Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 23

Пусть положительными будут только первые р коэфициентов (р. и): 1„ 1, ..., 1 и только первые р' коэфициентов (р' ( р): >п„ т, ..., т„,'. Рассмотрим систему р' + (п — р) уравнений: Число р'+н — р меньше н, так как р'(р. Числа у,, ст выражаются линейно через первоначальные переменные х„х, ..., х„, н мы получаем относительно х ов систему однородных линейных уравнений, где чишю уравнений меньше числа неизвестных. Поэтому существует бесчисленное множество систем значеннй х„х„, ..., х„, не равных одновременно нулю, таких, что система уравнений (15) удовлетворяется. Пусть лтю (1=1,2, ...,и) — одна такая система значений. Отвечающие ей значения у„в, пусть будут: <ь> <е> <1=1, 2, ..., и).

Если бы все у": были равны нулю, то и все л<), выражаемые через . <ь) ь) них линейно, тоже былн бы равны нулю, что противоречит нашему пРедположенню. Следовательно, некотоРые из У<ь» ф Ог пРичем, так как для»р, у„=О, то не равные нулю значення у<. найдутся лишь <о> 0] средн облалающих индексом < (р. 9 20) гллвныа оси квлдаатичной эоэмы (ввковоа гялвняниа) 99 Итак, л 4=1 Наоборот, среди х1~ найдутся не равные нулю лишь при г'> р'. довательно: Сле- ~э амх~ 1х~„' = ~ т, (а~и)~:" О т=-Р+1 (ги, ° О при 1,, р'), получаем противоречие. Итак, р =,у'.

Аналогично доказывается равенство числа отрицательных коэфициентов. $20. Главные осн квадратичной формы (вековое уравнение) Пусть ортогональное преобразование х~ = ~ 4иуь преобразует форму и переменных у = д~~ пях~хь к нормальному виду У (А,) = й„ то Л=р, (см. задачу 1 $16). Принимая эа переменные координаты х„х,,...,х„ ') В силу сделанного выше замечания мы считаем числа ГЧ вещественными. у=~",йу,я )- (16) Сфера Я, определяемая уравнением Е=~~' х,"= 1, перейдет при э1ом в такую же сферу ~у,э=1. Рассмотрим серию гиперповерхностей второго порядка У=л нри менЯющемсЯ л.

Легко доказать, что пРи И=рг гипеРповеРхность У=А коснется сферы Я в точке Аи лежащей иа оси эг В самом деле, в новой системе координат точка А, имеет координаты: у,=1, у,=О при г'ф1, следовательно, касательное линейное многообразие к сфере 3 в точке А, имеет вид у,= 1, ио это же мно1а гообразие будет, очевидно, касательно к гиперповерхиости,),', плуте=из ,/.=! в точке Аг Отсюда на основании РассмотРений 9 21 мы полУчаем, что точка А, является стационарной точкой функции l на сфере э, следовательно, в точке А, удовлетворяется уравнение (У вЂ” ЛЕ) = О, где Л есть постоянный множитель Эйлера. Множитель Л равен У(А,). так как квлдтьтнчныв ФОРмы и ВТОРОЙ дньатанциал [гл. 1Ч 1ОО молучим для точки Ад й(У вЂ” Й,Е) =О маи д дх (Х вЂ” <ь>п) — О (>< — 1 2 и) > Таким образом координаты х, точки А, должны удовлетворять следующей системе уравнений: а<,— Л а, аь а — Л...

агь (18) а<а а„ ...а„„ — Л Уравнение (18) называется вековым уравнением. Это название заимствовано из астрономии (из теории вековых возмушеннй). Элементы а,ь и а„ в вековом уравнении (18) равны между собой: а, =а , так как определитель ~а,ь~ симметрический. Корни уравнения (18) называются собственными знматенмммм формы. Таким образом: если форма У приводится при помощи ортогонального преобразования к нормальнол<у виду, лго все ковфициен<пы приведенной к нормальному виду формы су<ль корни векового уравнения. Заметим сейчас я<е несколько следствий, которые вытекают нз доказанного предложения.

Если форма Х приводится к нормальному виду и если все действительные числа и< различны, то все корни векового уравны<ия действительны и различны. Это вытекает из того, что вековое уравнение имеет степень и и что л чисел и, суть его корни. Знав коэфициенты й, приведенной формы, нетрудно определить также и взаимно ортогональиых направлений пространства (х, хы ..., х„)— алавных осей формы, которые прн ортогональном преобразовании формы к нормальному виду переходят в координатный крест.

Разберем два случаю 1. Все значения <>< различны: и Фре (1ФЛ. В этом случае для каждого и< система (17) будет иметь нетривиальное решение хш(1=1, 2, ..., и), но тогда уравнения х. = сх".~ ори 1=1,2, ...> и нам дадут все и главных осей изучаемой формы. ,ь< а,,хь — и>хг — — О () = 1,2, .... и), (17) ч Е = ~ х з = 1. Система (17) есть система линейных однородных уравненлй; для того чтобы координаты точки А<, не совпадающей с началом координат, удовлетворяли этому уравнению, необходимо обра<цение в нуль детерминанта этого уравнения, следовательно, число р< должно быть корнем уравнения: $20) гллвныв оси квлдватичной вогмы (ввковов я'лвнянив) 101 2. Среди «< имеются равные, пусть <<<=0< = ...

