Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 25

Перейдем к доказательству теоремы. Пусть 3, есть некоторая сфера (л — т — 1) измерений, определенная уравнениями (22) и (23) прн некии>рой системе коэфицнентов Ь>;. Приведем форму л к нормальному виду: ~>~Х>у>г, путем ортогонального преобразования координат.

Числа 1ч расположены у нас в убывающем порядке. Пересечем сферу Я „, л с линейным многообразием: У,„+г —— О, У,„+ г — — О> ..., У = О. (24) Система уравнений (24) вместе с уравнениями (23) образует относительно переменных х-ов систему и†1 однородных линейных уравнений и, значит, имеет по крайней мере одно линейное одномерное многообразие нетривиальных решений, пересекающее сферу в точках А, А'. Обозначим новые координаты одной из этих точек (например точки А) через у,>, у!'~, ..., У~>. Очевидно, при >)~>и+2, У',' О, следовательно: т+> ~~ гу>ог)>г > — ! В точке А форма л равна: >в+1 так как все Х ) 1 „> < т+1. >) Собственные значения предполагаются расположенными з убывающем порядке.

2 22) лньлитичаскнй ктитвтий положительности эотмы 109 Следовательно, на любой сфере Я„~, есть точка А, в которой .~)~Л„,+ . Отсюда максимум У на Я„, не ьценьше Л +,. Нижняя граница этих максимумов не меньше, очевидно, Л +,. Но. взяв сферу ь„т, определяемую уравнениями.' ьз у, =у,=... =у„-о. мы убедимся, что на ней максимум г как раз равен Л +, и достигается в точке с координатами:. ут+ = — 1, у =0 при ))т+1. В саьцом леле, заметив, что Л. «Л + при ) ) т+ 1, на этой сфера г ьц+1 имеем. и У(у)= ч„Л,у,г<Л„,,э; у,Я=Л ц=цц+! ц=т-Ьь тем самым теорема доказана (нижняя граница Л „достигается для сферы 8„~,„~ ). 2 22. Аналитический критерий положительности формы !ац, агг~ б, = аьо бг =1 " ~агц ага~' а„а,г а, аматагв, ..., ац,а гат аы ат а1ь .

° аьл агг а ь ... ая„ йг = а„,а„ва„г... а„„ были положи кельны Фактическое определение собственных значений квадратичной формы приводит, как мы видели, к довольно сложным вычислениям (решение векового уравнения, разыскание условного экстремума квадратичной формы), вместе с тем для многих приложений является достаточным только знать, существуют ли отрицательные собственные значения или нет. По этой причине, естественно, возникает валлча дать по возможности простой критерий для положительности (отрицательности) всех собственных значений формы.

Этот критерий в силу предыдущего будет также критерием положительности (отрицательности) соответствующей квадратичной формы. Поставленная задача полностью решается следующей теоремой Сильвестра. ТЕОРЕМА СИЛЬВЕСТРА. Для того чгпобм форма г„=.», а,„х,х„ ц,ь била положшпельно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные угловые миноры ее днсхриминантаг квлделтичньж еоемы и втогой диевтянцивл $гл. ЙГ л(0 В самом деле, пусть форма в результате приведения ее к канонлческому виду путем ортогонального преобразования имеет вид: ч'„Л,у,е. 4=1 '!ак как значение дискриминанта Ь„формы з„не меняется при орто- гональном преобразовании, то Л 0 ...

0 о л ... о 00 ...Л„ =л! -л ... л„. Следовательно, если все 3,)0, то необходимо также о„)0. Итак, положительно определенная форма имеет положительный дискриминаит. Предположим теперь, что х + — — км„=... =х„=О; ою+! с=! 1„= ~л)!я с=! где у„я! — некоторые линейные формы от х„хм..., х„,+,. Пусть среди чисел Л! ~ первые с положительны, остальные гп — ! неположительны; среди чисел же Л~ + ! положительны только первые р с. Р, остальные !и+ ! — р )~ и!+2 — 1 неположительны. рассмотрим систему линейных уравнений относительно т+! неизвестных: х,, х, ...,х ы Ь! ' у,=О л =0 (!'= 1,2, ..., р), (/ = !+ 1, Р+ 2,..., сп), форма У„перейдет в форму 3 от и переменных (т~п).

