Лаврентьев, Люстерник - Основы вариационного исчисления (т.1, ч. 1), страница 30

Произведение же двух чисел равно единице только в том случае, если каждое из них равно -1. Таким образом теорема доказана. ТЕОРЕМА 2. Пусть П есть единичный параллелепипед сепш Фс (<=1, 2, ..., и). О~(у, (1 Пусть вермшны его совпадают с точками сети % и пусть на гранях и внутри П других точен сети л не содержится. При втих условиях, если преобразование (1) невырожденное, то оно переводит сеть % в самое себя (т.

е. числа а, целые и ~а ~=1). В самом деле, в силу формулы (1) единичные векторы Ог< (!= 1, 2, ..., и) системы координат (у, у,..., у„) имеют в сиссеме х-ов координаты ан, ал, ..., а„г Так как концы единичных вектоРов ОУ< лежат в вершинах параллелепипеда Ц принадлежащих сети <д, то их координаты агг суть числа целые.

Пусть теперь точка А сети л, имеющая целочисленные координаты х< — — й„имеет в системе (у,) нецелочисленные координаты: у<=1<+<с<, где 1< — число целое, О (й< (1 и не все й<=О. Имеем: < Ф ОА = ~~.', 1<О У<+ ОС, где точка С имеет в системе у координаты <г„сса, ..., а„. Точка 6 принадлежит параллелепипепу У и не совпадает ни с одной его вершиной. В силу определения параллелепипела <с точка С не принадлежит сети д, Но так как векторы ОА и ОУ< суть векторы целочисленные в системе координат (х), то ОС= ОА —,~', У<ОУ< есть тоже целочисленный вектор в системе (х,) и точка С принадлежит сети я(. Полученное противоречие доказывает нашу теорему. дополнвнив 1 136 Плоская сеть. Рассмотрим теперь в частности случай плоской целочисленной сети % при системе координат (к„кг).

Пусть ОА и ОВ будут единичные векторы этой системы (черт. 23). Наряду с систывой (к„кг) введем новую систему координат (у„уэ), причем концы С и В единичных векторов этой системы принадлежат сети Мг ОС = йцОА+ й,вОВ, ОВ = й~,ОА+ ФггОВ, где йц — числа целые. Единичный параллелограм ОСЕВ: О (уг ( 1, О (уя (1 раабивается на два треугольника ОСВ н ЕСВ с вершинами, принадлежащими сети %. Пусть треугольник ОСВ не содержит никаких узлов сети Ж, кроме своих вершин.

'Тогда и треугольник ЕСВ не содержит никаких точек сети, кроме своч р.23. их вершин. В самом деле, если точка М, ие совпадающая с Е, С, В, принадлежит треугольнику ЕСВ, то точка 1ч' — конец вектора ОŠ— ОМ— принадлекнт треугольнику ОСВ и не совпадает с его вершинами. Если бы мы имели гй ОМ = 1, ОА + 1гОВ, где 1„1г — числа целые, то ОИ=ОА(йы+йвг — 1,)+ОВ(й, +й — 1а), к, = а„у, + а,гуг, к =аг,у,+ашуг коз4ициенты: анэ а,м а, а„— числа целые и а а,— а,=+1 г 3 31 ю ы причем числа в скобках были бы числа целые; если бы точка М принадлежала сети Ч, то точка д1 тоже принадлежала бы сети ц, что противоречит нашему предположению. Итак, если ОСВ не содержит узлов сети Я(, кроме своих вершин, то и параллелограм ОСЕВ не содержит узлов сети, кроме своик вершин.

Поскольку единичные векторы системы координат (у„уя) не лежат на одной прямой, переход от системы (к„кг) к (у,, у ) есть преобразование невырожденное. В силу теоремы 2 получаем: если гпреугольник ОСВ. построенный из единичных векторов новой системы координат 1 ум уя), не содержит узлов вепш И, кроме своих вершин, принадлежащих этой сегпи, то е преобразовании 18т Выпуклые тель ДОПОЛНЕНИЕ И ВЫПУКЛЫЕ ТЕЛА Область (тело) п-мерного пространства называется выпуклой, если отрезок, соединяющий две произвольные точки области )тела), целиком принадлежит области 1телу). В качестве примеров выпуклых тел можно взять сферу, параллелепипед и тетраэдр. Допустим, что мы имеем две выпуклых области, имеющих хотя бы одну общую точку. Докажем, что пересечение этих областей есть опять выпуклая область. В самок деле, если две точки А и В принадлежат пересечению, то А и В принадлежат каждой из областей, следовательно, отрезок, их соединяющий, будет также принадлежать каждой из областей, т.

е. будет принадлежать их пересечению. Из изложенного легко вытекает такая общая теорема: пересечение любого конечного числа выпуклых обласидвй есть или пустое мноаквсспво или вьспуклая обласспь. Доказанную теорему мои<но распространить также и иа выпуклые тела ТЕОРЕМА 1. Пересечение двух п-мерных вьидуклых пдвл есть или выпуклый кусок линейного лсногообразия й (я ( и) измерений' ) или выпуклое тело (черт.

24). Повторяя рассуждения, приведенные в $8 при рассмотрении пересечения двух областей, мы заключаем, что если концы отрезка принадлежат пересечению, то этот отрезок целиком принадлежит пересечению. Далее здесь возможны два случая. 1. Существует точка А пересечения, из которой можно провести ие более к (й ( п) линейно независимых векторое г„ гг, ...,гь, принадлежащих пересечению. Черт. 24. 2. Из каждой точки произведения можно выпустить и линейно независимых векторов, принаалежащих пересечению. Разберем первый случай. Построим линейное многообразие в. А измеРений, содеРжащее вектоРы с, г'г, ..., г„й покажем, что все точки пересечения приналлежат построенному многообразию г..

