Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть, например (черт. 27), Р, не пересекает М. Будем пере- Р мешать его параллельно, в направлении к М, пока оио впервые в по- Черт. 7.7. ложеннн Рэ не пересечет границу М, Будем продолжать параллельное передвижение нашего линейного многообразия. Теперь оно (в положении, например, Ра) будет пересекать М- дополнвниз и 140 Обозначим далее через Ре положение э>тло миоп>образия, когда оно в последний раз имеет общие точки сМ.
При дальнейшем параллельном движении нашего многообразия оно уже (в положении, например, Р ) ие пересекает М. Многообразия Ра и Ре называются олорными илосногтяли> для М, ортогональным н е.. Опорные плоскостд кМ определяются как линейные (н — 1)-мерные многообразия, удовлетворяющие следующим условиям: 1. Опорная плоскость имеет общие точки с границей тела М.
2. Тело М расположено по одну сторону опорной плоскости. Для всякого наоравления е. Малшо построить две (и только две) опорных плоскости к выпуклому телу М, ортогональные к е. Гомеоморфнзм выпуклых тел в и мерном пространстве. Пусть нам даны два множества А и В. Установим между их точками взаимна- однозначное соответствие, при котором кажлой точке А в>иожества А отвечает единственная точка В множества В, называемая образо.н жоани А Черт. 29. Черт 2к иа В, и обратно.
Пусть, кроме тпго, если точка А ем А является предельной для точек А„множества, ее образ В является предельным для точек „— образов точек Ае на В. Вкратце скажем: между точками А и В установлено взаимно-одиоаначное и взаимно-непрерывное соответствие. В э>ом случае множества А и В иазызаюч си гомеомор)бныл>и. Например, окружность гомеоморфна эллипсу, любому овалу, вообще любой замкнутой линии без кратных точек. ТЕОРЕМА 5. Все выпуклые ограниченные >пела в л-.керном прог>пранстве гомеомор>фны. Пусть нам даны два выпуклых тела М и А> в и-мерном пространстве (черт. 28). Пусть А есть внутренняя точка М.
Перенесем тело Ф параллельно так, чтобы А стала внутренней точкой также тела А>. Провелем нз точки А луч (,. Этот луч пересечет границы тел М и й>', причем каждую из них в одной точке (в силу теоремы 4). Пусть ь пересекает границы М и >т' в точках соответственно В и В,. Если рассматривать точку В, как образ В, то, проводя лучи е. во всевозможных направлениях, мы получим взаимно-однозначное соответствие между точками границ обоих тел. Докажем, что это соответствие непрерывно.
Проведем вокруг точки А сферу 3 радиуса е, целиком находящуюся внутри М и А>. Пусть В есть точка границы М; она находится вне выпяклыв талл 141 сферы Ю. Точка С в дру1ая точка границы, столь близкаи к В, что весь отрезок ВС (включая точку С) находится вне сферы $. Продолжение отрезка ВС тоже не пересекает этой сферы (в силу следствия к теореме 4). Расстояние т~ от точки А до прямой ВС превышает радиус сферы. Обозначая через а угол в треугольнике АВС в вершине В (черт. 29), имеем: сйпа= — ' ) —, г(А, В) где ( — диаыетр тела М. Обозначая через р угол между отрезками АВ и АС, имеем (теорема синусов): з(ва ° г(В,С) а ° г(В, С) а г(В, С) "пй= .(,С) > '(А, Т~ Когда угол () стремится к нулю, отрезок ВС стреынтся к нулю. Пусть ~еперь точка Н, границы Лг есть образ точки В границы М. Если точка С границы М стремится к точке В, то угол ()= ~ САВ стремится к нулю; в силу только что сделанного замечания при этом стремится к нулю и г(Со В,), где С,— образ С на границе )т'.
) у Я Итак, непрерывность 0~ 3 отображения доказана. д Мы доказали пока гомеоыорфизм границ тел М С, и Ф. установим теперь .у г С следующее соответствие точек М и Ж. Пусть (черт. 30) Р— Черт. 30. точка М, Проведеы через А и Р луч Вы пересекающий границу М в точке В и границу Ф в точке В,. Отнесем точке Р точку Р, тела Ж на том же луче Е,, такую, что г(А, Р) г(А, В) г(А Р1) г'(А В1) ' (1) Точка А соответствует при нашем отображении сама себе.
Очевидно, это отображение взаимно-однозначное. 11окажеы его непрерывность, Пусть Š†точ тела М, неограниченно приближается к Р (Р отлично от А). Тогда луч з., соединяющий А н Е, стремится к лучу Е.п соединяющену А с Р. Точки пересечения С и С, луча а, с границами М и Ф стремятся к точкам пересечения В и В, предельного луча Х., с этими границаыи, позтоыу г(А, С) — + г(А, В), г(А, С~) †-ь г(А, В,).
В силу равенства (1), когда луч у. стремится к лучу Х., и г(А, Е) -+ -+ г(А, Р), то г(А, Е,) стремится к г(А, а). Очевидно, при этом точка Е, стремится, как к своему предельному положению, к точке Рг Итак, теорема доказана. 142 лополнвнив ш ДОПОЛНЕНИЕ Ш ТЕОРЕМА БРАУЕРА Более общим отображением, чем гомеоморфное, является отображение непрерывное. Отображение множества М на М, называется непрерывным, если каждой точке М отвечает ее образ — точка М„и если пределу последовательности точек М отвечает на М, предел последовательности их обрязов (ие предполагается взаимная однозначность отображение). Пусть дано непрерывное отображение множества точек М на множество М,.
