Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1) (947319), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Обозначим через р„, число (и — 1)-мерных репрезентативных граней, попавших на (ре, р„..., р„,). Имеем: ~а(Т) емр„, (глод 2). (3) Из (1), (2), (3) следует: Р„==Р„,(шоб 2). Но для (и — 1)-мерных снмплексов лемму мы счнтаем доказанной: Р ч — г иечетно, следовательно, Р„нечетно. Во всЯком слУчае Р» ф 0 (нбо нуль число четное). Р~ ЛЕММА 2. Пусть симплекс Те покрыси (и+ 1) замкнутыми множествами А, А, ..., А„яшкам образом, что его н-мернаяграньр, р,...., р (О(й(и) покрыта множествами А. А,,..., А 1' При втих условиях существует точка„ вЂ” иринаЗлежащая всем (и+ 1) множествам .~3 — .
А, (ю'=О, 1, 2, ..., и) (черт. 32). Разобьем Те снмплнцнально н на верРе С шинах р снмплексов разбнення определим следующую функцню е (р): рассмотрим Черт. 32. грань (рке рй, ..., р,е) (О (й (и) наименьшего числа нзмереннй, заключаюеную р. Точка р попадет в одно нз множеств А, А,,..., Аг е покрывающих гы эту грань. Примем е (р) равным индексу тою нз этих множеств, которое заключает р (нлн любому нз таких индексов, если р попала в несколько нз множеств А, А,, ..., Аг); е(р) есть нормальная функцня вершин.
Для нее в силу леммы 1 должен существовать репрезентативный снмплекс Т, среди снмплексов нашего разбнення. На вершинах Т, функцня е(р) принимает все (и+1) значений О, 1, 2, ..., и, нлн: вершины Т, принадлежат (и+1) различным множествамАе Будем производить снмплнцнальные разбиения Те на все более н более мелкие снмплексы; пусть диаметры снмплексов и-разбнення не превосходят е„, !пп е„ = О. Рассмотрим последовательность репрезентативных снмплексов Т„ Т„ ..., Т„,...; 1-го, 2-го, ...,т-го,... подразде.ленин. Вследствне компактности Ть совокупность вершин снмплексов Т имеет точку сгущения 1е.
Выбрав произвольное е, ограничимся в после- теогемл свлввел 145 довательности Т теми членами, для которым з„( ~ . В сфеРУ РадиУса †,- с центром в гз попалает по кРайней меРе одна веРп>ина одного 2 из симплексов Т, а слелователы>о, в сферу радиуса е вокруг 1е — все (л+1) яер>пин такого симплекса. Так как вершины Т принадлежат всем множестваь> Ам А„Ам ..., А„, то в любон е-окрестности точки Ь> найдутся точки всех множеств А, 1<=-0, 1, 2, ..., л); ге есть предельная точка лля всех А< и вследствие замкнутости этих множеств принадлежит им самим. Лемма локазана.
Перейдем к доказательству теоремы. Введем на Т> барнцентрические коорлинаты см с„ с.„ ..., с„, ~,с, = 1 '). Лля точек То все с, л О. Пусть точка а (с,) (1 = О, 1, ..., а) перейдет при преобразовании Г в точку Ь=р(а) с координатами;с,' (<'=О, 1, 2, ..., а), ~~.',с<'=1. Так как Ь( Т<ь то; все с,'> О. Рассмотрим точку а, лежащую на грани р,, р,, ..., р< (О (й-.а). Координаты с точки п при ) ф «, и ..., <я равны нул>о, с, +с, + ... +с, =1. Пусть Ь =- Р(а) имеет коорлинаты сэ', Н > с< > +<< =~с< >с< +с< +..+с~', < — > то невозможно однозр«<г«нное выполнение неравенств: с< ..с<, с< . с<, ..., с< с< ч' «' » '''' л.