В самом деле, допустим, что существует точка М пересечения, не принадлежащая многообразию С; тогда вектор АМ будет принадлежать пересечению и вместе с тем ие будет линейно выражаться через векторы г„следовательно, из точки А можно провести А+1 линейно независимых векторов гд, гд, ..., гь и АМ, принадлежащих пересечению. Но это противоречит первоначальному допущению. Итак, в этом случае каждая точка пересечения принадлежит линейному многообразию к измерений. Во втором случае по и линейно независимым векторам, выходящим из каждой точки А пересечения, мы можем построить п-мерный тетра- д) Сюда причисляется случай, котла пересечение пусто иви сорерноп точку 1ЗВ дополняних и здр с вершиной в точке А н целиком принадлежащий пересечению.

Отсюда легко вилеть, что в разбираемом случае пересечение есть п-мерное тело. Анааогично докажем, что пересечение й-мерного линейного многообразия с выпуклым телом есть выпуклая часть 1-мерного нногообразия (выпуклое 1-мерное тело), где 1( й. В частности, пересечение выпуклого тела с прямой есть отрезок прямой илн точка. В качестве примеров, иллюстрирующих теорему о пересечении выпуклых тел, рассмотрим пересечение двух и-мерных сфер и пересечение двух параллелепипедов. Если сумма радиусов двух сфер больше, чем расстояние межлу их центрами, то пересечение есть выпуклое тело; если сумма радиусов равна расстоянию между центрами, то пересечение есть точка; в других случаях пересечение пусто.

Если пересечение двух параллелепипедов содержит Й вЂ” 1-мерное сферическое многообразие и не существует й-мерного сферического многообразия, обладающего тем же свойством, то пересечение есть (Й вЂ” 1)- мерное выпуклое тело, принадлежащее линейному мнопюбразию (1с — 1) измерений и ограниченное кусками(й — 2)-мерныхлииейныхмногообразий. Заметим еще следующее: ТЕОРЕМА 2. Если лючии В и С лежат внутри выпуклого тела М, то весь отрезок ВС лежит внутри М. В самом деле, так как В и С лежат внутри М (черт. 25), то их можно окружить сферами некоторого положительного радиуса е, целие ком лежащими внутри М. Пусть отрез е' зок ВС содержит точку,0, лежащую на границе М.

В любой близости точки 0 находятся точки, лежащие вне М. Пусть Е лежит вне М и г (О, Е) (е. 41 Перенесем параллельно отрезок ВС так, чтобы сдвиг каждой его точки равнялся "1ерт. 2з. вектору,0Е. Точки В и С перейдут в точки В, и С„, попрежнему лежащие внутри М, так как г(В, В,) =г(С, Сь)=г(0, Е) ( е. Значит, и весь отрезок В,С, должен принадлежать М. Но этот отршок содержит точку Е, которая лежит вне М. Получаем противоречие. ТЕОРЕМА 3.

Если конца отрезна ВС принадлежат границе выпуклого тела М и если лретьл таиса 0 отрезна принадлежит границе М, то весь отрезок ВС лежит на еранлцл Л. В самом деле, пусть 0 лежит на границе М (черт. 26), а четвертая точка Е отрезка ВС лежит внутри М. Е принадлежит или отрезку В0 или 0С. Пусть Е лежит на отрезке 0С; существует сфера радиуса е ~ 0 вокруг точки Е, целиком лежащая в М. С другой стороны, в любой близости граничной точки 0 существует точка 13п лежащая вне М. выптклые тиль Пусть О лежит вне М и г(О, О,) ( — — — ' — -.

Проведем прямую чеьг(Вь О) г(В, б) ' рез В и О и отметим точку Е, пересечения этой прямой с прямой ЕЕ„параллельной ООп Вследствие подобия треуголь- С' ников ВОО и ВЕЕг имеем: г(Е, Е,) = г (О, Ог) г (В О ( е Поэтому точка Е, лежит внутри тела М (она принадлежит сфере радиуса е с центром в точке Е). Мы получили противоречие: отрезок ВЕ, соединяет Р две точки В и Е, выпуклого тела М и содержит точку О„этому телу не принадлежащую.

Предыдущие рассуждения сохраняют силу, если точка лежит внутри М, а точка Š— на его границе. Но так как в этом случае весь отрезок ВС не может лежать иа границе М, то, значит, отрезок ВСне может содержать точек границы М (кроме точки С). Получаем: ТЕОРЕМА 4. Отрезан, соединяющий внутреннюю точку аылунлого тела с граничной, не может содержать никаких других граначнмх люнен. Сл е д с т в и е. Пусть ВС вЂ” отрезок, соединяющий дзе точки В н С границы тела М. Продолжение этого отрезка не может содержать внутренних точек М. Пусть, обратно, продолжение отрезка ВС содержит внутреннюю точку Е тела М; мы имеем: или отреаок ВЕ содержит точку С или СЕ содержит точку В.

В обоих случаях мы вступаем в противоречие Р, с теоремой 4. Опорные плоскости. Пусть М— ограниченное выпуклое тело з н-мер- Р, ном пространстве, 7. — некоторая прямая. Рассмотрим семейство (Р) всех (и — 1)-мерных линейных многообразий, ортогональиых к 7.; иного- Р образия Р заполняют все и-мерное пространство. Среди многообразий Р найлутся многообразия, пересекающие М, и многообразия, не пересекающие М.