Если точка А множества М при этом отображении перешла сама в себя, то точка А называется неподвижно<2 точкой нашего отображении. Яы докажем здесь фунламентальную теорему Брауера (Вгов<ег) относительно непрерывного отображения выпуклого тела в собственную часть. Зта теорема играет существенную роль в доказательстве целого ряда теорем анализа, В частности мы будем пользоваться ею в $61.
ТЕОРЕМА БРАУЕРА, 1<ри всяком непрерывном отображении Гвыиунлоео тела с<' в лросл<ранслгве л измерений на множество Ц, совпадаюлгее с П или являюшлеся его чпстью. суи<ес<лвует хотя бы однп неподвижная точнп. Так как все выпуклые тела гомеоморфны и-мерному симплексу (см. Дополнение И, теорему 5), то достаточно доказать эту теорему лля и-мерного симплекса ').
Мы далим замечателькое доказательство этой теоремы, принадлежащее Кнастеру, Куратовскому и Мазуркевичу я). Обозначая вершины н-мерного симплекса То через р,<, р„..., р, любую его й-мерную (О (й (л) грань булем обозначать через (р,, <ь 3 р<, ..., р,), где р, (т=О, 1, 2, ..., А) образуют совокупность веРшин этой гРани. ПУсть симплекс Ть симплициально з) Разбит на некоторые симплексы Т*. Каждой вершине р симплексов подразделения отнесем целое число е(р) следующим образом. Рассмотрим грань наименыпего числа измерений основного симплекса Ть содержащую р. Пусть этой гранью оказалась й-мерная грань (р<, р<, ..., рм) (О(й.(н). Число е(р) определяем равным одному из индексов г<„г„..., г'„. Например, если р совпадет с вершиной р, сиь<плекса То, то е(р)=г; если р лежит на прямой р,р, не совпадая с ее концами, мы можем приравнять е(р) одномуиз чисел г или г и т.
д. Наконец, если р лежит внутри Ть (не принадлежит ни одной й-ь<ерной грани (й(н)), то е(р) может равняться любому из (и+1) чисел О, 1, 2,..., и.. Нааопем е(р) нормальной йбуннйией вершин. <) Теорема брауера верна, конечно, ие только лля п-мерных выпуклых тел ио н лля всех тел, гомеоморфных и-мерному снмплексу. ') 1<цпб.
Ма1., т. 14, стр. 132 — 137. ь) ПУсть л-меРныз симплекс Т Разбит иа снмплексы Ть, Ть Т<... Х„ Э<о разбиение называется сиги<еичиальним< если хва симплекс< разбиения нли не имеют общих точек, нлн имеют в качестве пересечеиих оощую целую Л-мер. иую Грань (Л< и). 143 теогеыа БРлуага Назовем рвпревешпативпым сгсиплвксом тот из симпаексов Т' нашего разбиения, (и+ 1) вершинам которого отнесены и+ 1 различных чисел О, 1, 2, ..., и. (На черт. 31 мы приводим разбиение двумерного симплекса с подобным отнесениеы вершинам симплексов разбиения чисел О, 1, 2„- заштрихованный треугольник есть репреаентативный симплекс.) ЛЕММА 1.
Каково бы ни было симплилиальнов разбив- 1й пие симплвкса Тз и какова бы ни была нормальная Яу»кг4и» верашн е(р), заданная наверииииьс симплексов разбиения. всегда существуют рвлрезвн- 1 тативямв симплекси и притом в нечетном числе. Доказательство ведется методом совершенной индукции. 1 Теорема тривиальна для случая и = О, когда сиыплекс сводится г к одной точке. Считая теорему верной для симплексои (и†1) О измерения, докажем ее для симплексов и измерений.
Черт. 31. Пусть дано симплициальное разбиение и-мерного симплекса Ть н на вершинах р сиыплексов разбиения определена нормальная функция е(р), где в(р) равно одному из чисел О, 1, 2, ..., и†1. Назовем (и†1)-мерной репрезектптивной гранью (и†1)-мерные грани сииплексов разбиения, на п вершинах которых нормальная функция принимает и значений: О, 1, 2, ..., и†1. Число (и†1)-мерных репрезентативных граней симплекса раабиения Т, обозначим через а(Т,).
Возможны трн случая. 1) функция в(р) на вершинах симплекса Т, принимает все (п+1) значений О, 1, 2, ..., и; Т,— репрезентативный сиыплекс, он содержит единственную репрезентативную (и — 1)-мерную грань, противоположную вершине р, для которой в(р)=п, отсюда а(Т,) = 1, Ха(Т) =Г„, где р„— число репрезентативных и-мерных симплексоз; сумма в левой части берется по всем репрезентативным симплексам. 2) функция в(р) на вершинах нерепрезентативного симплекса Тз принимает и значений О, 1, 2„ ..., и†1. Одно нз этих значений она должна принимать два раза, следовательно, Тв имеет две репрезентативные (п — 1)-мерные грани: а(Т) =2.
3) Функция в(р) на вершинах сиыплекса Тз выпускает одно из значений О, 1, 2, ..., и — 1, а(Тз)=О. Отсюда ~ а (Т): — ~~'„, а (Т,) (той 2). (2) 144 дополнения ш Первая сумма берется по всем и-мерным снмплексам разбнення, вторая по репрезентативным и-мерным снмплексам. Произведем несколько друюй подсчет репрезентатнвных (и — 1)-мерных граней. Возможны два случая. 1) Репрезентативная грань попадает внутрь основного снмплекса Ты она есть общая граница двух снмплексов разбиения, н в сумме .,'~~а(Т) мы ее считали два раза. 2) Репрезентативная грань попадает на границу Т„, Из определения такой грани н функция е(р) следует, что она может находиться только на (и — 1)-мерной грани рь, р„ре, ..., р„, основною снмплекса.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
