Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 26

На координатной плоскости (х„ у) возьмем л + 1 точек, абсциссы которых суть целые числа 0,1,2, ..., л, а ординаты †соответственно члены последовательности: Ьь, Ью, бг, ..., 6„. Соединим их отРезками прямых. Число отрицательных собствеиввюх значений формы .~„ равно числу пересечений полученной ломаной с осью абсцисс. ф 23. Квадратичная форма иа линейном многообразии Как мы увидим ниже, вопрос о достаточных условиях для условного экстремума приводится к изучению квадратичной формы на линейных многообразиях.

Итак, пусть дана форма: Х„= ч~~~~ а.„х,х„. Изучим поведение У„на линейном многообразии еюм юл измерений(тч., и), заданном уравнениями: м ~юс,~ею — 0 (ю'=1,2, ..., л — т). (28) 1=1 Для этой цели введем ортогональным преобразованием новые координаты: х ',х ', ...,х„', такие, чтобы т осей хю' при ю » т лежали на многообразии Я , а остальные были им ортогоиальны. Система уравнений (28) перейдет в систему: х' 0 ю)лю. Форма е„в новых координатах примет вид) l„' =.

~ а,„'х,'хь'. ю,ь На многообразии А'„форма Х„перейдет в усеченную форму У„; от т переменных х'()» т). Обозначим через Лил ),'"' ... Л'"' 'ь ° 1 ч собственные значения формы Х„(хю) = У„' (х,'), и через Лги) )Юы) )Ют) собственные значения формы у ' (числа Лю"~, Лю~~ расположены в порядке убывания). Докажем для них следующую теорему. ТЕОРЕМА.

1-е собственное значение Л1ю") формы У„=1„не меяыие ю-го собстееинто значения усеченной формы .)м', ю+(и — т)-е собсюлвеииое значение Л'ч формы е„ие больше ю'-го значения Л )формыУ„- 5 23) келдглтнчнля еогмл нл ляпкином многооввлзии 115 рассмотрим наряду с формой у„' форму и преобразуем форму У„' ортогональным преобразованием к каноническому виду: ~ЛЯ- Так как при таком преобразовании единичная форма ие меняет своего вида, то и Аи(х,') = А„'(х,) =.'!'.

(ЛХ"' — Л((и>) Г. Числа Л(и» вЂ” Л(и» Ц = 1, 2, ..., «) суть собственные значения формы А„, аналогично числа Л('"> — Л( > (> 1,2, ..., т) суть собственные значения усеченной формы А: х'=О при (>т. Предполагая числа ) и Л расположенными в убывающем порядке: (и) (и> Л(и) > Л(и» » ,(и).

Л(м» >)(и» > Л(и> 'а ' ° т >а ° ° > мы видим, что в последовательности Л вЂ” Л (у=1, 2, ..., т) пер(и|) (и) вые 1 членов неотрицательны. В силу леммы предыдущего параграфа первые 1 членов последовательности Л вЂ” Л( (у=1, 2, ..., «) неотри(и) (и|) дательны, и поэтому в частности Л(и) > Л(и) с аналогично, так как форма Аи имеет т — 1+1 неположительных собственных значений Л'(» — Л((~> Ц ~ (), форма Аи должна иметь т — 8+ 1 неположительных собственных значениИ: Л~ > — Л("'» (1=« — т+1, « — т+1+1, ...,«) следовательно: Дадим сеИчас другое показательство теоремы, опираясь иа экстремальную теорию собственных значений. В силу этой теории Л("> есть нижняя граница максимумов У при фиксированном условии~~„',хая=1 и при (1 — 1) переменных линейных условиях: ~б„гт =0 (г=1,2, ...,1 — 1).

~1 есть нижняя граница максимумов У„при фиксированных условиях .~>хгв=1 и (28) и, проне того, при (1 — 1) церемениых условиях: ~'.,)> с =О (г=1,2, ...,1 — 1). 116 кеАЕРАтичиые Фогмы н ВТОРой диФеРенциал (гл. НГ Обозначая максимум у„при условии ~х~е =1 и 1+ и — ш — 1 условиях: ~б,х =О (г=1,2,...,1+л — гн — 1) через Л(Ь„), мы получим в силу теории Фишера-Куранта: Л ~ ~ ~ И ш ! и ! Л ( Ь/ ) Если мы фяксируем Ьа при г) 1 — 1, считая Ь, =с,, (г)1 — 1), то тем самым мы фиксируем некоторые переменные в функции Л(Ь„); такая фиксациа может только увеличить нижний предел соответстзенныхзначений Л(бы). Отсюда, вспомнив экстремальное определение Лт~~,получим: Ою еа ~~ Ла+ч — и С другой стороны, добавление дополнительных условий (28) может только уменьшить условный ыаксимум у,и а значит, и нижнюю границу зтих условных максимумов; отсюда, Вспоминая экстремальные определения Лйо Л~~~ пол чаем.

Лно ) 1~11. 9 24. Преобразование к нормальному виду с помощью треугольных преобразований Треугольным лииейиым иреобразоааиием (см. 9 4) называется преобразование: Ф х =~,а ум (29) ь 1 т. е. линейное преобразование, при котором каждое из переменных х. зависит только от переменных у,у+... „у„, Слеловательно, прн треугольном преобразовании а-мерного пространства всякое заключенное В нем а-мерное пространство х~=О (1 ) й) преобразуется в и-мерное же у = О (/ ) а). Определитель треугольного преобразовакия равен Дам.

