Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 24

11ервая теорема вытекает из того, что всякую форму можно привести к нормальному виду, и из того, что все коэфициенты рл суть Этим самым возможность приведения к нормальному виду полностью доказана. Из этой теоремы, если воспользоваться приведенными выше рассмотрениями относительно фактического определения нормального преобразования, нормализующего форму, можно сразу получить ряд следствий — теорем основного значения.

ТЕОРЕМА 1. Все корни векового уравнения действительны; зти корни образуют совокупность всех собсплвенных значений квадратичной формы. Иными словами, если Ут, 1ла, ..., и» сУть коРни векового УРавнениЯ, то форму можно привести к виду: 164 ИВАдРАтичные ФОРмы и ВТОРОЙ диФВРенциАА [гл, 1г' корни векового уравнения, причем если среди ут имеется гл равных, то соответствующий корень векового уравнения имеет кратность т.

Для доказательства второй теоремы достаточно заметить, что каждому простому корню векового уравнения соответствует единственная главная ось квадратичной формы У и что ортогональное преобразование, приводящее форму к нормальному виду, должно переводить крест, образованный главными осями формы, в координатный крест новой системы координат. Таким обравом ортогональное преобразование, приволяшее форму к нормальному виду, допускает и при различных корнях Х =ц, некоторую многозначность, которую можно считать несущественной.

При совпадении двух или более корней ут мы получаем возможность преобразовать У к нормальному виду (16) бесчисленным множеством способов. В самом деле, пусть Ре = Рг+ 1 = - ° ° = У е+р ° 1=4+я В формулу (16) войдет группа членов уч,г,' уз. Обозначим через 8 д-а р-мерную сферу а+ р ~у~э=1; у,=О при г(1 или г)1+р. э.=. 4 Сохраним направление всех осей, кроме осей у,, у,+,, ...,уг+р, неизменными. Группу же переменных у, у +„ ...,у + подвергнем произ- Г+Р " ' А+р вольному ортогональному преобразованию. Получим новое ортогональное «+ Р преобразование, не меняющее вида суммы ~уээ, т. е. переводящее 1=4 сферу 8 в самое себя. Следовательно, не меняется и вид формы: Р 2;Л у,э. Точка А„расположенная на пересечении сферы 8 с осью у„может перейти при этом в любую другую точку сферы 8. Из свойств точки А, мы заключаем, что любая точка 8р есть стационарная точка У на 8, т.

е. в любой из этих точек удовлетворяется условие Н(Х+ АЕ) = О нли, в старой системе координат, уравнение (17). Последнее обстоятельство следует еще нз такого соображения: однородные линейные уравнения (17) имеют, при Х=-Р„р+1 независимых решений (так как соответствующие векторы ортогональны). Любая линейная комбинация этих решений есть также решение системы уравнений (17). Решения этой системы образуют линейное р+1-мерное многообразие, вырезаюшее из сферы 8 р-мерную сферу 8 . Одновременное приведение к каноническому виду двух квадратичных форм. Пусть нам даны две формы: ./, = 2„', 'а„х,ха, ./ = ~~.", Ь,„хгхь, ьь СА причем форма Ум есть форма положительно определенная.

Требуетсв линейным преобразованием переменных х, одновременно привести формы 2 21] эксттемальнля твогия совстввнных знлчвний вишвеь-ввалить 105 1!, 1в к каноническому виду, причем так, чтобы форма 1! перешла в единичную форму. Для решения задачи ортогональным преобразованиев! х! — — ~а!ьу! (г=1,2, ...,л) и приведем форму 1, к нормальному виду л 1,(х,) = 1,'(у,) = ~! 1!у!~, Ю= ! где все !! ) 0 в силу положительности формы 1,. Линейное преобразование у!= 1! ь!а! преобразует 1,'(у,) в единичную форму: 1, (у!)=1!"(а!)= ~~'.,х!в.

4= ! При этом 1з(х!) перейдет в результате обоих преобразований в некоторую форму переменных г,: 1е(х,) = Х,"(в,) = ~ Ь„;в!а!. Ортогональным преобразованием переменных х! =,~~ р,„гг„ (1 = 1, 2, ..., л) можно привести эту форму к каноническому виду: 1 "(х!) = 1в'"(и,) = ~~, '1!ги!е, г=! при этом форма Х~ь(а!) перейдет в единичную форму .l~"(и!) =,~~ и,". На основании предыдущего числа й! представляют собой стапяонариые значения формы Х, пря условии 1, =1. Условие с1(1е — рХ!) =0 примет в прежних координатах вид! ~(Ь!„— рим) — 0 (!=1, 2,...,и).

В=! Числа й! определятся как корни уравнения: ] б!! — йи!„] = 0 5 21. Экстремальная теория собственных значений Фишера-Куранта Фишеру и Куранту принадлежит интересное определение собственных значений, опирающееся на весьма простые экстремальные свойства собственных значений. Иы поясним его сначала на примере положительной формы 1 трех переменных х„х, х.. Уравнение 1=1 есть уравнение обыкновенного квьдеьтичныв еоэмы и втоэой лиьвгзнциьл 1гл. 1Н 1ОЕ эллипсоида.

Наибольшая ось эллнпсоила лает максимум рассгояний от начала координат до поверхности эллипсоида, т. е. максимум единичной формы Е=х,э+хат+х э (19) при условии Х=-1, наименьшая ось — минимум расстояний от центра эллипсонда, т. е. минимум Е при Х=1. Средняя ось опрелелится несколько сложнее. Рассмотрим зсе плоские сечения эллипсоида, проходящие через его центр. Они высекают из поверхности эллнпсоида эллипсы с центром в начале координат.