Мы будем называть 1 усеченной формой. Дискриминант усеченный формы равен Ь„. Усеченная форма положительно определенной форл!ы есть также форма, положительно определенная, а следовательно, по только что доказанному Ь ) 0; этнл! необходимость условий теоремы доказана. Достаточность условий вытекает из следующей леммы: ЛЕММА. Число положительных (аналогично-неотрицательных, отрицательных, неположительных) собственных значений усеченной формы 1 +, не меньше числа положительных (неотрицательных, отрицательных, неположительных) собственных значений усиленной формы 1 .

В самом деле, приведем формы з„,+г,1 к каноническому виду: $22) аналитический ктитавнй положительности эогмы 111 Обн(ее число уравнений р+юл — 1+1 (ол, следовательно, для напоих уравнений найдется нетривиальная системз решений: Обозначим соответственные значения переменных у, з, через у,, х, . (о) ~о) Очевидно, у =О, если ( (р, (о> з(и=0 нр 1>1, 1. Для данной системы значений 1ь+, совпадает с 1: 1„(х(') = 1о+,(х, ). (о) (о1 (25) Но („(о() ~у 1(ь> ( (о))о 0 о=о 1,+,(х((й) = '«~ о(ь ЬИ [у(о()о ( О, аи в+о 1 1,(х), 1 (х), ..., 1о(л), заданных на отрезке а (х (Ь.

Рассмотрим выражение ~э~~ с,1', (л). о=1 (2б) так как все коэфициенты ),, 1 (1, положительны, а коэфициенгы >, 1> р, неноложительиы, но это противоречит равенству (25). Итак, и+0 лемма доказана. Докажем теперь достаточность условий теоремы Сильвестра методом совеРшенной индУкции. ПРи л=1 фоРма 1, имеет вид а,тх,з, и Условие Л(= ап)0 достаточно для положительности формы. Пусть достаточность этих условий доказана для формы ш переменных. Рассмотрим форму 1 „, от (в+1 переменных, удовлетворяюшую условиям теоремы (дискрйминант положителен). Усеченная форма 1 тоже удовлетворяет условиям теоремы, и мы считаем для т переменных теорему доказанной; следовательно, 1,„есть форма положительно определенная и все ее т собственных значений положительны. На основаниях нашей леммы форма 1, имеет по крайней мере т положительных собственных значений, но так как произведение всех ее собствеикых значений равно дискриминанту Ь, который мы считаем положнтельи+н ным, то и (т+1)-е собственное значение должно быть положительным Пример.

Пусть даны л функций: 112 квьдвлтичныв еоемы и втоеой диевевнциьл [гл. 1Ы Возможны два случая: 1) Выражение (26) не обращается тождественно в нуль на отрезке (а,д) ни при какой системе постоянных с, (~~~~с," фО). В этом случае ь ь 3= 1Ж 1( )1 =~' 11А О. Й О При любых значениях сн у есть квадратическая форма от се Следовательно, дискриминаит этой формы: (г' Л), И,А), "-, И У.) (А.Л). (4 Л). ". (А.У) „лО, У».А) (У.

А) - "И;У.) гл У„О=~IАбх. 2) СУществУет система значений сь,се,...,с„, ~ее<в) О, такаЯ, что для нее ,),'; сД (х) )~ О. В этом случае форма (27) перестает быть положительно определенной формой сп оставаясь формой неотрицательной. Имеем: ~ Я, У~) ! = О (1, / = 1, 2,..., и). ОпРеделитель ((У»Щ)( — дискРиминант фоРмы в, называетсЯ фУннциональным определителем Грамма (см. 5 15, задачу 2). Из сказакного следует: олрвдвлшпель Грамма нв может быгпь числои огирицательным. Обраи1внив в нуль определшпвлн Грамма есть необходимое и достапючное условие линейной зависимоппи функции. Рассмотрение последовательности диагональных миноров дискриминантной формы дает также возможность узнать число отрицательных собственных значений.