=0+а — — 1<. В этом случае приведенная форма будет содержать группу членов вила: <+в р ~~'.,узг; оставляя форму в нормальном виде, можно совершать над не'е=< " ременными у<, у +н ..., у +„любое ортогональное преобразование. Отсюда заключаем, что система (17) при рассматриваемом значении будет допускать А+ 1 линейно независимых друг пруту ортогональных решений: Следующие й+ 1 прямых / = 1, 2,..., и, определяемых уравпенияли: (<=1, 2,...,п), можно принять за и главных осей, соответствующих значениям р,= =р,+ — —...=<«+ . Легко видеть, что в разбираемом случае главные <+« +а осн определяются не единственным образом.

Привеленные рассмотрения показывают, что если существует ортогональное преобразование, приводящее форму к нормальному виду, то его фактическое определение, а также определение коэфицнентов приводится к решению векового уравнения. Перейдем теперь к доказательству возможности приведения любой квадратичной формы к нормальному виду.

Применяя бесконечно малые деформации квадратичной формы, можно по коэфициентам р< определить все корни векового уравнения даже в том случае, когда среди чисел имеются равные, а некоторые из них обращаются в нуль. Считая р, расположенными в неубмваюи<ем порядке, допустим, что все 1« распадаются на т групп чисел, разных между собой: Р<=1<в= - ° ° = Р< ° 1' Р<+< =1«+г= ° ° =2<+< < 1 < ° <«<+< + .— +<«-<+< = <«<+< + ... +<««+в= '= Р~,+<<+ ° "+<в<-<+<я< В талом случае Х= р<+<, ....ь<, будет корнем векового уравнения, ° ° < "' в причем кратность етого корня будет равна <.

Теорема сохраняет силу также, если числа р, одной из групп равнй нулю. Для докавательства построим вспомогательную форму: у(е,) = ч<« <,'у<в, где ут — — р,+<е,; все числа е, различны, точно так же, как н числа у<'. / Следовательно, вековое уравнение для формы ./(е,) будет иметь и различных действительных корней у.<', рв', ..., «„'. При е<, стремящихся одновременно к нулю, все коэфнциенты векового уравнения формы е(е<) будут стремиться к коэфициентам векового уравнения формы Х, а корни 102 КИАЛРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ И ВТОРОЙ ДиФЕРЕНЦИАЛ (гл 1Ч Х = 1»,', р ', ..., 1»„' будут стремиться к р! ря, ..., р„, следовательно, корень Х = йй + » + „.Ф», полученный в результате слияния ! корней,.', имеет кратность !.

ТЕОРЕМА. Всякую квадратичную форму л переменных мови!со иутем ортсионаллного преобразования иривести к каноническойформе. Проведем доказательство методом полной индукции. При и=2 возможность приведения формы к нпрл!альнолгу известна нз аналитической геометрии. Допустим, что для любой квадратичной формы и переменных существуют ортогональные преобразования, приводящие ее к нормальному виду. Докажем, что то же имеет место лля формы (и+1) переменных.

Итак, пусп, дана форма: в+! У= ~ а,ххл ял (и+ 1) переменных х„хм ..., х„, хи+!. В силу теоремы Вейерштрасса на сфере н+! Е=,!.', х,е= 1 с=! существует точка А, (х~,"', ..., хн+,), в которой функция е достигает условного минимума на этой сфере (точка А, в силу теоремы я й 16 есть условно стационарная точка функции У на сфере Е=1). Совершим над переменными х„х, ..., х„+ какое-нибудь из ортогональных преобразований, переводящих вектор ОА, в новую координатную ось у„ Допустим, что в новых переменных у„уя, ...,у„+, форма У примет вид: н+! е = Х аму!у».

с,» Докажел!, что а. „+,— — и„+. а — — О пРи Я=1,2, ..., и. В самом деле, в условной стационарной точке А, функции У, лежащей на сфере Е=1, гиперповерхность У=У(А!) касается сферы Е=1. В новой системе координаты точки А, будут у„+! — — 1; уа — — О, если к < и+1. Насательное многообразие к сфере В= 1 в этой точке определится уравнением у„+,—— 1; касательное многообразие к гиперповерхности У = У (А,) в точке А, определится уравнением (см.

формулу (5) $18): и+1 1 <л1 ~е а!.у!у!. ! = У(А!), », ! где у — координаты точки А„т. е. уи+, —— 1, у =О при !'(и. (л> <о> <о> Следовательно, уравнение нашего линейного касательного многообразна примет вид: в + ! Х ал „+ !У, = (УАл) $20] гльвныя оси квьлеьтичной еоемы (вековая те»вменив) 103 Совпадение линейных касательных многообразий в точке Ал к сфере Е= 1 и к многообразию У=У(А,) приводит к требованию: е. =0 при 1<и+1, и»+л,»+л=У(Ал). Таким образом в новьгх координатах форма У примет вид: и + у„+ +лла уу.; сг этим самым нам удалось при помощи ортогонального преобразования форму У представить как сумму квадратического числа а„„+,у„+, и формы и переменных.

Но согласно основному допущению существует ортогональное преобразование над переменными уп уг, ...,у„, приводящее к нормальному виду форму этих переменных. Совершая это преобразование (сохраняя неизменной координату у„+ ), получим: »+1 з =.са рту~ 1 $ если корень кратный, то он считается столько раз, какова его кратность. ТЕОРЕМА 2. Если асс корни векового уравнения различны и если ";.= Х дтул ь =! (1=1, 2, ..., п) есть одно из ортогональных преобразований, приводящих форму к нормальному виду, то все остальные ортогональние преобразования, нориирующие форму. получаются из рассматриваемого путем перестановки индексов при у (перенумеровка осей) и путем замены произвольной системи: у, у, „,уг через — у„— у,,, — угу (зеркальные отражения).