<' по крайнев иере лля одной из этих координат будем иметь: с<, (с<,. Отсюда слелует: если обозначить через А< множество точек, у которых координата с, не возросла при преобразовании >«, то всякая точка а >рани (р,р,, ..., р, ) покроется одним из множеств А,, А ..., А >о' <Р Множества А, удовлегворя>от условиям пре>тылун>ей леммы. Ыы можем поэтому утверждать, что существует на Те хотя бы одна точка а„(сев>, с>М>, ..., скы>), котоРаЯ попадет Яи все множества А (<=О, 1, ..., л). Нн одна из координат точки ае при преобразован»и р не возрастет. Отсюда, если сеп<, с>»>, ..., с„"> су>ь коорлинаты точки ь„= р>а»), то с,.м> '.ь с<<» (О -.
<'-., в), ся«довательно: я М 1 =-- 'Е с,<д> )- У с и> = 1. <> в <==> Поэтому неравенства отпадают, и мы получаем см> =со> (<=О, 1, « 2, ..., л). Точка ае совпалет с точкой Ь, в которую она перейдет при преобразовании <Р, т. е. аз есть неподвижна» точка. Теорема Брауера показана. Обобщения теоремы Брауера на случай линейных пространств более общей природы ланы послеловательно П. С. Александровым и В. В. Немыцким, Шаулерои (Бс»ап<>ег), А. Н. Тихоновым. '>См. конец а 11 УКАЗАТЕЛЬ Абсолютный минимум (максимум) 62 Александров П.
С. 145 Аналитические многообразия 77 Аналитический критерий положительности формы 109 Аппроксимация (иаплучшая) вектора 69 Ассоциативность сложения векторов 14 — умножения вектора на скалвр 14 Базис совокупности векторов 21 Барицепгрические координаты 53, 54 Билинейная форма 87 — — симметрическая 87 Билинейной формы козфициеиты 87 БиркзоФ 128 Брауера теорема 142 Вековое уравнение 99, 100 Вектора геометрическая проекция на многообразие 31 — компоненты 12 — конец 12 — начало 12 — норма 26 — проекция 30 — проекция нз многообразие 69 — умножение на скаляр 13 Векторов ассбпнативность сложения 14 — внутреннее произведение 31 — дистрибут. законы операций 14 — коммутативность сложения 14 — линейная зависимость 15 — разность 13 — сложение 13 — совокупность как многообраэие16 — сумма 13, Векторы 11, 12 — единичные !4 — целочисленные 134 Вершины куба 23 Вейерштрвсса теоремы 63 — 65 Выпуклаи область 137 — †миниму 129 Выпуклые тела 137 Гвдамара неравенство 81 Географические координаты 52 Геодезические линии 51 Главные оси квадратической формы 99, 100 Гомеоморфизм выпуклык тел 140 Градиент функции 44 Грамма определитель 68 — 69, 80, 112 Грани куба 23 Граница области 39 Граничные точки 39 Грань репрезентативная 143 Группа преобразований 19 Дламетр множествз 26 Дирилле принцип 58 Дисьриминаит квадратичной формы95 Дистрибутивносгн зэкоим в опсрацияк над векторами 14 Днференниал 43 — 44 Длина отрезка 25 Длина проекции 31 Долгота сферическая 51 Дуги элемент 50 Евклидова н-мерное пространство 25 Единичные векторы 14 Единичный куб 23 Замкнутая область 39 Замкиутое множество 39 Замыкаюпгая полигона 31 Зеркальные отражения 103 Изолированиан точка 91 Изопериметрическая задача для полигона 82 Инварианты линейных преобразований 18 Инерции закон (кзадрат.