С ь Пусть форма: ~~~ а х,х„преобразуется с помощью треугольного преобразования (29) к каноническому виду: ~, 'р.„у,". Имеем: ам а,з ... а,„ а,а„. аз„ ' Аа "и = Р ~ ' йа ° У» ! т-ь а„,а„... а„„ так как усеченные формы при х = О (1 ) а) переходят в усеченные же формы при у =О(1) й), то апаш ...а,г аа,азз... а а„,агз ...а 9 241 певовелвованив к ноем. видя с помощью тевзгольн. певовелзов. 117 Отсюда (ЗО) )д = д-а — а „з, Ьо — — 1. Ь Ре' Если все а, = 1, то преобразование (29) имеет вищ хд — — уд+адаув+ а,зуз+ ...

+ад„у„, хз = Уя+ аязУз+ - * ° + ад У «з Уд+ ° ° ° +аз«У« У«. х = « и форма ~да„х,хь передает в форму: ~-;„" —,УР (30') Формула (30') вместе с законом инерции показывает, что число отрицательных хараКтеристических чисел равно числу перемен знаков в рядду: Ьо=)д Ьд Ьы ° --ю Ь». Лля того чтобы можно было применять формулу(30) и (ЗО'), нужно, чтобы все числа Ь„Ь, ..., Ь были отличны от нуля. Якоби показал, е — д что если Ь„ф О, то можно соответственной перестановкой строк и столбцов добиться того, чтобы в дискриминантеЬ«все угловые миноры Ь были ие равными нулю; мы без оговорок будем считать зто выполненным. и (и — 1) Обратим внимание, что преобразование (29) определяется— 2 параметрами аы Ц) д), т.

е. их ровно столько, скольким условиям они должны удовлетворять для того, чтобы преобразованная с помощью преобразования (29) форма была канонической. Формула Якоби треугольного преобразования. Построим сейчас последовательности квадратических форм Вп В~,, В„следующим образом: Вд — — А для определения остальных В, дадим рекуррентиую формулу: В =В «д+д 1» (31) 1дВ дх 1дзВ Здесь х = — —, Ь = — "= — — — (Ь есть к<эфнциент при 2 дх„' дх 2 дха хя в В„; мы докажем ниже, что если все Ь фО, то и все Ь фО).

ЛЕММА 1. В (а следовательно и х ) есть форма только х Лля т=1 лемма очевидна; пусть она верна лля т=г: В, (х,) есть форма от хд«х„+и ..., х„. В силу (31) В,+, есть форма тех же переменных. Но дВ, дВ 2 да, — ~ = — ' — — л ° — '= 2л„— 2д:»=О. Ь„ В, не зависит от х„, следовательно, она есть форма от х х ...., х„. Лемма доказана. 118 ВВЯВРатичныа ФОРмы и Втогой днФВРВиннал (гл. ЙЕ ЕЕЕММА 2. Переход от х-ов к г-аи есть трераольное нреодразо- вание, приводящее А к каноническоегу виду. В самом деле, в силу определения В (см. (31)] имеем: г Я гЯ Я 4« «1-1 4 4=1 или ~ ~гэи А= 7 — '+В 4=1 Из леммы 1 следует: =~~ ф.

4=1 (31«) Обовначим теперь'. А4=М вЂ” — = Р' аих (1=1, 2, ..., я). 1 дА 1=1 ЛЕММА 3. Нпждое г, (4= 1, 2, ..., и) выражается линейно через А1, Аяв "ю а =1~4(йА$ = Х х, Х а (32) прн атом аи= 1. 1 дА Лемма верна при 1'=1: по определению г =А = — —. 2 дх1' она верна для Е~~ т. Из (3!') следует: Пусть Решая полученную систему уравнений относительно а„и найдем: 4-1.1 4+1, 1 ' ' 4«1 4 — 1,1 4+1,Я '' «юа ...а 4« — 1' ' ' 4-1, «~ — 1 4+1„ии — 1" ' ' ...а а ...а агг ам а а (33) а,=Е а, „а 1дВ г +1= — - — — — А + с4г 2 дх , +1 Х «+1 ,=1 2 дг, где сŠ— — — — —.

Так как все с (Е (гн) выражаются линейно через аздх +1 А„АЯ,, А««то лемма верна и для Е=гн+1; тем самым она доказана. Так как коэфициенты прн х„х„..., х в г равны нулю, то: ~и, а,„=О (Е4=1,2,...,т — 1). 4=1 где г — коэфициент пропорциональности. Подставляя найденное выра- жение для а„в г„, получим: А, Ав ... А оы пм ° ° - "~1 птя аю ...

аз а а ...а Ь~ 1 ьи 1 \~чм 1 (ЗЗ') Отсюда, так как А,=~них„, получим: =1 бхм «жт (33") где аа а„...а оп оя1 ° ° ° о»и и1я пю ° ° ° 'т я пь,па,... и Очевидно,' что при й лт все Ь =О. Срявнив козфициентыпри А в формуле (ЗЗ) и разложении определяющимся (33'), получим 1=-+ г' Ь 1 +- Введем новые переменные: у„уа, ... „у„, где 1'Чьь~ „ (34) Преобразование (34) и есть преобразование Якоби. Поскольку у пронорциональны 1ср. (34) и (33")): Ь г„= — у, 3И А тВ~ то преобразование Якоби приводит форму А к каноническому виду. Из (31в) следует: А= — = р~в, (Зб) где С другой стороны, козфициент при х в преобразовании (34) равен 1, так как Ь =д . Мы имеем право применить формулу (31у), отсюда Ь $24) пвяоввазовлние к ноем.