Обобщение теоремы Сильвестра Пусть дана квадратичная форма у„= ~я~,. аах,х„ еь п переменных. Рассмотрим последовательность чисел 1 = Ьо, Л„бе, ..., Ь„, где числа Ь, сохраняют тот же смысл, что и выше. Пусть все Ь< ф О. В этом случае имеет место ТЕОРЕМА. Число огприцагпельных собственных значений формы Равно числу перемен знаков в последовательности ~Оэ ~~ы ~ею ' 'в ~~» (числом перемен знака в последовательности называют число пар ее последовательных членов, имеющих противоположные знаки.

Если все Ь, ) О, последовательность не имеет перемен знаков, и тогда из нашей $22] аналитический кеитпий полоиапвлъности еогмы теоремы следует достаточное условие теоремы Сильвестра положительной определенности формы). Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим усеченную форму У нашей формы У„, где т(п. Так как ее дискримннант Ь фО, то все ее характеристические числа ькю (1 = 1, 2, ..., л) отличны от нуля. Пусть среди них будет г положительных и (т — г) отрицагельных. Перейдем к форме У В силу доказанной выше леммы число положительных собственных значений усеченной формы не уменьшается при переходе от У к У +,.

Точно так же не уменьшается и число отрицательных. При переходе от У к У„общее число характеристических чисел увеличивается на единицу. Так как среди собственных значений формы У„нет равных нулю, то лишнее собственное значение может быть только положительным или отрицательным. Так как, с другой стороны, дискриминант формы равен произведению характеристических чисел, то лишнее характеристическое число формы У будет положительным, если Ь и Ь имеют один н тот же знак (добавление положительного множителя не меняет знака произведения), и отрицательным, если Ьм, Л„ч, образуют перемену знака. Юля случая ш= 1 форма У, = а„х,а имеет свое единственное характеристическое число аы. Если оно отрицательно, то пара Ле†— 1.

Ь, =ап образует перемену знака. Таким образом, двигаясь по последовательности Ьм Ьм А~, ..., б„, мы будем увеличивать на единицу число отрицательных характеристйческих чисел форм У (лг = 1, 2, ..., п) по мере появления перемен знаков в последовательности чисел Ье, Ьн Ьм ..., Ь„. Теорема доказана. Рассмотрим теперь случай, когда Ь ф О, Ь„„ьа ф О, а заключенный между ними член Ь +, нашей последовательности равен нулю. При переходе от У к У„, число положительных и отрицательных собственных значений усеченной формы не уменьшается.

Так как форма А имеет собственное значение, равное нулю, то, значит, число г положительных и ш — г отрицательных собственных значений формы У не изменилось при переходе к форме У +,. Форма У„, имеет г+ 1 неотрицательных характеристических чисел (г положительных и один, равный нулю). Число их не уменьшится при перехоле к форме У,„+. Тас как форма У, не имеет собственных значений, равных нулю, то она имеет, следовательно, по крайней мере г+1 положительных характеристических чисел, т. е.

при переходе от У к У „число положительных собственных значений увеличилось по крайней мере на единицу. Точно так же и число отрицательных собственных значений чисел увеличилось по крайней мере на единицу. Общее же число собственных значений при переходе от У к У„ увеличилось на 2, значит, ровно на единицу увеличилось как число положительных, так и число отрицательных собственных вначеннй, а следовательно, Ь и Ь „ имеют равные знаки.

114 КВлдРлтичиыа ФОРмы и ВТОРОЙ диФВРвнцивл [гл. М Итак, обращение в нуль промежуточного члена влечет дд собой перемену знаков у не равных нулю членов и увеличение на едниню(у числа отрицательных собственных значений, Теорема остается верна и для нашего случая. юю)ы оставляем в стороне более сложные случаи, когда два или более члена последовательности ююю абра)каются под-ряд в нуль. Доказанную теорему можно геометрически иллюстрировать следующим образом.