и А.
совпадают, х.=хд+1< при <',г, х.— -х«при <~~г+1. вв+т+1 Для <=г+1 координата х„+,— — х«,+, выбирается так, чтобы при фиксированных остальных координатах в точке Аав+„+, достигался минимум у на <у, т. е. дг(Авв+т+1) — — = О. дхт+1 Из условия (47) следует: г(~ы<+т) г(~<в<+ +1) = хв ~ «+1 т+ 1) дгг(С)г ~ьЧ-1> х<ь< «+1 (47) где С вЂ” точка <презка А„в+„,А„, +<в следовательно, С принадлежит области </; так как —,В 1> О(см. 46'), то наша разность положи- д*У(С) д 'т+, тельна, Следовательно, последовательность /(Ал), где <и' —.— ел+ г про- бегает натуральный ряд, есть последовательность убывающая и ограни- ченная снизу; г (Аь))~А, где А — точка минимума 7 на Е/. Выражение — — (х — х ) как разность между двумя членами сходящейся 1 деУ(С) «<в+1> ш>ъв дха "+1 последовательности стремится к нулю, а так как †,, в Х ) О, то, сле- дЧ(С) довательно, равность между координатамн х, двух соседних точек после- довательности сколь угодно мала.
Пусть <ч'= йл. Рассмотрим группу точек: А, +1, А + , ..., Ан В каждой из этих точек удовлетворяется одно из равенств: ' ' = О дх, При достаточно болыпом <<Г все эти точки сколь угодно близки друг к другу. И если в точке А,+,, — — — О, то вследствие непрерывдг дУ к+<' дх, ности -- в точке А , имеем: дх, дУ(Ан) — =л, д<. где л< могут быть сделаны сколь угодно малыми ври достаточно боль- шом <<~. В силусвойства5 выпуклой области минимума(<' отсюда следует: точки Ан сходится к точке минимума А.
Таким образом получаем метод последовательного приближения к точке минимума Аг исходя из произвольной точки Ае, удовлетворя- ющей лишь следУющим двУм свойствам: А„области 17, ДАа) меньше значснийу на границе 77. 9 26) ПРИБЛИЖЕННОЕ ИЛХОЖДЕНИЕ ТОЧЕК МИНИМУМА 1ЗЗ 1 ПРимеР. У= — ~~~~ а, х,х + Ч»', Ь,хь где ~~~~~ а,»х,х. есть фоРма положи- тельная. Ь)ы ищем точку минимума А, т. е. решение системы уравнений »ь ',ь',а»)г/+Ь =0 (1'=).
Д ..., и). (48) ,1=1 В качестве точки А„можно взять произвольную точку (к»» ); в самом деле, э) . мы можем в качестве области ()звать сферу достаточно большого радиуса, так что Аэ попадет виутр» этой сферы и значение У в любой точке границы сферы превзойдет У(Аз). Построим последовательность точен А„А: ..., А ..., А»та+, Е,ли точка Аг„+г(«И+')» .... «»"+" к»'9+1 "- из) Аг,„+и+1 мы получим, считая все ее координаты равными соответственным коордийагам точки Аг,, кроме («+1)-й координаты, которая найдется из уравнению аа гь + 1) »ь+ 1) а+1) ~~~а„+1»х» +а„+ х»+ + Ч»ь а + -ху+Ь„+ — О. »=.1 г=г+г Последовательным решением подобных лннейвьш,уравнений с одним неизвестным мы получим решение системы уравнений (45) со мшэенми наизлестными.
При наличии многих неизвестных описанный метод является улобным мпгодом ре»венин системы линейных уреввснд)ь (В такой Обшей форме он обоснован И. Г. Соколовым.) 1 Требования положительности формы — ч»',а»»х,к можно обойти. Пусть 2 .»' мы имеем пРоизвольнУю системУ УРавнениЯ с и неизвестнымн «ь х, ..., к„г Ч»ь анх„+ Ь, = 0 (»'=1, 2, ..., л). (49) Рассмотрим функцию Е =~(' ЯавХа+Ьа) =~'(~азха)а+2 ,'» Ь»~~~~~анхл+ ~~~~Ь»а. »',а / »1ь / » к Если )аа») =гь-О, то форма У„(~~~ а»1«1)" существенно положительна.
Функция Р достигает минимума, равного нулю, если удовлетворяются уравнения (49). В точке же минимума удовлетворяются и линейных уравпепийг 1»)/» о р =.Х «1~Хюаьгав)+ )',Ьаа, =О (/=),2,..., и). (50) Ь=1 »=1»=1 Система (50) эквивалентна системе (49). Система (50) уже поддается прибли- женному решению описанным методом. ДОПОЛНЕНИЕ 1 ЦЕЛОЧИСЛЕННЫЕ СЕТИ При решении некоторых экстремальных задач в следующей части мы встретимся с так называемыми целочисленными сетями. Назовем целочисленной сетью Х п-мерного пространства (х„х, ..., х„) совокупность точек А (йв! Ф~, ., й„) с целочисленными координатами х,=й! (!=1,2,, п).
Сами точки А называются узлами сети %, а соответственные векторы ОА — цвлочшлвнными всилицдглви. Очевидно, линейная комбинация лаве!ОА! целочисленных векторов ОА, с целыми коэфициентами с, есть тол!с целочисленный вектор Пусп нам дано лийейное преобразование х,= ~апу в.=! Обозначим через Й совокупность точек с целочисленными координатами в системе (у„ув,..., у„).
ТЕОРЕМА 1. Длн того чтобы при преобразовании (1) 6 совпадала с И, необходимо и достаточно, чтобы всв новфицивнты а, были целыми числами и чпиобы 1а,.(=-! 1. Условие д о ст а то ч н о. В самом деле, пусть числа а, целые и ~а!А= 1; в этом случае существует обратное преобразовайие М=Х.. в При этом числа ан целые, так как они равны минорам детерминанта ~ ан~, деленным на значение самого детерминанта, т. е. на 1.
Очевидно, всякий элемент сети е3 есть элемент сети й, так как при целых у, в силу целочисленности а, следует из (1) целочисленность х,, Из формулы же (2) в силу целочисленности а, следует, что всякий элемент % есть элемент д), т. е. целочисленным значениям х, отвечают целочисленные значения уе Условие н е о б х о д и м о. Докажем прежде всего необходимость условия !а„.~ ф О. В самом деле, пусть ~а! )=О. Преобразование (1) переволит наше п.мерное пространство в некоторое й-мерное мноп>образке Х.в(д< и).
Сеть 6 принадлежит в.. Но сеть е( содержит в качестве узлов концы и единичных векторов, поэтому сеть !1 не может прн этих обстоятельствах совпадать с сетью 6, ибо иначе й-мерное многообразие Е„содержало бы п единичных векторов. целочисленные сети Итак, ! а,с! ф О. В силУ этого сУществУет пРеобРазование (2), обРатиое преобразовайию (1).
Так как сеть л должна совпадать с 6, то точка с целочисленными координатами в системе (х„х, ..., х„) должна иметь целочисленные же координаты в системе (у„уа ° ° ' У ). Рассмотрим точку А, с координатами у: у=1 при уф 11 Ус Ее координаты в системе х-ов следующие: х,=ан (1=1, 2, ..., и). Так как х, суть числа целые, то а, — числа целые. Аналогично доказывается целочислениость козфицнентов обратного преобразования. Детерминанты ! а,. ~ и ~ а< ~ суть также числа целые, кроме того, их цроизведейие равно единице, так как преобразование (1) и (2) суть обратные преобразования: ~а,~ ~а< 1=-1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