Рассмотрим совокупность больших осей этих эллипсов. Каждая из этих осей дает максимум Е прн условии Х= 1 и дополнительном условии з ДЬ,.х,=О. Уравнение (20) есть уравнение плоскости, высекающей этот эллипс. Средняя ось есть наименьшая из элшх больших осей. По принципу взаимности мы можем рассматривать экстремум функции Х при условии Е= 1. Направление меньшей осн есть направление максимума Х на сфере Е=1. Направление большей оси есть направление минимума Х на Е=1.

Направленяе средней оси определится как направление наибольшего из минимумов Х на сфере Е= 1 при дополнительных условиях (20), причем в условиях (20) нужно лавзть числам Ь„Ье, Ьа произвольные значения, за исключением: Ь, =Ьэ=Ь =О, (Прн таком определении можно отказаться от требования положительной определенности Х.) Разъяснив~ этот метод геометрически. Пусть Х вЂ” произвольная положительная форма трех переменных х„ хэ, хэ. При достаточно большом с поверхность Х=с лежит вне сферы 8, заданной уравнением Е= 1 (черт. 16).

Уменьшая с, мы добьемся того, что при некотором с = с, поверхность Х = с, коснется сферы 8 (черт. 1 7); с, есть значение максимума Х на 8, ибо, при с > с,, Х= с не имеет точек на сфере. Точки касания А, и Ае (симметрично расположенные относительно центра) суть точки максимума Х на 8. Будем называть областью меньших значений совокупность точек сферы 8, в которых Х(1, точки 8 в которых Х> 1 составят облаешь больших значений.

При дальнейшем убывании с (черт. 16) появятся две области меньших значений, высекаемые поверхностью Х= с яз сферы 8, вокруг точек А, и А,'. Эти области симметричны относительно центра, так как Х в двух симметричных точках принимает равные значения. Прн дальнейшем убывании с для некоторого значения с =сь обе части области меньших значений сольются. Область же больших значений в этот момент распадается на две части (черт. 19).

Сфера 8 вторично коснется поверхности Х= с . )1о этого момента большой круг, расположенный ортогонально к диаметру А,Аа', лежал целиком в области больших значений и делил область мейьших значений на две части. Теперь же этот круг уже не лежит целиком в области больших значений. Максимум Х на этом круге равен, очевидно, с и достигается в точках Аэ и симметричной ей точке Аэ', в которых Х=ся касается $21) экстевмьльнля тяовия совствннных энлчвний фишвеа-ктвлнтл 107 сферы 8. (Очевидно, точка А, есть точка мнпимакса У на о.) При с=ся область меньших значений не содержит ни одного полного большого круга.

Очевидно, максимум У на любом большом круге не лежит в области ь~еньшнх значений для с=сэ, т. е. максимум У на любом большом круге не меньше се. Число сз есть минимальное значение максимума Я на любом большом круге сферы о. Если мы будем рассматриватьмаксимум У прн Е=1 и Ь,х,+Ьех -4-Ьэхз — О, варьиРуя Ь,,Ьэ,Ьа, и искать наименьшего значения этого максимума, то получим, очевидно, для наименьшего нз этих максимумов значение с. Черт. П. Черт. 18 йР Черт.

19. Черт. 20. Черт. 21. Черт. 22. При дальнейшем убывании с мы будем иметь картину, даваемую черт. 20. Область больших значений состоит из двух частей, не имеющих общих точек. Наконец, при некотором с =сз область больших значения исчезнет, сфера Я в третий и последний (черт. 21) раз коснется поверхности 1=се. са есть значение минимума Х на о. При дальнейшем убывании с сфера Я заключает внутри себя эллипсоид У=с (черт. 22).

Развитый выше метод лля прямого определения собственных значений квадратичной формы трех переменных распространяется на формы л переменных. Определим условный максимум формы л переменных: У= ~ анх,х„ (21) при т+1 (л условиях: Е = ~~.', х;з = 1. у ~ Ьцху=о (22) (1=1,2, ..., т). (23) Этот условйый максимум будет, очевидно, при заданной форме у зависеть от ат произвольных констант Ьье Обозначим его через 1.'"'(Ьн). квлдвлтичныв еотмы и втотой диевтвнцнлл (гл.

1Ч 108 ТЕОРЕМА. Нижняя граница значений Л ~(Ьи) равна т-му но ве,личине') собственному значению 1л, формы Х Эта теорема дает искомое прямое определение собственных значений формы Х Прежде чем перейти к доказательству теоремы, ладим ге»- метрическую интерпретацию этого определения. Мы рассматриваем максимум формы l на всевозможных (а — т+ 1)- мерных сферических многообразиях радиуса единица с центром в начале координат. Нижняя граница этих максимумов и есть Х~ >(Ь, ). В самом деле, если т уравнений группы (23) независимы, они определяют вместе с (22) сферическое многообразие (н — л> — 1) измерений.

Если они сводимы к меньшему числу уСлОвий, они определяют сферическое многообразие и измерений, и†1 )~ й ) и†т — 1. Следовательно, условия (22) и (23) определяют всевозможные сферические многообразия я )~ и†т — 1 измерений радиуса елиница с центром в начале координат. Число Х~, мы определяем, следовательно, как нижнюю границу максимумов л по всем таким сферическим многообразиям. Но прн й ) и†>и†1 максимум на таком сферическом многообразии больше (или во всяком случае не меньше), чем на заключенных в нем сферических многообразиях (л — т — 1) измерений. Так как мы ищем нижнюю границу этих максимумов, то нам достаточно ограничиться сферическими многообразиями (и†>и†1) измерений радиуса единица с центром в начале 1т, е. можно, не меняя нни>ней границы, требовать, чтобы уравнения группы (23) были независиь>ы].