формы) 97 Канонический внд квадрат. формы 88 Касательные многообразия 54 Квадратичная формл 88 — — на линейном многообразии 114 — — неотрицательная 89 — — положительно определенная 89 — — главные оси 99, 100 — — закон инерции 97 — — нормальный вид 88 — — преобразование 95 Классификация экстремумов 62 Коммутативности закон сложения векторов 14 Компавтное в себе множество 41 Компоненты вектора 12 Координат местная система 51 Координатная линия 55 укдвэтвдь 147 Координаты барицентрическне 53, 54 — криволинейные 47,50 — сферичесиие 51 — эллиптические 52, 53 Координаты многообразия 51 Коши последовательность 40 Ковфициенгы билинейной формы 87 Кратные точки 48 Крест коордииатяый И Критические значения функции 58 — точки 48, 49 — (условно) значения 75 Куранта-Фишера экстремальная теория собственных значений 105 Куба вершины 23 — грани 23 — ребра 23 Куб единичный 23 Лагранжа формула 22 — Эйлера метод неопределенных множителей 73 Либмана метод 131 Линейная зависимость векторов 15 Линейное нли векторное пространство 20 Х!ииейиые преобразования 17 — 20 Линии геодезические Ы вЂ” равных значений 91 Линия координатная 55 Липшица условие 43 Лоренцово преобразование 38 Максимума и минимума условия 89- 90 Минямаксз точки 128 Миннмаксы 93 Минимум (максимум) абсолюп!ый 62 — — относительный 62 — — строгий 62 Минимума выпуклая область !29 Минковского неравенство 83 Многообразие линейное 6 — й-мерное 48 — — линейное 6 — сферическое 26 Многообразий параллельность 10 — пересечение 9 Многообразия аналитические 47 — (взаимная принадлежность) 9 — касательные 54 — координатные 51 — параметрическое определение 47 Множества диаметр 26 Множество вам кнутое 39 — компактное в себе 41 — ограниченное 41 Неммцкий Л.
Р, 145 Норма вектора 26 Нормальная функция верщнц 143 Нормальный вид квадратичной формы 88 Ньютона формула 22 Области граница 39 — минимума свойства 129 — 130 Область 38 — больших значений 92, 106 — выпуклая 137 — задания функции 43 — замкнутав 39 — меньших значений 92, 106 — несвязная 93 — связная 95 Образ точки 140 Объем н-мерного тела 81 Ограниченное множество 41 Окрестность точки 39 Определитель грамма68-69, 80, Н2 — преобразования 18 Ортогональная проекции точки 30 Ортогональн. преобразования 34, 97 Ортогональных преобрззоваш!й обобщение 36 Относит. минимум (максимум) 62 Отображения непрерывные 142 Отражения зеркальные 103 Отрезка длина 25 Отрезок направленный 12 — прямой 1! Параллелепипед 24 — л-мерного пространства 23 Параллельное перенесение 12 Параллельности векторов условие 27 Параллельность многообразий 10 Параметрическое определение многообразия 47 Перенесение параллельное 12 Пересечение многообразий 9 Перпендикулярности векторов уело« вие 27 Плоскость опорная 139, 140 Полигона замыкающая 31 Полиномов пространство 21 Последовательность Коши 40 Предел носледовательностп точек 40 Предельная точка 39 Предельный переход в и-мерных пространствах 38 Преобразование Лоренца 38 — вырожденное 18 — обратное 18, 19 — переменных 48 — тождественное 18 Преобразований группа !9 — ивтерпретацня 18 — произведение 18 — 19 Преобразования квадратичных форм 95 — линейные 17 — 20 148 уклзлтвль Преобразования определитель 13 — ортогонааьные 34, 97 — треугольные 20, 97.
116 Приближенное нахождение точек минимума 129 Принцип взаимности Эйлера 84-!Чл Дцрихле 58 Приращение фуикинп 43 Проекции длина 31 Проекций векторов сумма 31 Проекция вектора 30 — — геометрическая 31 — — на многообразие 69 — точки 30 — — иа многообразие 31 Произведение векторов внутреннее 3! — преобразояанк» 18 — 19 ПЯонзводная в данном направлении 44-46 Пространство цо.тнномов 21 — решения линейного однородного уравнения 22 — цветов 22 Радиус-вектор 51 Разность векторов 13 Расстояние между точкзмп 25 Расстояние тачки до л~ногообразяя 54 Ребра куба 23 Репрезейтатнвная грань 143 Репрезентативпып симплекс 143 Сети целочисленные 134 Сеть плоская 135 Сильвестра теорема 109 — теоремы обобщение 112 Сивметрическая билпнеяиач форма 87 Симплекс л-мерный 23 — репрезентативный !43 Скаляр 13 Сяожеиие векторов 13 Собственные значения формы 100 Соколов И.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
